2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（上）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1．（5分）设集合，3，5，6，7，，，5，，，6，，则　　

A．，5，6， B．，3，7， C．， D．，

2．（5分）设是第二象限角，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知函数，则（1）（2）　　

A．12 B．2 C． D．3

4．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）函数的零点所在区间是　　

A． B． C． D．

6．（5分）函数是上的减函数，若，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

8．（5分）函数的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9．（5分）若，，，且，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）函数在下列哪些区间上单调递增　　

A． B． C． D．

11．（5分）设函数，则下列选项正确的有　　

A．的最小正周期是 

B．满足 

C．在，上单调递减，那么的最大值是 

D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到

12．（5分）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“函数”．下列为“函数”的是　　

A． B． C． D．

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．（5分）幂函数的图象经过点，则（9）　　．

14．（5分）已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为　　．

15．（5分）如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为　　．

16．（5分）已知正实数，满足，则的最小值是　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）设，，，，．

（1）分别求，；

（2）若，求实数的取值范围．

18．（12分）已知锐角满足．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）已知函数．

（1）求它的单调递增区间；

（2）若，求此函数的值域．

20．（12分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）

（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

21．（12分）已知函数，且为奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性并证明；

（3）解不等式：．

22．（12分）设函数，其中为常数．

（1）当时，求的定义域；

（2）若对任意，，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省无锡一中艺术班高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共8小题，共40分）

1．（5分）设集合，3，5，6，7，，，5，，，6，，则　　

A．，5，6， B．，3，7， C．， D．，

【解答】解：，3，5，6，7，，，5，，，6，，

，5，6，，，．

故选：．

2．（5分）设是第二象限角，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：是第二象限角，，

，

．

故选：．

3．（5分）已知函数，则（1）（2）　　

A．12 B．2 C． D．3

【解答】解：函数，

（1）（3），

（2），

（1）（2）．

故选：．

4．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

则，

故选：．

5．（5分）函数的零点所在区间是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，的定义域为，

又（1），（2），（1）（2），

在上有零点，

故选：．

6．（5分）函数是上的减函数，若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

函数是上的减函数，

．

故选：．

7．（5分）命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【解答】解：命题“，，” “，，”

是命题“，，”为真命题的一个充分不必要条件．

故选：．

8．（5分）函数的大致图象是　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：函数是定义域，，上的奇函数，

其图象关于原点对称，排除选项；

当时，，，的图象在轴上方，排除选项；

当时，，的图象在轴下方，排除选项；

函数的大致图象为选项．

故选：．

二、多选题（本大题共4小题，共20分）

9．（5分）若，，，且，则下列不等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，，，

，故正确，

对于，，，

，故正确，

对于，令，则，故错误，

对于，令，，满足，但，故错误．

故选：．

10．（5分）函数在下列哪些区间上单调递增　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数的增区间，即的减区间，为，

故选：．

11．（5分）设函数，则下列选项正确的有　　

A．的最小正周期是 

B．满足 

C．在，上单调递减，那么的最大值是 

D．的图象可以由的图象向右平移个单位得到

【解答】解：，

对于选项，即正确：

对于选项，

，

即不是的对称轴，故错误：

对于选项时，单调递碱，

故减区间为，，的最大值是，故正确；

对于的图象向右平移个单位得到，故错误．

故选：．

12．（5分）设函数的定义域为，如果对任意的，存在，使得成立，则称函数为“函数”．下列为“函数”的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，函数的定义域为，

是奇函数，

由，

故只需与由互为相反数即可，故为“函数”；

由，且，

由于递增，且，；，，

即有任一个，可得唯一的，使得，故为“函数”；

由可得，不成立，故不为“函数”；

由，若，

可取，可得无解，故不为“函数”．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，共20分）

13．（5分）幂函数的图象经过点，则（9）　3　．

【解答】解：设幂函数，

幂函数的图象经过，

，解得，

，

（9）．

故答案为：3．

14．（5分）已知扇形的圆心角为，扇形的周长为，则扇形的面积为　　．

【解答】解：设扇形的半径为，由题意可得：，解得．

则扇形的面积．

故答案为：．

15．（5分）如果函数的图象关于点中心对称，那么的最小值为　　．

【解答】解：函数的图象关于点中心对称，

，得，，由此得．

故答案为：

16．（5分）已知正实数，满足，则的最小值是　9　．

【解答】解：正实数，满足，

，即

，当且仅当，时取等号，

故的最小值是9，

故答案为：9

四、解答题（本大题共6小题，共70分）

17．（10分）设，，，，．

（1）分别求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），，

又由，可得，解得，

，，

，，，

，，．

（2），，

，，，

，解得，

的取值范围．

18．（12分）已知锐角满足．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）依题化简可得：或，

为锐角，

．

（2）原式，

将代入上式，

原式．

19．（12分）已知函数．

（1）求它的单调递增区间；

（2）若，求此函数的值域．

【解答】解：（1）．

由，，

解得，．

函数的单调递增区间为，，；

（2），

，，

，，

，，故此函数当时，值域为，．

20．（12分）小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足8万件时，（万元）．在年产量不小于8万件时，（万元）．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；

（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）

（Ⅱ）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：因为每件产品售价为5元，则（万件）商品销售收入为万元，依题意得：

当时，，

当时，，

．

当时，，此时，当时，取得最大值9；

当时，，

此时，当即时，取得最大值15；

，

年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润是15万元．

21．（12分）已知函数，且为奇函数．

（1）求的值；

（2）判断函数的单调性并证明；

（3）解不等式：．

【解答】解：（1）由函数为奇函数，，

则，得，

证明：（2）由（1）知，

设，

，

，，

即，

，

即函数在定义域上单调递增．

解：（3），且为奇函数，

，

函数 单调递增，

，

，

不等式的解集为．

22．（12分）设函数，其中为常数．

（1）当时，求的定义域；

（2）若对任意，，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，函数，

要使函数有意义，只需要：或，

，，即函数的定义域为，

（2），

，

，，的取值范围是，

又恒成立，可得恒成立，

，

，

即，

故实数的取值范围是，．

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