2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷，共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合，1，，，则的子集个数为　　A．2 B．4 C．8 D．162．（5分）函数的零点所在的区间为　　A． B． C．， D．3．（5分）已知角的终边过点，，且，则的值为　　A． B． C． D．4．（5分）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：1230.240.512.023.988.02在以下四个函数模型，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是　　A． B． C． D．5．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则的值为　　A． B． C． D．6．（5分）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为　　A． B． C． D．7．（5分）设，，，则　　A． B． C． D．8．（5分）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间，上单调递减；丁：函数的周期为2．如果只有一个假命题，则该命题是　　A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．（5分）下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是　　A． B． C． D．10．（5分）关于函数，下列说法正确的是　　A．将函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象 B．函数在区间，上是单调增函数 C．函数的图象中与轴最近的对称轴的方程是 D．若，则的最小值为11．（5分）已知函数，下列结论中正确的是　　A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”12．（5分）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，，，则下列说法正确的是　　A．线段与的长均为1 B．线段的长为1 C．若点，关于轴对称，则 D．当时，点，关于轴对称三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（第16题第一空2分，第二空3分）13．（5分）已知，则　　．14．（5分）设，则的值为 　　．15．（5分）定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点个数为 　　．16．（5分）已知函数，该函数在上的所有零点之和为 　　；使得不等式成立的实数的取值范围为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合，，．（1）当时，求；（2）已知“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．18．（12分）已知．（1）求的值；（2）若，求及的值．19．（12分）为进一步推进“快递进村”工程，加大农村综合物流服务供给力度，使得快递服务“三农”成果更加丰硕，让广大农民可以享受到更加便捷高效的快递服务，我市某乡镇农业产业园联合多家快递企业计划在该镇建一矩形物流中转站．按照规划要求，需要将中转站设计为内部物流工作区（图中阴影部分）和四周物流车辆通行区，已知内部物流工作区的面积需要4000平方米，四周车道的宽分别需要4米和10米，如图所示．（1）设工作区的长（单位：米，且，求中转站的占地面积关于的函数；（2）为了使中转站占地面积最小，问：工作区的长和宽该如何设计？20．（12分）已知函数，且（1），（2）．（1）求函数的解析式；（2）设，判断函数的单调性并用定义证明．21．（12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0   20 02（1）请根据上表数据，求函数的解析式；（2）关于的方程区间，上有解，求的取值范围；（3）求满足不等式的最小正整数解．22．（12分）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为，且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数，．利用上述性质，解决以下问题：（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；（2）求函数，，的值域；（3）设，若对任意的正数，，都有，，且，求实数的取值范围．
2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合，1，，，则的子集个数为　　A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：，1，，，，，的子集个数为：．故选：．2．（5分）函数的零点所在的区间为　　A． B． C．， D．【解答】解：，显然在上单调递增，而，（1），函数的零点所在的区间是，，故选：．3．（5分）已知角的终边过点，，且，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：因为角的终边过点，所以，因为，所以．所以．故选：．4．（5分）在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：1230.240.512.023.988.02在以下四个函数模型，为待定系数）中，最能反映，函数关系的是　　A． B． C． D．【解答】解：由表格数据作出散点图如下：数据散点图和指数函数图象类似，故选项最能反映、的函数关系，故选：．5．（5分）赵爽是我国古代数学家、天文学家，约公元222年，赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形．如图所示的是一张弦图，已知大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，若直角三角形较小的锐角为，则的值为　　A． B． C． D．【解答】解：设直角三角形的短直角边为，则长直角边为，因为大正方形的面积为100，小正方形的面积为20，所以，解得，所以，所以．故选：．6．（5分）角的度量除了有角度制和弧度制之外，在军事上角的度量还有密位制，密位制的单位是密位．1密位等于圆周角的，即密位．在密位制中，采用四个数字来记一个角的密位数，且在百位数字与十位数字之间画一条短线，例如3密位写成，123密位写成，设圆的半径为1，那么密位的圆心角所对的弧长为　　A． B． C． D．【解答】解：因为1密位等于圆周角的，所以密位的圆心角为，又圆的半径为1，所以弧长．故选：．7．（5分）设，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，故选：．8．（5分）已知定义在上的函数的图象连续不断，有下列四个命题：甲：是奇函数；乙：的图象关于直线对称；丙：在区间，上单调递减；丁：函数的周期为2．如果只有一个假命题，则该命题是　　A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【解答】解：由函数的特征可知：函数在区间，上单调递减，其中该区间的宽度为2，所以函数在区间，上单调递减与函数的周期为2互相矛盾．即：丙和丁中有一个为假命题．若甲乙成立，故，故，故，所以函数的周期为4，即丁为假命题，由于只有一个假命题，故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．（5分）下列函数中，在定义域上既是增函数，又是奇函数的是　　A． B． C． D．【解答】解：．函数在定义域上不是单调函数，不满足条件．．，是奇函数，且是增函数，满足条件．．是奇函数，但在定义域上不是单调函数，不满足条件．．当，则，则，当，则，则，，综上，即是奇函数，作出的图象如图：由图象知函数为增函数，满足条件，故选：．10．（5分）关于函数，下列说法正确的是　　A．将函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象 B．函数在区间，上是单调增函数 C．函数的图象中与轴最近的对称轴的方程是 D．若，则的最小值为【解答】解：关于函数，将函数的图象向右平移个单位，可以得到函数的图象，故正确；在区间，，，，函数单调递增，故正确；令，求得，，故函数的图象的对称轴方程为，，令，可得与轴最近的对称轴的方程是，故错误；若，则的最小值为，故正确，故选：．11．（5分）已知函数，下列结论中正确的是　　A．不等式的解集可以是 B．不等式的解集可以是 C．函数在上可以有两个零点 D．“方程有一个正根和一个负根”的充要条件是“”【解答】解：：若不等式的解集是，且（3），则，由，解得，与题意不符，错误，：令，，则，的解集为，正确，：令，，则，由，则或，正确，：方程有一个正根和一个负根，正确，故选：．12．（5分）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，，，则下列说法正确的是　　A．线段与的长均为1 B．线段的长为1 C．若点，关于轴对称，则 D．当时，点，关于轴对称【解答】解：，，故，故正确；．若点，关于轴对称，且，，，故正确；当时，即，，即，，所以点，关于轴对称，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（第16题第一空2分，第二空3分）13．（5分）已知，则　3　．【解答】解：，故答案为3．14．（5分）设，则的值为 　　．【解答】解：，，，故答案为：．15．（5分）定义在区间，上的函数的图象与的图象的交点个数为 　4　．【解答】解：由于函数与有交点，则：，整理得：或，所以：在，范围内，，，，，故答案为：4．16．（5分）已知函数，该函数在上的所有零点之和为 　　；使得不等式成立的实数的取值范围为 　　．【解答】解：设函数，则为偶函数，则有：在上单调递减；在上单调递增；，（1），故（1），可得在上有一个零点；在上有一个零点，且两个零点关于原点对称，故有两个零点，而且关于对称，则两个零点之和为：，不等式等价为：，即有：，解得：，故答案为：；，．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合，，．（1）当时，求；（2）已知“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，对于，集合，解，可得，所以；当时，由解得，所以，因此，，（2）根据题意，，解可得，则；集合，若“”是“”的充分条件，则；必有，解得，即的取值范围为，．18．（12分）已知．（1）求的值；（2）若，求及的值．【解答】解：（1），所以，（2）因为，所以；．19．（12分）为进一步推进“快递进村”工程，加大农村综合物流服务供给力度，使得快递服务“三农”成果更加丰硕，让广大农民可以享受到更加便捷高效的快递服务，我市某乡镇农业产业园联合多家快递企业计划在该镇建一矩形物流中转站．按照规划要求，需要将中转站设计为内部物流工作区（图中阴影部分）和四周物流车辆通行区，已知内部物流工作区的面积需要4000平方米，四周车道的宽分别需要4米和10米，如图所示．（1）设工作区的长（单位：米，且，求中转站的占地面积关于的函数；（2）为了使中转站占地面积最小，问：工作区的长和宽该如何设计？【解答】解：（1）因为，且的面积4000平方米，所以，因为，所以，解得，面积，．．．．．．．．．．．．．（6分）（2），当且仅当等号成立，此时，．答：设计工作区的长为100米，宽为40米，占地面积最小．．．．．．．．．．．．（12分）20．（12分）已知函数，且（1），（2）．（1）求函数的解析式；（2）设，判断函数的单调性并用定义证明．【解答】解：（1）由得，，解得，所以，（2），在定义域上为增函数，证明如下：设任意，，且，则，因为，且，所以由，，知，即，所以，因此，所以函数在定义域上是增函数．21．（12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0   20 02（1）请根据上表数据，求函数的解析式；（2）关于的方程区间，上有解，求的取值范围；（3）求满足不等式的最小正整数解．【解答】解：（1）由表格数据知，，由，解得，所以．（2）当时，，所以在，上的值域为，，因为方程区间，上有解，所以的取值范围为，，（3）因为，所以不等式即：，解得或，由，得，所以，所以，；由得，所以，所以；令可得不等式解集的一部分为，，，因此，解集中最小的正整数为2．22．（12分）在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数具有如下性质：①定义域均为，且在上是增函数；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数，．利用上述性质，解决以下问题：（1）求双曲正弦函数和双曲余弦函数的解析式；（2）求函数，，的值域；（3）设，若对任意的正数，，都有，，且，求实数的取值范围．【解答】（1）由性质③知，，所以，由性质②知，，，所以，解得．（2）函数，设，由性质①，在是增函数知，当，时，，因为，所以原函数即：，故值域为．（3）对任意的正数，，都有，，可知．即对一切正数恒成立，又，可得，即对一切正数恒成立，所以；由，可得整理得，，两边同乘以得，，所以，因为，，所以，因此只需对任意，恒成立，所以，即．综上可知，实数的取值范围为，．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/1 9:05:24；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367