2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）在中，若，，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，满足，，且，夹角为，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）若复数是纯虚数，则实数的值为　　

A．1 B．2 C．1 或 2 D．

4．（5分）已知，且，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知，是虚数单位．若，，则的值为　　

A．或 B．1 C． D．1或

6．（5分）已知，且为锐角，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）如图，有一位于处的观测站，某时刻发现其北偏东，且与相距海里的处有一货船，正以40海里小时的速度，向南偏西匀速直线行驶，30分钟后到达处，则此时该船与观测站的距离为　　海里．

A． B． C．20 D．

8．（5分）古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．若实数满足，则　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知复数为虚数单位），则　　

A． B．对应的点在第一象限 

C．的虚部为 D．的共轭复数为

10．（5分）如图，的方格纸中有一个向量（以图中的格点为起点，格点为终点），则　　

A．分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有11个 

B．满足的格点共有3个 

C．满足的格点共有4个 

D．存在格点，，使得

11．（5分）下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

12．（5分）在中，下列结论中，正确的是　　

A．若，则是等腰三角形 

B．若，则 

C．若，则为钝角三角形 

D．若，，且结合的长解三角形，有两解，则长的取值范围是

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）在中，若，，，则　　，　　．

14．（5分）求值：　　．

15．（5分）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，，则　　．

16．（5分）欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”根据此公式，的最大值为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在平面直角坐标系中，已知平面向量，，．

（1）求证：与垂直；

（2）若与是共线向量，求实数的值．

18．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且，请在①，的面积为，②

，③这三个条件中任选一个，完成下列问题：

（1）求角的大小；

（2）求的值．

19．（12分）如图，已知正三角形的边长为1，设，．

（1）若是的中点，用，分别表示向量，；

（2）求；

（3）求与的夹角．

20．（12分）如图，扇形钢板的半径为，圆心角为．现要从中截取一块四边形钢板．其中顶点在扇形的弧上，，分别在半径，上，且，．

（1）设，试用表示截取的四边形钢板的面积，并指出的取值范围；

（2）求当为何值时，截取的四边形钢板的面积最大．

21．（12分）如图，在复平面中，平行四边形的顶点，．

（1）求点对应的复数；

（2）记点，，对应的复数分别为，，．

①若，求复数；

②若复数满足，求的最小值．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积．

2020-2021学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求

【解答】解：根据正弦定理，，

则

故选：．

2．【分析】按照多项式乘多项式展开后利用数量积的性质可得．

【解答】解：

故选：．

3．【分析】直接由实部等于0且虚部不等于0求解即可得答案．

【解答】解：由复数是纯虚数，

得，解得．

故选：．

4．【分析】直接利用两角和与差的三角函数化简求解即可．

【解答】解：，，．

又，，

则，

所以．

故选：．

5．【分析】由已知结合列式求解值．

【解答】解：，且，

，即或1．

故选：．

6．【分析】先由为锐角，得到的范围，再求，再由，运用两角和差的余弦公式，即可得到．

【解答】解：由于，且为锐角，

则，

即，

则

．

故选：．

7．【分析】根据题意，利用余弦定理求出的值．

【解答】解：由题意知，，，，

由余弦定理得：，

解得．

即该船与观测站的距离为20海里．

故选：．

8．【分析】由已知先求出，然后利用正余弦的倍角公式以及诱导公式化简所求的关系式，由此即可求解．

【解答】解：根据题中的条件可得：，

则．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9．【分析】由已知结合复数的基本概念及模的求法逐一核对四个选项得答案．

【解答】解：，

，故正确；

对应的点为，在第一象限，故正确；

的虚部为1，故错误；

，故错误；

故选：．

10．【分析】根据相反向量的定义可判断错误，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算逐个分析选项，可判断正确．

【解答】解：：分别以图中的格点为起点和终点的向量中，与是相反向量的共有 18个，故错，

以为原点建立平面直角坐标系，则，

设，，，且，，

：若，

所以，，，且，，

得，，共三个，故正确，

：若，则，，，且，，

得，，，共4个，故正确，

：当，时，则成立，故正确．

故选：．

11．【分析】直接利用三角函数关系式中倍角公式和诱导公式的变换求出结果．

【解答】解：对于，故正确；

对于，故错误；

对于，故正确；

对于，故错误；

故选：．

12．【分析】直接利用三角函数的诱导公式，正弦定理和余弦定理，三角形解的情况的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于：若，整理得，故，则是等腰三角形，故正确；

对于：若，转换为：，

利用正弦定理：，则，故正确；

对于：若，则，故，故为钝角三角形，故正确；

对于：若，，且结合的长解三角形，有两解，

则满足，即，故错误；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求，的值，进而根据两角和的正弦公式即可求解的值，进而根据正弦定理可得的值．

【解答】解：因为，，，

所以，，

所以，

因为由正弦定理，可得，

解得．

故答案为：，52．

14．【分析】先把原式中切转化成弦，利用两角和公式和整理后，运用诱导公式和二倍角公式化简整理求得答案．

【解答】解：原式

故答案为：1

15．【分析】由已知利用余弦定理可得的值，利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据正弦定理即可求解．

【解答】解：因为，，，

所以由余弦定理可得，

可得，

因为，

所以．

故答案为：．

16．【分析】先求出，然后结合模长公式及余弦函数的性质可求．

【解答】解：由题意得，

则，即最大值为3．

故答案为：3．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．【分析】（1）利用平面向量坐标运算法则求出，，再由，能证明与垂直．

（2）利用平面向量坐标运算法则求出，再由与是共线向量，，能求出实数的值．

【解答】解：（1）证明：平面向量，，．

，，

，

与垂直．

（2）解：，，

，

与是共线向量，．

，

解得．

18．【分析】（1）由余弦定理可得，结合范围，可求的值．

（2）选择条件①：由已知利用三角形的面积公式可求的值，进而可求是等边三角形，即可求解的值；

选择条件②：由正弦定理即可求解的值；

选择条件③：由已知利用三角形内角和定理可求的值，根据两角和的正弦公式即可求解的值．

【解答】解：（1）因为，

由余弦定理可得，

又因为，

所以．

（2）选择条件①：因为，

所以，

又因为，，

所以是等边三角形，

所以，

所以，

选择条件②：由正弦定理，及，

得，

选择条件③：由，得，

所以．

19．【分析】（1）由平面向量的线性运算得：，．

（2）由平面向量的模的运算得：．

（3）平面向量数量积的运算得：，又，，故与的夹角为，得解．

【解答】解：（1）因为，．是的中点，

故，．

（2）因为，，

故．

（3），

又，

设与的夹角为，

所以，

又，，

故与的夹角为．

20．【分析】（1）由题意可知，，，进而表达出的面积，再根据，表达出的面积，从而得到四边形钢板的面积的表达式和的取值范围．

（2）利用三角函数公式可得，再由的范围，结合三角函数的性质即可求出的最大值．

【解答】解：（1）因为，扇形钢板的圆心角为，所以，

因为扇形钢板的半径为，，，

所以，，

所以，

又，，

所以，

所以四边形钢板的面积，，

其中的取值范围为．

（2），

因为，所以，

所以当，即时，四边形钢板的面积最大，最大值为．

21．【分析】（1）由已知结合复数的向量运算求得的坐标，进一步可得点所对应的复数；

（2）①由图求得，，，代入，变形后利用复数代数形式的乘除运算求解；

②设，，，由可得与的关系，再由复数模的公式及配方法求解的最小值．

【解答】解：（1）在复平面中，由，得，，

四边形为平行四边形，，

的坐标为，则点对应的复数为．

（2）由已知及（1），得，，，

①由，得．

②设，，，

则由，得，

即，，

，

当时，，

即的最小值为．

22．【分析】（1）法一：（化角），由正弦定理，两角差的正弦公式化简已知等式可得，结合范围，，可求的值．

法二：（化边），由余弦定理化简已知等式可求的值，结合，可求的值．

（2）在中，由已知利用余弦定理可得，解得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．

【解答】解：（1）法一：（化角）

在中，由正弦定理，得，，．

因为，

所以，即，

所以，

因为，，，

所以，，

所以，或，或，即，或（舍或（舍，

因为，

所以．

法二：（化边）因为，，，，

所以，

所以，

所以，即，

因为，

所以，即，

所以，

因为，

所以．

（2）在中，因为，，，

所以结合余弦定理，得，即，解得或（舍去），

所以，即的面积为．

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日期：2022/3/11 19:10:25；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367