2021-2022学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（5分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）在中，“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．（5分）若定义域为的奇函数在区间，上单调递增，则不等式的解集为　　

A． B．， C． D．

5．（5分）若三个变量，，，随着变量的变化情况如下表．

则关于分别呈函数模型：，，变化的变量依次是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

6．（5分）已知，，且，则的最小值为　　

A．6 B．8 C．9 D．10

7．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式最可能是　　

A． B． C． D．

8．（5分）若函数有4个零点，则正实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列结果为1的是　　

A． B． 

C． D．

10．（5分）已知，下列结论中一定正确的是　　

A． B． 

C． D．

11．（5分）若关于的不等式的解集为，则　　

A． B． C． D．

12．（5分）记区间，，集合，，若满足成立的实数对有且只有1个，则实数可以取　　

A． B． C．1 D．3

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）写出一个满足“对任意实数，，（a）（b）”的增函数　　．

14．（5分）若对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则　　．

15．（5分）若实数，满足，则，的大小关系　　（填“”，“ ”或“” ．

16．（3分）立德中学拟建一个扇环面形状的花坛（如图），该该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．当时，　　米．现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元米，弧线部分的装饰费用为9元米，则花坛每平方米的装饰费用最小为 　　元．

四、解答题：本题共6小题，共共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知集合，，其中．

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围．

18．（12分）已知，其中为第二象限角．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）已知函数，，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式和单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间，上有两个不同的解，，求的值及实数的取值范围．

20．（12分）已知函数．

（1）当为奇函数，求实数的值；

（2）当，时，求函数在，上的最大值．

21．（12分）已知函数，其中实数且．

（1）若关于的函数在上存在零点，求的取值范围；

（2）求所有的正整数的值，使得存在，对任意，，均有不等式成立．

22．（12分）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线．1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数．

（1）诸从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；

①；

②；

③．

（2）求证：．

2021-2022学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，

故选：．

2．（5分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：集合，，

，．

故选：．

3．（5分）在中，“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：在中，若，则，即“” “”，

反之，在中，若，则或，故由“”不能推出“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

4．（5分）若定义域为的奇函数在区间，上单调递增，则不等式的解集为　　

A． B．， C． D．

【解答】解：为上的奇函数，

；

又在区间，上单调递增，奇函数在对称区间上单调性相同，

在上单调递增；

由不等式，得，

，解得，

不等式的解集为．

故选：．

5．（5分）若三个变量，，，随着变量的变化情况如下表．

则关于分别呈函数模型：，，变化的变量依次是　　

A．，， B．，， C．，， D．，，

【解答】解：由表可知，随着的增大而迅速的增大，是指数函数型变化，

随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化，

相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化．

故选：．

6．（5分）已知，，且，则的最小值为　　

A．6 B．8 C．9 D．10

【解答】解：，

，当且仅当时等号成立．

故选：．

7．（5分）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式最可能是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由的图象关于原点对称，可得为奇函数，

对于选项，，，不为奇函数，故排除；

对于选项，，，不为奇函数，故排除；

对于选项，，，可得为奇函数，

由，可得，，由和的图象可知它们只有一个交点，故排除；

对于选项，，，可得为奇函数，

且时，或，，，

故选项最可能正确．

故选：．

8．（5分）若函数有4个零点，则正实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：当时，令，解得：，

又因为有4个根，

所以当时，有3个零点，

因为，

所以，

所以有：，解得：，

故选：．

二、选择题：本题共4小题。每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）下列结果为1的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于选项，，

对于选项，，

对于选项，，

对于选项，，

故选：．

10．（5分）已知，下列结论中一定正确的是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于：由于，所以，故正确；

对于，故错误；

对于：当时，，故错误；

对于：设，由于函数在上单调递增，故当，不等式成立，故正确．

故选：．

11．（5分）若关于的不等式的解集为，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，关于的不等式的解集为，

则方程的两个根为和1，则有，

联立可得：，，

，则有，变形可得：，

则有，

依次分析选项：

对于，由于，且，则有，错误；

对于，由于，则，正确；

对于，，错误；

对于，，正确；

故选：．

12．（5分）记区间，，集合，，若满足成立的实数对有且只有1个，则实数可以取　　

A． B． C．1 D．3

【解答】解：，当时，，

当时，，可知函数为偶函数，且在单调递减，在单调递增，

若存在唯一实数对使，

则当时，，

当时，，

即，两式相乘得，

或，

，

，

又，

，同理，

，

即，

或，

故满足条件的为，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）写出一个满足“对任意实数，，（a）（b）”的增函数　　．

【解答】解：由幂运算性质知，

满足“对任意实数，，（a）（b）”的函数为指数函数，

故满足条件的增函数可以为，

故答案为：．

14．（5分）若对任意且，函数的图象都过定点，且点在角的终边上，则　　．

【解答】解：令，求得，，

可得函数的图象经过定点，

所以点在角的终边上，则．

故答案为：．

15．（5分）若实数，满足，则，的大小关系　　（填“”，“ ”或“” ．

【解答】解：，，

在同一直角坐标系画出函数，，的图象如下，

由图知，

故答案为：．

16．（3分）立德中学拟建一个扇环面形状的花坛（如图），该该扇环面是由以点为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角为（弧度）．当时，　5　米．现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装饰费用为4元米，弧线部分的装饰费用为9元米，则花坛每平方米的装饰费用最小为 　　元．

【解答】解：由题意可得，，

解得，

当时，解得，

，

装饰费为，

故，

令，，

则，

，当且仅当，即时，等号成立，

的最小值为，

花坛每平方米的装饰费用最小为元．

故答案为：5；．

四、解答题：本题共6小题，共共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知集合，，其中．

（1）当时，求；

（2）若，求的取值范围．

【解答】解：集合，，

（1）当时，，，

故，．

（2）因为，

所以，解得，

所以的取值范围为，．

18．（12分）已知，其中为第二象限角．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）由已知条件可得，

化简可得，代入，可得，

所以，或，

又在第二象限，

故，

所以，

所以，

所以．

（2），

所以．

19．（12分）已知函数，，的部分图象如图所示．

（1）求函数的解析式和单调增区间；

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，若关于的方程在区间，上有两个不同的解，，求的值及实数的取值范围．

【解答】解：（1）设的最小正周期为，

由图象可知，，得，所以，

故，

又，所以，即，

所以，，

所以，，

因为，所以，

所以，所以，

所以，

令，，则，，，

故的单调增区间为，．

（2）将函数的图象向左平移个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得，

由，知，

因为在上单调递增，在，上单调递减，

所以若方程有两个不同的解，则，，所以，，

此时．

20．（12分）已知函数．

（1）当为奇函数，求实数的值；

（2）当，时，求函数在，上的最大值．

【解答】解：（1）因为为奇函数，所以，

所以，即，所以，

又（1），所以，解得，

此时，对，，

所以为奇函数．故．

（2）

所以在和，上单调递增，在上单调递减，

其中，，

所以时，所以，

时，，．

令得，，

因此在，上的最大值为．

21．（12分）已知函数，其中实数且．

（1）若关于的函数在上存在零点，求的取值范围；

（2）求所有的正整数的值，使得存在，对任意，，均有不等式成立．

【解答】解：（1），

令，则，

由题意，，使得，所以，

令，所以，在上单调递增，所以．

所以的取值范围为

（2）当时，在上单调递增，

而，，，

所以，

所以，

所以，

即，对任意，成立，

时，，所以，

所以函数的对称轴方程为，，所以，

所以，时，恒成立，

当时，，

则，所以，不可能，舍去；

当时，一1，

所以，即，

即，而，所以，

所有的正整数的取值为6．

22．（12分）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线．1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数．当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数．

（1）诸从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；

①；

②；

③．

（2）求证：．

【解答】证明：（1）①；

②；

③，，则，所以，

所以，时取“”，

所以的最小值为．

证明：（2），，

当，时，，，所以，所以，所以成立：

当时，，所以，，

所以成立，

综上，，，．

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