2020-2021学年江苏省南通市如东县高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市如东县高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知复数，其中为虚数单位，则　　

A． B． C． D．2

2．（5分）已知向量，满足，，，则，　　

A． B． C． D．

3．（5分）方程的一个根为，其中为虚数单位，则实数的值为　　

A． B．10 C．6 D．8

4．（5分）宽与长的比为的矩形叫做黄金矩形．它广泛的出现在艺术、建筑、人体和自然界中，令人赏心悦目．在黄金矩形中，，，那么的值为　　

A． B． C．4 D．

5．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C．6 D．5

6．（5分）已知，求（用表示），王老师得到的结果是，张老师得到的结果是，对此你的判断是　　

A．王老师对，张老师错 B．两人都对 

C．张老师对，王老师错 D．两人都错

7．（5分）若，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则下列命题中正确的是　　

A．函数在上是减函数 

B．若，则 

C．函数，则的最大值 

D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．（5分）下面是关于复数为虚数单位）的命题，其中真命题为　　

A． B． 

C．的共轭复数为 D．的虚部为1

10．（5分）下列各式中，值为的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）下列关于平面向量的说法中正确的是　　

A．已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得 

B．已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 

C．若且，则 

D．若点为的重心，则

12．（5分）在中，，，分别为，，的对边，下列叙述正确的是　　

A．若，则为等腰三角形 

B．若为锐角三角形，则 

C．若，则为钝角三角形 

D．若，则

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）已知平面向量，，若，则实数的值为　　．

14．（5分）已知，则　　．

15．（5分）设复数，满足，，，则　　．

16．（5分）在锐角中，角、、所对的边分别为、、，且，若恒成立，则正实数的取值范围是 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知向量，．

（1）当时，求的值．

（2）求在，上的最大值与最小值．

18．（12分）从下列三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答

①；②；③．在中，角，，，所对的边分别为，，，满足条件______．

（1）求角的大小；

（2）若，，求的值．

19．（12分）在平行四边形中，，，．若、分别是边、上的点．

（1）若、分别是边、的中点，与交于点，用和表示；

（2）若、满足，求的取值范围．

20．（12分）如图，在梯形中，，，，．

（1）若，求梯形的面积；

（2）若，求．

21．（12分）某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高为4米，它所占水平地面的长为8米．该广告画最高点到地面的距离为10.5米．最低点到地面的距离6.5米．假设某人的眼睛到脚底的距离为1.5米，他竖直站在此电梯上观看的视角为．

（1）设此人到直线的距离为米，试用表示点到地面的距离；

（2）此人到直线的距离为多少米，视角最大？

22．（12分）已知定义域为的函数是奇函数，且指数函数的图象过点．

（1）求的表达式；

（2）若方程，恰有2个互异的实数根，求实数的取值集合；

（3）若对任意的，，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2020-2021学年江苏省南通市如东县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：，其中为虚数单位，

则，

故选：．

2．【分析】通过向量的数量积的运算法则，化简求解即可．

【解答】解：．

可得，．

故选：．

3．【分析】根据已知条件，结合实系数一元二次方程虚根成对原理可得方程另一个根，再结合韦达定理，即可求解．

【解答】解：方程的一个根为，

程的另一个根为，

．

故选：．

4．【分析】由黄金矩形的定义，可得，再由勾股定理和向量数量积的定义，计算可得所求值．

【解答】解：由黄金矩形的定义，可得，，

在矩形中，，

则，

故选：．

5．【分析】直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出结果．

【解答】解：在中，，

利用正弦定理得：，

所以，解得，

利用余弦定理，

故．

故选：．

6．【分析】直接利用三角函数的关系式的变换，求出三角函数的值．

【解答】解：，

所以，

故王老师算的结果正确，张老师算的结果错误．

故选：．

7．【分析】利用同角三角函数关系求出，确定，，然后求出，由平方差公式求出，求解即可．

【解答】解：因为，

两边同平方可得，，

所以，

因为，

则，

所以，，

故，

所以，

故，

即，

所以．

故选：．

8．【分析】根据题中给出的新定义，利用辅助角公式以余弦函数的单调性判断选项，利用二倍角公式以及同角三角函数判断选项，利用正弦函数的有界性判断选项，利用诱导公式判断选项，即可得到答案．

【解答】解：函数，在上单调递减，故选项错误；

因为，所以，即，故选项正确；

函数，

所以的最大值为，故选项错误；

因为，故选项正确．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．【分析】利用复数的运算法则及其有关知识即可得出．

【解答】解：关于复数，

，，共轭复数为，的虚部为1．

其中真命题为．为假命题．

故选：．

10．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和倍角公式的应用判断、、、的结论．

【解答】解：对于，故正确；

对于，故正确；

对于，故正确；

对于，故错误；

故选：．

11．【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，符合向量共线定理，正确；

对于，当时，与共线，与的夹角不是锐角，错误；

对于，若，，，满足，但不成立，错误；

对于，若点为的重心，则，正确；

故选：．

12．【分析】利用正弦定理化简已知等式，由二倍角公式以及诱导公式得到或，即可判断选项，利用正弦函数的单调性，即可判断选项，由两角和的正切公式得到，，中必有一个值为负值，即可判断选项，利用正弦定理将已知的等式边化角，然后由两角和差公式化简求解，即可判断选项．

【解答】解：对于，因为，

由正弦定理可得，，

即，

因为，均为三角形的内角，

所以或，

则或，

所以为等腰三角形或直角三角形，

故选项错误；

对于，因为为锐角三角形，

则，即，

又，，

因为在上单调递增，

所以，

故选项正确；

对于，因为，

所以，

故，

因为，

则，，中必有一个值为负值，

即角，，中必有一个为钝角，

所以为钝角三角形，

故选项正确；

对于，因为，

由正弦定理可得，，

即，

所以，

因为，

所以，即，

因为，

所以，

故选项正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．【分析】根据题意，求出向量，由向量平行的坐标表示方法可得，解可得的值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，向量，，则，

若，则有，

解可得，

故答案为：．

14．【分析】由二倍角的余弦公式展开后代入已知即可求值．

【解答】解：，

，

故答案为：．

15．【分析】利用复数的运算法则进行求解即可．

【解答】解：，，，

，

，

故答案为：．

16．【分析】由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换可得，由，可得，根据余弦函数的单调性可求，结合，即可求解的取值范围．

【解答】解：若恒成立，，

则，

由正弦定理，可得，

因为，可得，

因为在上单调递减，，，

所以，

所以，

又，

所以，．

故答案为：，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．【分析】（1）根据向量垂直的坐标运算公式得到，进而可得的值；

（2）表示出，结合正弦函数的性质即可得到答案．

【解答】解：（1）因为，所以，即有，解得；

（2），

当时，有，

所以，．

18．【分析】选①：由正弦定理化简可求，进而可求；

选②：由已知整理后利用余弦定理可求，进而可求；

选③：由正弦定理及两角和的正切公式进行化简可求，进而可求，

（2）由可求，然后结合余弦定理可求．

【解答】解：选①，

由正弦定理得，

因为，

所以，

故，

因为为三角形内角，

所以，

选②：，

所以，

整理得，

由余弦定理得，

因为为三角形内角，

所以，

选③：，

由正弦定理得，

即，

所以，

因为，

所以，

因为为三角形内角，

所以，

（2）若，，

则，

，

由余弦定理得，

解得．

19．【分析】（1）设，利用向量的线性运算可得，，由，，三点共线，即可求解的值，从而求得结论；

（2）设，利用向量的线性运算与数量积运算将转化为关于的二次函数，利用二次函数的性质即可求解．

【解答】解：（1）如图，设，

因为平行四边形中，、分别是边、的中点，

所以，

因为，，三点共线，

所以，解得，

所以．

（2）设，

所以，，

，

当时，取得最大值为5，

当时，取得最小值为2，

所以的取值范围是，．

20．【分析】（1）在中，由余弦定理可得的值，进而求出的面积，再由的值，可得与的数量关系，求出的面积，进而求出梯形的面积．

（2）设的角，由题意可得，，，用表示出来的值，在在中，在中由正弦定理可得的比例式，两式联立及的范围，求出其正切值．

【解答】解：（1）设，在中，由余弦定理可得，整理可得：，解得，

所以，则，

因为，所以，

所以；

（2）设，则，，，，

在中，由正弦定理可得，

在中，由正弦定理可得，

两式相除可得，展开可得，

所以可得，

即，

解得或，

又因为，，

所以，即．

21．【分析】（1）根据相似三角形得出，从而得出；

（2）计算，，得出和，利用差角公式计算，得出关于的解析式，利用不等式求出取得最大值时对应的即可．

【解答】解：（1）由题意可知，

由可得，即，

，

到地面的距离．

（2），

同理，

，，

，

，，当且仅当即时取等号，

当时，取得最大值，即取得最大值．

22．【分析】（1）由代入法可得，再由，解得，进而得到的解析式；

（2）由指数函数的单调性判断在定义域内单调递减，结合奇函数的性质可得在恰与轴有两个交点，由二次方程实根的分布，可得的不等式组，求得的范围；

（3）由为上的减函数且为奇函数，可得对任意的，恒成立，结合二次函数的图象和性质可得的范围．

【解答】解：（1）由指数函数的图象过点，得，

所以，

又为上的奇函数，所以，得，

经检验，当时，符合，

所以；

（2），

因为在定义域内单调递增，

则在定义域内单调递减，

所以在定义域内单调递减，

由于为上的奇函数，

所以由，

可得，

则在恰有2个互异的实数根，

即在恰与轴有两个交点，

则，可得，即，

所以实数的取值集合为．

（3）由（2）知函数为上的减函数且为奇函数，

由，

得，

所以，

即对任意的，恒成立，

令，

由题意，得，

所以实数的取值范围为．

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日期：2022/3/11 19:11:46；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367