2021-2022学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合，，则　　

A． B． C． D．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）如果，且，则是　　

A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角

4．（5分）函数的最大值是　　

A．7 B． C．9 D．

5．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）函数的零点个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

7．（5分）2021年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的，已知碳14的半衰期是5730年（即每经过5730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半）．则该遗址距今约　　（参考数据：，，

A．3200年 B．3262年 C．3386年 D．3438年

8．（5分）已知，若关于的方程为常数）在内有两个不同的解，，则　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，，则

10．（5分）下列函数中，在区间上为增函数的是　　

A． B． C． D．

11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则　　

A． 

B．在上单调递减 

C．直线是图象的一条对称轴 

D．在，上的最小值为

12．（5分）设为非零常数，函数的定义域为．对于任意的实数，下列说法正确的是　　

A．若，则函数的图象关于直线对称 

B．若，则为函数的一个周期 

C．若，则为函数的一个周期 

D．若，则函数的图象关于点，对称

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若，则的值为 　　．

14．（5分）方程的解为 　　．

15．（5分）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是 　　．

16．（5分）已知函数，且关于的方程在区间，上有唯一解，则的取值范围是 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知为实数，，，．

（1）当时，求；

（2）当时，求的取值范围．

18．（12分）（1）已知是第三象限角，且，求；

（2）计算：．

19．（12分）设为实数，已知函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）证明：在区间上单调递减：

（3）当时，求函数的取值范围．

20．（12分）近年来，某企业每年消耗电费22.5万元．为了节能减排，决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，并接入本企业电网．安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是，为常数），的实际意义是未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和．

（1）求关于的函数关系式；

（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？

21．（12分）已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若在区间，上恒成立，求实数的取值范围．

22．（12分）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）证明：，使得成立．

2021-2022学年江苏省连云港市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）设集合，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：集合，，

．

故选：．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：命题是特称命题，则否定是，，

故选：．

3．（5分）如果，且，则是　　

A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角

【解答】解：，是第二、第三象限角或轴负半轴角，

又，是第一或第三象限角，

是第三象限角．

故选：．

4．（5分）函数的最大值是　　

A．7 B． C．9 D．

【解答】解：由题意可得函数的定义域为，则：，

所以，

当且仅当，即时取等号，

所以函数的最大值是．

故选：．

5．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

6．（5分）函数的零点个数是　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：函数，可得，解得．

时，，解得．

所以函数的零点个数是1．

故选：．

7．（5分）2021年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的，已知碳14的半衰期是5730年（即每经过5730年，遗存材料的碳14含量衰减为原来的一半）．则该遗址距今约　　（参考数据：，，

A．3200年 B．3262年 C．3386年 D．3438年

【解答】解：设时间经过了年，

则，两边取对数可得，，

所以．

故选：．

8．（5分）已知，若关于的方程为常数）在内有两个不同的解，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：已知，若关于的方程为常数），

整理得，

整理得：，

设，，

故关于的方程在内有两个不同的解，；

即，，

故．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，，则

【解答】解：．当，时无意义，故错误；

．由可知，不等式两边同时除以，得，故正确；

．因为，由不等式性质可知成立，故正确；

．因为，只有当时，才有，故错误；

故选：．

10．（5分）下列函数中，在区间上为增函数的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：结合指数函数与对数函数的性质可知，，符合题意；

当时，在区间上单调递减，不符合题意，错误；

根据正切函数的性质可知在上单调递增且，，

所以在区间上为增函数，符合题意．

故选：．

11．（5分）将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，则　　

A． 

B．在上单调递减 

C．直线是图象的一条对称轴 

D．在，上的最小值为

【解答】解：将函数的图象向右平移个单位长度，可得，

再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），可得，

即，所以正确，

由，，得．，所以在上单调递减，所以正确，

因为，所以直线不是图象的一条对称轴，所以错误，

由，得，所以当时，取得最小值，所以正确．

故选：．

12．（5分）设为非零常数，函数的定义域为．对于任意的实数，下列说法正确的是　　

A．若，则函数的图象关于直线对称 

B．若，则为函数的一个周期 

C．若，则为函数的一个周期 

D．若，则函数的图象关于点，对称

【解答】解：对于，若，则函数的图象关于直线对称，故正确；

对于，若，而为函数的一个周期必有，所以与已知矛盾，故不正确；

对于，若，取，则，即，所以2为函数的一个周期，故正确；

对于，若，取，则，即，所以函数的图象关于点，对称，故正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）若，则的值为 　　．

【解答】解：因为，

所以．

故答案为：．

14．（5分）方程的解为 　5　．

【解答】解：根据题意，方程，则有，

解可得；

故答案为：5．

15．（5分）若不等式的一个充分条件为，则实数的取值范围是 　，　．

【解答】解：由题意知，

由得，

若不等式的一个充分条件为，

则，得，

即实数的取值范围是，，

故答案为：，．

16．（5分）已知函数，且关于的方程在区间，上有唯一解，则的取值范围是 　，　．

【解答】解：函数，

由于，

整理得，

所以，当时，函数的值为，

由于关于的方程在区间，上有唯一解，

故或．即，．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知为实数，，，．

（1）当时，求；

（2）当时，求的取值范围．

【解答】解：（1）为实数，，，，

当时，或，，

所以．

（2）若，则对任意的恒成立，

即△，△，得，

所以的取值范围为，．

18．（12分）（1）已知是第三象限角，且，求；

（2）计算：．

【解答】解：（1）由诱导公式可得：，即，

又因为是第三象限角，，

所以，

所以．

（2）．

19．（12分）设为实数，已知函数是奇函数．

（1）求的值；

（2）证明：在区间上单调递减：

（3）当时，求函数的取值范围．

【解答】（1）解法1：由题意得，函数的定义域为，，，

又因为函数为奇函数，

所以，

即，得，

解法2：取，则有（1），即，得，

当时，，而，

所以，，上的奇函数，

故，

（2）由（1）知，对于任意，．

设，有，

由得，

那么，

则，

从而有，即，

故是上的减函数．

（3）对于，有，得，从而，

所以当，函数的取值范围为．

20．（12分）近年来，某企业每年消耗电费22.5万元．为了节能减排，决定安装一个可使用10年的太阳能供电设备，并接入本企业电网．安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：平方米）成正比，比例系数约为．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：平方米）之间的函数关系是，为常数），的实际意义是未安装太阳能供电设备时该企业每年消耗的电费．记（单位：万元）为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和．

（1）求关于的函数关系式；

（2）当为多少平方米时，取得最小值？最小值是多少万元？

【解答】解：（1）由，得，

则．

（2），

当且仅当，即时，取等号，

所以当时，取得最小值，

故当太阳能电池板安装78平方米时，该企业安装太阳能供电设备的费用与10年所消耗的电费之和最小，最小值为56万元．

21．（12分）已知函数．

（1）解关于的不等式；

（2）若在区间，上恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，不等式的解集为；

当时，由，可得，

方程的根为，2，

①时，，不等式的解集为；

②时，若，即时，不等式的解集为；

若，即时，不等式的解集为或；

若，即时，不等式的解集为或；（6分）

（2）由，得，

所以对于任意的，，有恒成立；

设函数，其对称轴方程为，（7分）

①当，即，时取得最小值，

，解得，所以（9分）

②当，即，函数在，单调递减．

所以时取得最小值，（1），得，所以．（11分）

综上，的取值范围为，．（12分）

22．（12分）已知函数的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式；

（2）证明：，使得成立．

【解答】解：（1）由题意可得：．得，，

由，

因为，

所以，

所以．

（2）证明：因为，，

又因为，所以，

所以，当且仅当，即时取到，

又因为，即，

所以，

所以成立，

要存在，使成立，只需存在，

使得，即，

解得：，即与有交集，

当，

所以存在，使得成立．

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