2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高一（下）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高一（下）期中数学试卷，共15页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知函数的最小正周期为，则实数　　A．2 B． C． D．2．（5分）复数与分别表示向量，，则表示向量的复数在复平面内对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．（5分）若，，且与的夹角为，则　　A．4 B． C． D．54．（5分）已知，，，，若，则　　A． B． C． D．5．（5分）函数在区间，上的最小值是　　A． B．3 C．5 D．66．（5分）在中，为边上的中线，为的中点，则　　A． B． C． D．7．（5分）若平面向量，，两两的夹角相等，且，，，则　　A．0 B．6 C．0或 D．0或68．（5分）在中，，为的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，．设，，复数，当取到最小值时，实数的值为　　A． B． C．2 D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．（5分）下列关于复数的四个命题，真命题的为　　A．若，则 B．若，则 C．若，则的最大值为2 D．若，则10．（5分）在内角，，所对的边分别为，，，，边上的高等于，则以下四个结论正确的是　　A． B． C． D．11．（5分）已知函数，则　　A．为偶函数 B．的最小正周期为 C．的值域为， D．在，上单调递减12．（5分）奔驰定理：已知是内的一点，，，的面积分别为，，，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．若是锐角内的一点，，，是的三个内角，且点满足，则　　A．为的垂心 B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知，，且，则实数　　．14．（5分）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角度得到向量，叫做把点绕着沿逆时针方向旋转角得到点，沿顺时针方向旋转得到的向量　　．15．（5分）已知复数，为实数），并且，则实数　　．16．（5分）如图，已知直线，是，之间的一个定点，并且点到，的距离都为2．是直线上的一个动点，作，且使与直线交于点．设，则面积的最小值是　　，周长的最小值是　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）（1）已知复数是关于的方程的一个根，求的值；（2）已知复数，，，求．18．（12分）已知是圆的一条直径，且，，是直径同侧的半圆弧上两个三等分点，其中是靠近的三等分点．（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）圣索非亚教堂是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，为哈尔滨的标志性建筑，1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如图1．某校高一数学兴趣小组打算根据所学知识估算索菲亚教堂的高度，他们在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，测得建筑物的高度为，在它们之间的地面上的点，，三点共线）处可以测得楼顶和教堂顶的仰角分别为和，在楼顶处可测得塔顶的仰角为，且与都垂直地面，如图2，那么请你根据他们测得的数据估算索菲亚教堂的高度为多少？（结果用，，，表示）20．（12分）已知，都是锐角，，．（1）求；（2）求．21．（12分）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，请在①；②；③；这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：（1）若，求．（2）若且，求的面积．22．（12分）（1）对于平面向量，，求证：，并说明等号成立的条件；（2）我们知道求的最大值可化为求的最大值，也可以利用向量的知识，将构造为两个向量的数量积形式，即：令，，则转化为，求出最大值．利用以上向量的知识，完成下列问题：①对于任意的，，，，求证：；②求的最值．
2020-2021学年江苏省苏州市张家港市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【解答】解：函数的最小正周期为，故，解得．故选：．2．【解答】解：复数与分别表示向量，，，则表示向量的复数在复平面内对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：．3．【解答】解：，，且与的夹角为，则．故选：．4．【解答】解：，，且，或（舍去），．故选：．5．【解答】解：函数，由于，所以，所以，故，当时，函数的最小值为3．故选：．6．【解答】解：因为为边上的中线，为的中点，所以，故选：．7．【解答】解：①当两两夹角为0时，，②当两两夹角为时，，，综上：或6．故选：．8．【解答】解：如图，，，，，为中点，，，，， 三点共线，，，，，当 时，的最小值为，又，当 时，有最小值．故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【解答】解：，若，即，则，所以正确；取复数，满足，但，故错误；，的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则的最大值为2，所以正确；取复数，，故错误；故选：．10．【解答】解：过作，垂足为，因为，边上的高，中，，所以，，，正确；由勾股定理得，由正弦定理得，，所以，正确；中，，由余弦定理得，，故，错误；，正确．故选：．11．【解答】解：函数，对于：函数故函数为偶函数，故正确；对于：由于函数，所以函数的最小正周期为，故正确；对于：由于函数的最小正周期为，当时，，当时，，所以．对于：函数在，上单调性先增后减，故错误；故选：．12．【解答】解：如图，，，，，同理，为外心，正确，在四边形中，，，，即，正确，，同理，，，，错误，，，由奔驰定理得，正确，故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【解答】解：已知，，且，，则实数，故答案为：．14．【解答】解：设，把绕其起点沿逆时针方向旋转得到向量，，即，，，，解得．．故答案为：，．15．【解答】解：复数，为实数），并且，，实数．故答案为：．16．【解答】解：①由题意知，，，，所以，，所以，；所以，，所以的面积为．当，即时，的面积取得最小值为4．②的周长为，；设，其中，所以，，所以，，所以，解得，所以可化为，当时取得最小值；所以周长的最小值是．故答案为：4，．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）是关于的方程的一个根，是关于的方程的另一个根，，解得，，则；（2），，，．18．【解答】解：（1）以为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则，，，，，，，，，；（2），，．19．【解答】解：解法1、由题意可知，在中，，设，则，在中，，，则，在中，，，所以，由正弦定理知，，即，解得，所以估算索菲亚教堂的高度为．解法2、过点作，垂足为，如图所示：则，设，在中，，，则，在中，，，则，所以，在，，解得，所以，解得，所以估算索菲亚教堂的高度为．20．【解答】解：（1）已知，都是锐角，，，所以，①由于②，由①②解得：，由于是锐角，所以，，由于，，．（2），都是锐角，所以，所以，，所以，所以，故，故．21．【解答】解：（1）若选①，因为，可得，由正弦定理可得，在中，，所以，又，所以，所以，又，所以，，所以，可得．若选②，因为，由正弦定理可得，所以，又，所以，又，所以．若选③，因为，由余弦定理可得，又，且，所以，又，所以．因为，由正弦定理可得，所以，所以，又，所以，所以，又，所以，，可得．（2）由，，由正弦定理可得，由，所以，又由余弦定理可得，可得，所以．22．【解答】（1）证明：设，，当且仅当，即或时，等号成立；解：（2）①证明：设，，，，，，则，两边平方可得：；②解：，，，，，，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，即第一象限及，；当时，在上的投影最小，即的最小值为3；当，共线同向时取最大值，即的最大值为5，当且仅当时取最大值．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/8/3 15:56:35；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394