2021-2022学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，2，3，4，5，，，4，，，，则　　

A． B．，4， C．，4， D．，4，5，

2．（5分）已知为角终边上一点，则　　

A． B．1 C．2 D．3

3．（5分）命题“，”的否定是　　

A．“，” B．“，” C．“，” D．“，”

4．（5分）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为，日影长为．图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬　　

（参考数据：，

A． B． C． D．

5．（5分）若，的终边（均不在轴上）关于轴对称，则　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）设为函数的图象上一点，为坐标原点，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

7．（5分），，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）设，则　　

A． B． C． D．

10．（5分）如图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量与时间（月的函数图象，则该厂　　

A．前3个月的月产量逐月增加 

B．第5月的月产量比第4个月少 

C．第6月的月产量与第5个月持平 

D．第3个月结束后开始减产，直至停产

11．（5分）已知且．下列选项中，满足为定值（与，的取值均无关）的是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

12．（5分）已知函数的图象在区间，上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是　　

A．若（1），则在内至少有一个零点 

B．若（1），则在内没有零点 

C．则在内 没有零点，则必有（1） 

D．若在内有唯一零点，（1），则在上是单调函数

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）的值为 　　．

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②的函数　　（注不是常数函数．

①；

②．

15．（5分）某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重个，次品重个．现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品．将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，则共抽出 　　个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，则次品袋的编号为 　　．

16．（5分）若正数，满足，则的最大值为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

18．（12分）已知函数，的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于轴对称．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的值．

19．（12分）设函数．

（1）若函数的图象过点，直线与图象交于，两点，且，求，；

（2）当，时，根据定义证明函数在区间，上单调递增．

20．（12分）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．设直角梯形的高为．

（1）当时，求海报纸的面积；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

21．（12分）已知函数．

（1）求的值，并证明不是奇函数；

（2）若，其中是自然对数的底数，证明：存在不为0的零点，并求．

注：设为实数，表示不超过的最大整数．

参考数据：，，，．

22．（12分）已知函数，，．

（1）若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，求；

（2）若，求证：．

2021-2022学年江苏省南通市海安市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，2，3，4，5，，，4，，，，则　　

A． B．，4， C．，4， D．，4，5，

【解答】解：，2，3，4，5，，，，

，4，5，，

，4，，

故选：．

2．（5分）已知为角终边上一点，则　　

A． B．1 C．2 D．3

【解答】解：因为为角终边上一点，

所以，

则．

故选：．

3．（5分）命题“，”的否定是　　

A．“，” B．“，” C．“，” D．“，”

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是：“，”．

故选：．

4．（5分）图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为，日影长为．图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬　　

（参考数据：，

A． B． C． D．

【解答】解：由图1可得，又，

所以，所以，

所以，

该地的纬度约为北纬，

故选：．

5．（5分）若，的终边（均不在轴上）关于轴对称，则　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为，的终边（均不在轴上）关于轴对称，

则，，

选项，故正确，

选项，故错误，

选项，故错误，

选项，故错误，

故选：．

6．（5分）设为函数的图象上一点，为坐标原点，则的最小值为　　

A．2 B． C． D．

【解答】解：为函数的图象上一点，

可设，

，

当且仅当，即时，等号成立．

故的最小值为．

故选：．

7．（5分），，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，，

．

故选：．

8．（5分）函数的图象可能是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：令，

则，即的图象就是将的图象向上平移一个单位即可，

因为，即函数为奇函数，关于原点对称，

所以关于对称，

故选：．

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）设，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，所以，故错误；

对于：由于，故，故正确；

对于：当，，时，选项错误；

对于：由于，故，所以，故正确．

故选：．

10．（5分）如图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量与时间（月的函数图象，则该厂　　

A．前3个月的月产量逐月增加 

B．第5月的月产量比第4个月少 

C．第6月的月产量与第5个月持平 

D．第3个月结束后开始减产，直至停产

【解答】解：对于，由图象可知，1月到3月函数图象是下凸递增，故正确，

对于，由图象可知，3月到5月函数图象是上凸递增，即仍是增加的，只不过是增长的速度越来越快，故错误，

对于，由图象可知，5月到6月总产量没有变化，故正确，

对于，由图象可知，3月到5月函数图象是上凸递增，5月到6月总产量没有变化，即3月到5月产量仍然增加，只不过是增长的速度变慢，5月到6月产量保持不变，故错误，

故选：．

11．（5分）已知且．下列选项中，满足为定值（与，的取值均无关）的是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

【解答】解：对应，，故正确，

对应，，故正确，

对应，，故正确，

对应，不是定值，故不正确，

故选：．

12．（5分）已知函数的图象在区间，上是一条连续不断的曲线，则下列结论正确的是　　

A．若（1），则在内至少有一个零点 

B．若（1），则在内没有零点 

C．则在内 没有零点，则必有（1） 

D．若在内有唯一零点，（1），则在上是单调函数

【解答】解：因为在，上连续，

．（1），由零点存在定理可知，在内至少有一个零点，故正确；

．当时，满足（1），但在内有一个零点，故错误；

．在内没有零点，则必有（1）等价于（1），则在内有零点，由零点存在定理可知此命题是真命题，故正确；

．在内有唯一零点，（1），则在上必是单调函数，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）的值为 　11　．

【解答】解：原式．

故答案为：11．

14．（5分）写出一个同时具有下列性质①②的函数　（答案不唯一）　（注不是常数函数．

①；

②．

【解答】解：由知函数的周期是，

则满足条件，

，满足条件，

故答案为：（答案不唯一）．

15．（5分）某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重个，次品重个．现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品．将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，则共抽出 　55　个产品；将取出的产品一起称重，称出其重量，则次品袋的编号为 　　．

【解答】解：某工厂生产的产品中有正品和次品，其中正品重个，次品重个．

现有10袋产品（每袋装100个），其中1袋装的全为次品，其余9袋装的全为正品．

将这10袋产品从编号，从第号袋中取出个产品，2，，，

则共抽出个产品；

将取出的产品一起称重，称出其重量，

取出的次品的个数为8个，

则次品袋的编号为8．

故答案为：55；8．

16．（5分）若正数，满足，则的最大值为 　　．

【解答】解：由得，

设，则在上为增函数，

则，等价为（a），

则，

则，

，

当时，有最大值，

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）时，集合，

．

；

（2）若“”是“”的充分不必要条件，则，

集合，

，解得，

实数的取值范围是，．

18．（12分）已知函数，的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，将的图象向右平移个单位后，所得函数的图象关于轴对称．

（1）求函数的解析式；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）由题意可知，，即，

所以，，

将的图象向右平移个单位得，

因为的图象关于轴对称，

所以，，

所以，，

因为，所以，

所以；

（2），

所以，

，

，

所以．

19．（12分）设函数．

（1）若函数的图象过点，直线与图象交于，两点，且，求，；

（2）当，时，根据定义证明函数在区间，上单调递增．

【解答】解：（1）由题意得，①，

设，，

由题意得，即的两根为或，

所以，

所以，

整理得，，

解得，或（舍；

（2）证明：当，时，，

设，则，，

，

所以，

所以在区间，上单调递增．

20．（12分）为宣传2022年北京冬奥会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计三个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为．设直角梯形的高为．

（1）当时，求海报纸的面积；

（2）为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？

【解答】解：（1）宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，直角梯形的高为，

则梯形长的底边，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

，，

故海报面积为．

（2）直角梯形的高为，宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为，

，

海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为，

海报宽，海报长，

故，

当且仅当，即，

故当海报纸宽为，长为，可使用纸量最少．

21．（12分）已知函数．

（1）求的值，并证明不是奇函数；

（2）若，其中是自然对数的底数，证明：存在不为0的零点，并求．

注：设为实数，表示不超过的最大整数．

参考数据：，，，．

【解答】（1）证明：，

，

，

，

不是奇函数；

（2），

，（5），

（5），

存在不为0的零点

．

22．（12分）已知函数，，．

（1）若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，求；

（2）若，求证：．

【解答】解：（1）根据题意，若函数与的图象的一个交点的横坐标为2，

则，变形可得或，

解可得；无解；

故，

（2）证明：设，

当时，，其对称轴为，又由，则其对称轴，

又由，在区间，上为增函数，则，

当时，，开口向上，△

当时，△，必有恒成立，

综合可得：当是，恒成立，即恒成立．

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