2021-2022学年江苏省南通市如东县高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市如东县高一（上）期末数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C．，1， D．，

2．（5分）“”是“为函数的最小正周期”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）已知指数函数，且，则的取值范围　　

A． B． C． D．

4．（5分）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为　　

（参考数据：

A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米

5．（5分）若，且，，，且，则下列各式不恒成立的是　　

①；②；

③；

④．

A．②④ B．①③ C．①④ D．②③

6．（5分）已知，，，则下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

7．（5分）函数的部分图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

8．（5分）定义在上的函数满足，且，（3），则不等式的解集为　　

A． B． C．， D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知命题：关于的不等式的解集为，那么命题的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列不等式正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

11．（5分）已知函数下列说法正确的是　　

A．函数的图象关于点，对称 

B．函数的图象关于直线对称 

C．函数在，上单调递减 

D．图象右移个单位可得的图象

12．（5分）给出下列结论，其中正确的结论是　　

A．函数的最大值为 

B．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是， 

C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 

D．若，则的值为1

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）函数的单调递减区间为 　　．

14．（5分）已知函数，和函数的图象相交于，，三点，则的面积为　 　．

15．（5分）不等式对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为 　　．

16．（5分）已知函数，若存在，使得，则的取值范围为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知，且是第_______象限角．

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

（1）求，的值；

（2）化简求值：．

18．（12分）已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求函数的解析式；

（2）判断的单调性，并用单调性定义证明．

19．（12分）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在让日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，为年产量（单位：万箱）；已知．通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）

（1）求年利润与（万元）关于年产量（万箱）的函数关系式；

（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．

20．（12分）函数，的部分图象如图所示．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）将的图象向右平移个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在，上有两个解，求的取值范围．

21．（12分）设函数，．用表示，中的较大者，记为，．已知关于的不等式的解集为．

（1）求实数，的值，并写出的解析式；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围．

22．（12分）定义：若对定义域内任意，都有为正常数），则称函数为“距”增函数．

（1）若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；

（2）若，是“距”增函数，求的取值范围；

（3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值．

2021-2022学年江苏省南通市如东县高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合，，则　　

A． B． C．，1， D．，

【解答】解：，1，，，

，1，，1，．

故选：．

2．（5分）“”是“为函数的最小正周期”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：当“”时，“函数的最小正周期为”

当函数的最小正周期为”故，

故“”是“为函数的最小正周期”的充分不必要条件；

故选：．

3．（5分）已知指数函数，且，则的取值范围　　

A． B． C． D．

【解答】解：由指数函数，且得，

根据指数函数单调性可知．

故选：．

4．（5分）《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间．现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为米，肩宽约为米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为　　

（参考数据：

A．1.012米 B．1.768米 C．2.043米 D．2.945米

【解答】解：由题得：弓所在的弧长为：；

所以其所对的圆心角；

两手之间的距离．

故选：．

5．（5分）若，且，，，且，则下列各式不恒成立的是　　

①；②；

③；

④．

A．②④ B．①③ C．①④ D．②③

【解答】解：对于①，左边函数，右边为，故①不恒成立；

对于②，右边，②恒成立；

对于③，左边，所以满足，右边，故③不恒成立；

对于④，左右两边同时满足，故④恒成立．

故①③符合题意．

故选：．

6．（5分）已知，，，则下列判断正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

．

故选：．

7．（5分）函数的部分图象大致为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：函数的定义域是，

，

则是奇函数，排除，

当时，，排除，

故选：．

8．（5分）定义在上的函数满足，且，（3），则不等式的解集为　　

A． B． C．， D．

【解答】解：因为，不妨设，则，所以，

令，则，

所以函数在上单调递减，

不等式可变形为，

又因为（3），所以（3），

则不等式变形为（3），所以，

则不等式的解集为．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知命题：关于的不等式的解集为，那么命题的一个必要不充分条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：：关于的不等式的解集是，

△，

解得，

，，

命题的一个必要不充分条件是，，

故选：．

10．（5分）下列不等式正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：对于：由于，所以，故，则，当且仅当时，等号成立，故正确；

对于，设，所以，由于函数为对勾函数，在时，最小值为，故错误；

对于：当时，故错误；

对于：由于，所以，当且仅当时，等号成立，故正确．

故选：．

11．（5分）已知函数下列说法正确的是　　

A．函数的图象关于点，对称 

B．函数的图象关于直线对称 

C．函数在，上单调递减 

D．图象右移个单位可得的图象

【解答】解：选项：令，则，所以错误，

选项：令，则，故正确，

选项：当，则，，根据正弦函数的单调性可知函数在已知区间上不单调，故错误，

选项：当向右平移个单位后可得，故正确，

故选：．

12．（5分）给出下列结论，其中正确的结论是　　

A．函数的最大值为 

B．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是， 

C．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象关于直线对称 

D．若，则的值为1

【解答】解：对于：函数的最小值为，故错误；

对于：已知函数且在上是减函数，

所以，解得，当时，成立，

实数的取值范围是，，故正确；

对于：同一平面直角坐标系中，由于函数与互为反函数，

所以他们的图象关于直线对称，故正确；

对于：由于，则，则，同理，

所以，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）函数的单调递减区间为 　，　．

【解答】解：由，得或，

令，该函数在，上单调递减，

而函数是定义域内的增函数，

函数的单调递减区间为，．

故答案为：，．

14．（5分）已知函数，和函数的图象相交于，，三点，则的面积为　　．

【解答】解：根据题意，令，即，解得，或，

即或．

又，，或，或，点，，，，

的面积为，

故答案为：．

15．（5分）不等式对于任意的，恒成立，则实数的取值范围为 　，　．

【解答】解：对于任意的，恒成

对于任意的，恒成

即恒成立，

由二次不等式的性质可得，△

解不等式可得，

故答案为：，

16．（5分）已知函数，若存在，使得，则的取值范围为　，　．

【解答】解：，，为单调递增，

在，上单调递增，

则由存在，使得得，

，，，，

即，则，

则，

则，

即，

故答案为：，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知，且是第_______象限角．

从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：

（1）求，的值；

（2）化简求值：．

【解答】解：（1）因为，所以为第三象限或第四象限角；

若选③，，；

若选④，，；

（2）原式．

18．（12分）已知定义在上的函数是奇函数．

（1）求函数的解析式；

（2）判断的单调性，并用单调性定义证明．

【解答】解：（1）根据题意，定义在上的函数是奇函数，

则有，解可得，

则，是上的奇函数，符合题意，

故，

（2）根据题意，是上的减函数，

证明：，

设，，

又由，则，则有，

故是上的减函数．

19．（12分）2021年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、拉姆达”变异毒株，尽管我国抗疫取得了很大的成绩，疫情也得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然艰巨，日常防护依然不能有丝毫放松．在让日常防护中，口罩是必不可少的防护用品．已知某口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，为年产量（单位：万箱）；已知．通过市场分析，如若每万箱售价400万元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）

（1）求年利润与（万元）关于年产量（万箱）的函数关系式；

（2）求年产量为多少万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．

【解答】解：（1）当时，

，

当时，

，

故关于的函数解析式为．

（2）当时，

，

故当时，取得最大值600，

当时，

，

当且仅当，即时，取得最大值1000，

综上所述，当时，取得最大值1000，

故年产量为90万箱时，该口罩生产厂家所获得年利润最大．

20．（12分）函数，的部分图象如图所示．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）将的图象向右平移个长度单位，再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在，上有两个解，求的取值范围．

【解答】解：（1）根据函数的图象，，

所以；

由于，解得；

故；

令，

整理得，

故函数的单调递减区间为．

（2）将的图象向右平移个长度单位，得到函数的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），的图象；

若在，上有两个解，

即函数与函数在，上有两个交点；

所以或，

整理得或；

即的取值范围为，，．

21．（12分）设函数，．用表示，中的较大者，记为，．已知关于的不等式的解集为．

（1）求实数，的值，并写出的解析式；

（2）若，使得成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）的解集为，

方程的两根分别为和2，

由书达定理可得：，解得，

，

令

解得或，作出的图象如下图所示：

则．

（2）由 （1）得，当时，有最小值，

即，

，使得，

只需即可，

，

，得，

故．

22．（12分）定义：若对定义域内任意，都有为正常数），则称函数为“距”增函数．

（1）若，，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；

（2）若，是“距”增函数，求的取值范围；

（3）若，，其中，且为“2距”增函数，求的最小值．

【解答】解：（1）对任意的，，

，

，

，

故是“1距”增函数；

（2），

又为“距”增函数，

恒成立，

，

恒成立，

△，

；

（3），，其中，且为“2距”增函数，

当时，恒成立，

增函数，

当时，，即恒成立，

，解得，

当时，，即恒成立，

，解得，

综上所述，

又，

，

，

当时，，则的最小值为0，即函数的最小值为1，

当时，即，函数的最小值，函数的最小值为，

综上所述．

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