2021-2022学年江苏省无锡市江阴市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．（5分）命题“，使得”的否定是　　

A．，使得 B．，都有 

C．，都有 D．，使得

2．（5分）“”是“关于的函数单调递减”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

3．（5分）若扇形的弧长为，圆心角为2弧度，则扇形的面积为　　

A． B． C． D．

4．（5分）设，，则有　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知幂函数的图像经过点，则该函数　　

A．定义域为 B．是偶函数 

C．在上单调递减 D．在上单调递增

6．（5分）函数的图像大致如下　　

A． 

B． 

C． 

D．

7．（5分）已知函数，若方程恰有3个不等的实数根，，，则的取值范围是　　

A． B．， 

C． D．

8．（5分）科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第462天时　　

A．智力曲线处于最高点 

B．情绪曲线与体力曲线都处于上升期 

C．智力曲线与情绪曲线相交 

D．情绪曲线与体力曲线都关于对称

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填在答题卡相应的位置上．）

9．（5分）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为　　

A． B． C． D．

10．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

11．（5分）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，、为太阳光，为某地处的水平线，为北极点，为南极点，为地球表面某地正午太阳高度角，为此时太阳直射点的纬度，为地的纬度值．为了便于计算，规定：①赤道以北，纬度值为正，赤道以南，纬度值为负；②纬度内；③正午太阳高度角，则以下说法中正确的选项是　　

A．某天太阳直射点的纬度值为，纬度值为的某地当天正午太阳高度角为 

B． 

C．若太阳直射点的纬度，，地的纬度值，则地正午太阳高度角为， 

D．若假设地球是半径为规则的球，甲地当天正午太阳高度角为，乙地正午太阳高度角，则甲、乙两地之间最短距离为

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．（5分）计算　　．

14．（5分）已知函数，，的图像如图所示，则函数的解析式为 　　．

15．（5分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 　　分钟．

16．（3分）设，则　　；不等式的解的范围为 　　．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．（10分）已知函数，命题：关于的方程有实数解．

（1）若命题为真，求实数的取值范围；

（2）若命题为假，求证：函数在区间内恰有一个零点．

18．（12分）定义一种集合运算：，且．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，

则有，2，．已知集合，，，．

（1）求；

（2）求和．

19．（12分）已知角的终边经过点，角为第三象限角，且_____，求下列各式的值．在以下三个条件任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

①；②；③与角终边关于对称，

（1）；

（2）．

20．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．其底面为长方形，其中．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．

（1）若贮水池的总造价不超过312000元，求边长的范围；

（2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，的最小值为2，

①求实数的值；

②先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数的对称中心．

22．（14分）已知函数．

（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；

（2）设．

①求实数的取值范围，并将表示为的函数；

②若，均有，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省无锡市江阴市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

1．（5分）命题“，使得”的否定是　　

A．，使得 B．，都有 

C．，都有 D．，使得

【解答】解：根据题意，命题“，使得”是特称命题，

其否定为：，都有；

故选：．

2．（5分）“”是“关于的函数单调递减”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．既不充分也不必要条件 D．充要条件

【解答】解：函数单调递减，

是关于的函数单调递减的充要条件，

故选：．

3．（5分）若扇形的弧长为，圆心角为2弧度，则扇形的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：扇形的弧长为，圆心角为2弧度，

该扇形的面积．

故选：．

4．（5分）设，，则有　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

．

故选：．

5．（5分）已知幂函数的图像经过点，则该函数　　

A．定义域为 B．是偶函数 

C．在上单调递减 D．在上单调递增

【解答】解：设幂函数，由于它的图像经过点，

故有，，．

故函数的定义域为，，，关于原点对称，

且3为奇数，故函数是奇函数，

又，故函数在上递减，在上也递减，

所以只有选项是正确的．

故选：．

6．（5分）函数的图像大致如下　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：，则是奇函数，排除，，

，排除，

故选：．

7．（5分）已知函数，若方程恰有3个不等的实数根，，，则的取值范围是　　

A． B．， 

C． D．

【解答】解：作出的图象，如图所示：

因为恰有3个不等的实数根，，，

所以，

设，

由对称性可知，

由，可得：，

所以，即，

所以，

故选：．

8．（5分）科学研究已经证实，人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期按进行变化．记智力曲线为，情绪曲线为，体力曲线为，且现在三条曲线都处于轴的同一点处，那么第462天时　　

A．智力曲线处于最高点 

B．情绪曲线与体力曲线都处于上升期 

C．智力曲线与情绪曲线相交 

D．情绪曲线与体力曲线都关于对称

【解答】解：第462天时，462除33余0，462除28余14，462除23余2，即智力曲线位于起始处，情绪曲线位于周期处，体力曲线位于周期处，

项，因为智力曲线位于起始处，故错误；

项，情绪曲线处于最高点，即将开始下降，故错误；

项，经过个周期后，因为智力曲线与情绪曲线都超过一个周期，必然相交，故正确；

项，因为位于体力曲线和情绪曲线的交点，且在轴上，故选项正确．

故选：．

二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分．请将答案填在答题卡相应的位置上．）

9．（5分）如果角与角的终边相同，角与的终边相同，那么的可能值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如果角与终边相同，则，

角与终边相同，则，，

，

选项符合题意，

故选：．

10．（5分）下列命题为真命题的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则 D．若，则

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，当，时，有，但，错误；

对于，，则，，则有，正确；

对于，若，则有，正确；

对于，当时，，错误；

故选：．

11．（5分）下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：作出函数的图象，如图，

由图象可知的周期为，在区间单调递增，

同理可得的周期为，在区间单调递减；

的周期为，排除，

的周期为，在区间单调递增．

故选：．

12．（5分）在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化．如图，、为太阳光，为某地处的水平线，为北极点，为南极点，为地球表面某地正午太阳高度角，为此时太阳直射点的纬度，为地的纬度值．为了便于计算，规定：①赤道以北，纬度值为正，赤道以南，纬度值为负；②纬度内；③正午太阳高度角，则以下说法中正确的选项是　　

A．某天太阳直射点的纬度值为，纬度值为的某地当天正午太阳高度角为 

B． 

C．若太阳直射点的纬度，，地的纬度值，则地正午太阳高度角为， 

D．若假设地球是半径为规则的球，甲地当天正午太阳高度角为，乙地正午太阳高度角，则甲、乙两地之间最短距离为

【解答】解：如图，当时，，又，所以，

又，故有，故有，

同理可证当时，有成立，故正确；

当时，，又，可得，故错误；

当，时，地的纬度值，又，可得地正午太阳高度角为，；故正确；

甲地当天正午太阳高度角为，所以地在赤道线上，乙地正午太阳高度角，故乙地在南极点，

则甲、乙两地之间最短距离为截面大圆，故甲、乙两地之间最短距离为，故错误．

故选：．

三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

13．（5分）计算　　．

【解答】解：，

故答案为：．

14．（5分）已知函数，，的图像如图所示，则函数的解析式为 　　．

【解答】解：根据函数的部分图像知，，且，

解得，

所以，

由，得，解得，，

所以，，

又，

所以，

所以函数的解析式为．

故答案为：．

15．（5分）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是．要使物体的温度变为，还要经过 　120　分钟．

【解答】解：现有的物体，放在的空气中冷却，60分钟以后物体的温度是，

，即①，

要使物体的温度变为，

则，即②，

联立①②，解得，

故还要经过分钟．

故答案为：120．

16．（3分）设，则　　；不等式的解的范围为 　　．

【解答】解：根据题意，，

则，

设，其定义域为，易得为减函数，

又由，则函数为奇函数，

不等式，

即，则有，

解可得：，即不等式的解集为；

故答案为：，．

四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上．）

17．（10分）已知函数，命题：关于的方程有实数解．

（1）若命题为真，求实数的取值范围；

（2）若命题为假，求证：函数在区间内恰有一个零点．

【解答】解：（1）若命题为真，则△，或，

实数的取值范围为或．

证明：（2）若命题为假，则，

，且开口向上，

，（1），

（1），

函数在区间内恰有一个零点．

18．（12分）定义一种集合运算：，且．例如，，2，3，4，，，5，6，7，，

则有，2，．已知集合，，，．

（1）求；

（2）求和．

【解答】解：（1）集合，，，，

，

（2）根据新定义可得集合中元素属于集合，但不属集合，

所以集合，

，

．

19．（12分）已知角的终边经过点，角为第三象限角，且_____，求下列各式的值．在以下三个条件任选一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

①；②；③与角终边关于对称，

（1）；

（2）．

【解答】解：因为角的终边经过点，角为第三象限角，

所以，，

若选①，因为，整理可得，解得或（舍去），

可得，，，，

（1）；

（2）．

若选②，因为，即，又角为第三象限角，所以，

下同选①．

若选③，因为与角终边关于对称，所以，

下同选①．

20．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．其底面为长方形，其中．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．

（1）若贮水池的总造价不超过312000元，求边长的范围；

（2）怎样设计贮水池能使总造价最低？最低总造价是多少？

【解答】解：（1）设，的长度为，，且，

则由题意可得，则且，则且，

贮水池的总造价为，

令，即，

即，解得，

综上，边长的范围为，；

（2）由（1）

，当且仅当，即时取等号，

此时，，总造价取得最小值为297600元．

21．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，的最小值为2，

①求实数的值；

②先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求函数的对称中心．

【解答】解：（1）

，

所以函数的最小正周期为．

（2）①当时，，，，，

所以的最小值为，解得．

②，

由已知可得，

令，，解得，，

所以函数的对称中心为，，．

22．（14分）已知函数．

（1）当时，判断并证明函数的奇偶性；

（2）设．

①求实数的取值范围，并将表示为的函数；

②若，均有，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

则，，

所以函数为奇函数，

（2）①．两边平方得，又，，

所以，，所以，，

所以，，，

②由若，均有，

所以恒成立，，

，

当时，，，有成立，

若，对称轴为，

当，即时，，

，

所以，所以，

当，即时，不等式成立，

当，即时，，，

，则，

所以，解得，又，

所以．

综上所述：实数的取值范围为，．

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