2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）已知，，，则　　

A． B． C．或 D．大小无法确定

2．（5分）在复平面内，复数对应的点位于　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．（5分）如图正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积　　

A． B．1 C． D．

4．（5分）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论中正确的是　　

A．若，，则 B．若，，则 

C．若，，，则 D．若，，则

5．（5分）已知在中，，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知向量，，向量在方向上的投影向量为　　

A． B．， C．， D．，

7．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如不计容器的厚度，则球的体积为　　

A． B． C． D．

8．（5分）如图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点．若点在线段上，且满足平面，则的值为　　

A．1 B．2 C． D．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）设向量，，则　　

A． B． 

C． D．与的夹角为

10．（5分）已知的内角，，所对的边分别为，，，下列四个命题中正确的命题是　　

A．若，则一定是等边三角形 

B．若，则一定是等腰三角形 

C．若，则一定是等腰三角形 

D．若，则一定是锐角三角形

11．（5分）如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是　　

A．直线与为异面直线 

B．平面 

C．正方体的外接球的表面积为 

D．三棱锥的体积为

12．（5分）已知，是平面上夹角为的两个单位向量，在该平面上，且，则下列结论中正确的有　　

A． B． 

C． D．，的夹角是钝角

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知且，则取值范围为　　．

14．（5分）若圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积是，则该圆锥的体积是　　．

15．（5分）海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为　　．

16．（5分）已知向量、满足，，则的最小值是　　，最大值是　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知复数为虚数单位）

（1）若，求复数的共轭复数；

（2）若是关于的方程一个虚根，求实数的值．

18．（12分）在中，内角，，的对边分别为，，，且满足．

（1）求角的大小；

（2）若，且，求的面积．

19．（12分）已知，，为坐标原点．

（1）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；

（2）设，，求的面积．

20．（12分）如图，在直三棱柱中，点，分别为线段，的中点．

（1）求证：平面；

（2）若在棱上，平面，求的值．

21．（12分）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且满足．

（1）求的值；

（2）若为线段上任意一点，求的最小值．

22．（12分）在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足，灯杆与灯柱所在平面与道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知，路宽．设灯柱高，．

（1）当时，求四边形的面积；

（2）求灯柱的高（用表示）；

（3）若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出的最小值．

2020-2021学年江苏省无锡市滨湖区太湖高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．【分析】直接利用等角定理的应用求出结果．

【解答】解：已知，，，

当角的方向相同时，，

当角的方向相反时，，

故选：．

2．【分析】化简复数后可得其对应点为，从而可得答案．

【解答】解：，

故对应的点在第一象限，

故选：．

3．【分析】由题意求出直观图中的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的高，即可求出原图形的面积．

【解答】解：由题意正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，

所以，对应原图形平行四边形的高为：，

所以原图形的面积为：．

故选：．

4．【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系判断；由直线与平面平行的性质判断．

【解答】解：若，，则或，故错误；

若，，则或与相交或与异面，故错误；

若，，，由直线与平面平行的性质可得，故正确；

若，，则或与异面，故错误．

故选：．

5．【分析】先利用余弦定理求出，再根据向量的数量积定义即可求出．

【解答】解：，

．

故选：．

6．【分析】先求出在方向上的投影，再求出在方向上的投影向量．

【解答】解：，，

在方向上的投影为，

在方向上的投影向量为，．

故选：．

7．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆，可得圆心为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，而圆的半径为4，由球的截面圆性质建立关于的方程并解出，用球的体积公式即可算出该球的体积．

【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆，

则圆心为正方体上底面正方形的中心．如图．

设球的半径为，根据题意得球心到上底面的距离等于，

而圆的半径为4，由球的截面圆性质，得，

解出，

根据球的体积公式，该球的体积．

故选：．

8．【分析】连接，交于，连接，由平面，得到，由点，分别为棱，的中点，得到是的重心，由此能求出结果．

【解答】解：连接，交于，连接，如图，

平面，平面平面，

，

点，分别为棱，的中点．

是的重心，

．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．【分析】可以求出，从而判断错误；容易得出，从而判断错误，正确；可以求出，从而判断正确．

【解答】解：，错误；

，，，错误，正确；

，且，的夹角为，正确．

故选：．

10．【分析】根据正弦定理，三角函数恒等变换的应用逐一判断各个选项即可．

【解答】解：对于，若，则，即，即，即是等边三角形，故正确；

对于，若，则由正弦定理得，即，则或，即或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于，若，，即，则是等腰三角形，故正确；

对于，中，，角为锐角，但不一定是锐角三角形，故错误；

故选：．

11．【分析】判断两条直线是否是异面直线判断；直线与平面平行的判断定理判断；求解外接球的表面积判断；求解棱锥的体积判断．

【解答】解直线与为异面直线，满足异面直线的定义，所以正确；

，平面，平面，平面，所以正确；

正方体的外接球的半径为：，所以正方体的外接球的表面积为：，所以正确；

三棱锥的体积为：，所以不正确．

故选：．

12．【分析】画出图形，建立坐标系，说明在该平面上的轨迹，结合选项判断正误即可．

【解答】解：，是平面上夹角为的两个单位向量，

如图：，，距离坐标系如图，

，，，，

可得，所以，在以为直径的圆上，

所以．所以不正确；

，所以正确；

的最大值为：，所以正确；

，的夹角是锐角，所以不正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．【分析】根据复数模的性质：，利用，，令，则，能求出的取值范围．

【解答】解：根据复数模的性质：，

，，令，则，

，即的取值范围为，，

故答案为：，．

14．【分析】由题意画出图形，设圆锥的底面半径为，则母线长为，由侧面面积求得，再由圆锥体积公式求解．

【解答】解：如图，

设圆锥的底面半径为，则母线长为，

高为．

则其侧面积，解得．

圆锥的高为．

其体积，

故答案为：．

15．【分析】根据题意画出图形，中利用正弦定理求出，中利用等角对等边求出，在中由余弦定理求出．

【解答】解：如图所示：

中，，，，

所以，由正弦定理得，解得，

中，，，

，

所以，所以，

中，由余弦定理得

，

所以，即、两点间的距离为．

故答案为：．

16．【分析】通过记，利用余弦定理可可知、，进而换元，转化为线性规划问题，计算即得结论．

【解答】解：记，则，如图，

由余弦定理可得：

，

，

令，，

则、，其图象为一段圆弧，如图，

令，则，

则直线过、时最小为，

当直线与圆弧相切时最大，

由平面几何知识易知即为原点到切线的距离的倍，

也就是圆弧所在圆的半径的倍，

所以．

综上所述，的最小值是4，最大值是．

故答案为：4、．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．【分析】（1）推导出，从而，由此能求出复数的共轭复数．

（2）推导出，由此能求出实数的值．

【解答】解：（1）复数 为虚数单位），，

，

，

复数的共轭复数．

（2）复数是关于 的方程一个虚根，

，

整理，得：，

解得．

18．【分析】（1）利用二倍角公式，余弦定理化简已知等式可得的值，结合范围，可得的值．

（2）由已知利用余弦定理解得，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．

【解答】解：（1）因为，可得，

所以，所以，整理可得，可得，

因为，可得．

（2）因为，，且，

所以由余弦定理，可得，解得，

所以的面积．

19．【分析】（1）根据平面向量的坐标运算和数量积运算，列不等式求出的取值范围，注意去掉夹角为平角的情况．

（2）利用平面向量的数量积公式和三角形面积公式，计算即可．

【解答】解：（1）由，，

所以，

；

令，

即，解得，

当时，，与方向相反，夹角为平角，不合题意；

所以，

所以若与的夹角为钝角，则的取值范围是．

（2）设，面积为，

则；

因为，

所以；

所以．

20．【分析】（1）推导出，由此能证明平面；

（2）推导出，从而是线段的中点，由此能求出的值．

【解答】解：（1）证明：点，分别为线段，的中点，

连接，交于，则是的中点，

，

平面，平面，

平面；

（2）平面，平面，

平面平面，

，

又是线段的中点，是线段的中点，

．

21．【分析】方法一（1）根据，，得到；再把转化为进一步整理即可得到结论；

（2）令，结合第一问的结论求出的值；再把所求问题转化为关于，的二次函数，结合二次函数的性质即可求解；

方法二

以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系；

（1）直接求出两个向量的坐标代入求解即可；

（2）设，把转化为关于的二次函数，结合二次函数的性质即可求解．

【解答】解：方法一

（1）在梯形中，因为，，

所以，

；

（2）令，

则，即，

令，则，，

所以当时，有最小值．

方法二

（1）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系；

则，，，；则，

由相似三角形易得．

设，则，

．

得．则，．

（2）设，显然，，

所以当时，有最小值．

22．【分析】（1）由题意可求出，所以为正三角形，则，在中由正弦定理可求出，从而求出四边形的面积．

（2）根据条件可得，，，在中由正弦定理可得，再在中由正弦定理即可表达出．

（3）在中由正弦定理求出，从而求出关于的函数表达式，再根据的取值范围求出的最小值．

【解答】解：（1），，

，又，

，又，

所以为正三角形，则，

在中，因为，所以，

故四边形的面积．

（2）因为，，所以，

又因为灯柱与地面垂直，即，所以，

因为，所以，

在中，因为，所以，

在中，因为，所以．

（3）在中，因为，

所以，

则，

因为，所以，

所以当时，．

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日期：2022/3/11 19:12:19；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367