2021-2022学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．

1．（5分）已知集合，，，，0，1，，则　　

A．， B．，， C．，1， D．，0，1，

2．（5分）若，则的最小值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（5分）已知定义在上的函数满足，当，时，，则　　

A． B． C．2 D．1

4．（5分）设，，，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知角的终边上一点，，则　　

A． B． 

C． D．以上答案都不对

6．（5分）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C． D．

7．（5分）已知函数，则其大致图象为　　

A． 

B． 

C． 

D．

8．（5分）一次速算表演中，主持人出题：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，下面我报出这个31位数，请说出它的64次方根，这个31位数是未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个整数的64次方根．原理很简单，因为只有一个整数，它的64次方是一个31位整数．可是，在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么快速得出这个结论的呢？速算专家的秘诀是记住了下面的表．

根据上表，这个31位整数的64次方根是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）已知函数，，则下列选项中正确的有　　

A．为奇函数 B．为偶函数 

C．的值域为， D．有最小值0

10．（5分）以下四个命题，其中是真命题的有　　

A．命题“，”的否定是“，” 

B．若，则 

C．函数且的图象过定点 

D．若某扇形的周长为，面积为，圆心角为，则

11．（5分）函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有　　

A．的最小正周期为 

B．是的最小值 

C．在区间上的值域为 

D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

12．（5分）下列选项中，正确的有　　

A． B． 

C． D．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知幂函数满足，则　　．

14．（5分）函数的定义域为 　　．

15．（5分）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），摩天轮的半径长为，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点处，此时有，则距离地面的高度为 　　．

16．（5分）设，若，成立，则的取值范围为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）（1）化简：；

（2）求值：．

18．（12分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．

在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：

若_______，求实数的取值范围．

19．（12分）已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）判断在定义域上的单调性并证明．

20．（12分）已知函数，图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．

（1）若，．

①求函数图象的对称轴方程和对称中心的坐标；

②求函数在，上的单调增区间．

（2）若在上的最大值为5，最小值为，求实数，的值．

21．（12分）已知二次函数．

（1）若，解关于的不等式；

（2）若恒成立，且关于的不等式的解集为，，求实数，的值．

22．（12分）已知函数的定义域为，若恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，2，，，，则称函数为“级函数”．

（1）若函数，试判断函数是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；

（2）若函数，，是“2022级函数”，求正实数的取值范围；

（3）若函数是定义在上的“4级函数”，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省扬州市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）．

1．（5分）已知集合，，，，0，1，，则　　

A．， B．，， C．，1， D．，0，1，

【解答】解：集合，，，，0，1，，

，

，．

故选：．

2．（5分）若，则的最小值为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：由，得，

所以，

当且仅当，即时等号成立，

所以的最小值为4．

故选：．

3．（5分）已知定义在上的函数满足，当，时，，则　　

A． B． C．2 D．1

【解答】解：根据题意，定义在上的函数满足，则是周期为2的周期函数，

则，

又由当，时，，则，

则，

故选：．

4．（5分）设，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

，，

则，的大小关系为，

故选：．

5．（5分）已知角的终边上一点，，则　　

A． B． 

C． D．以上答案都不对

【解答】解：因为角的终边上一点，，

所以，

则．

故选：．

6．（5分）已知函数，若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围为　　

A．， B．， C． D．

【解答】解：因为函数为奇函数，且在上单调递增，

所以不等式成立等价于成立，

所以成立，

即，即，解得，

即实数的取值范围是．

故选：．

7．（5分）已知函数，则其大致图象为　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：，则是奇函数，排除，，

当时，，排除，

故选：．

8．（5分）一次速算表演中，主持人出题：一个31位整数的64次方根仍是一个整数，下面我报出这个31位数，请说出它的64次方根，这个31位数是未等主持人报出第一位数字，速算专家已经写出了这个整数的64次方根．原理很简单，因为只有一个整数，它的64次方是一个31位整数．可是，在事先不知道题目的情况下，速算专家是怎么快速得出这个结论的呢？速算专家的秘诀是记住了下面的表．

根据上表，这个31位整数的64次方根是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：设此数为，则，

而，观察已知数据，．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）

9．（5分）已知函数，，则下列选项中正确的有　　

A．为奇函数 B．为偶函数 

C．的值域为， D．有最小值0

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，其定义域为，有，则函数为奇函数，正确；

对于，，其定义域为，由，则函数为偶函数，正确，

对于，，当时，，故错误；

对于，，其最小值为1，错误；

故选：．

10．（5分）以下四个命题，其中是真命题的有　　

A．命题“，”的否定是“，” 

B．若，则 

C．函数且的图象过定点 

D．若某扇形的周长为，面积为，圆心角为，则

【解答】解：．命题“，”的否定是“，”，故正确；

．取，，满足，但不满足，故错误；

．函数且的图象过定点，故正确；

．因为形的周长为，面积为，

所以，解得：或，

所以或，

又因为，

所以，故正确；

故选：．

11．（5分）函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有　　

A．的最小正周期为 

B．是的最小值 

C．在区间上的值域为 

D．把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

【解答】解：由题意的图象过点，，

可得，

可得，

利用五点作图法可得，

可得，

对于，的最小正周期为，正确；

对于，，正确；

对于，由，可得，，可得，，可得，，错误；

对于，把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，正确．

故选：．

12．（5分）下列选项中，正确的有　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：对于：由得，所以，所以，故正确；

对于：令，则，令，则，

所以，所以，故错误；

对于，所以，故正确；

对于：因为函数在，上为减函数，又，

所以，故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．（5分）已知幂函数满足，则　　．

【解答】解：设幂函数的解析式为，

则由已知可得，则，

所以，则，

故答案为：．

14．（5分）函数的定义域为 　　．

【解答】解：由，得．

函数的定义域为．

故答案为：．

15．（5分）摩天轮的主架示意图如图所示，其中为轮轴的中心，距地面（即长），摩天轮的半径长为，摩天轮逆时针旋转且每12分钟转一圈．摩天轮上悬挂吊舱，点为吊舱的初始位置，经过10分钟，吊舱运动到点处，此时有，则距离地面的高度为 　20　．

【解答】解：设点的方程为，

依题意得，

解得，，

又因为，

所以，

此时，

又当时，，

所以，

，，

所以，

所以当时，，

所以点距离地面的高度为

故答案为：20．

16．（5分）设，若，成立，则的取值范围为 　　．

【解答】解：易知函数单调递增，，

则方程有唯一的实数根，

由题意可得方程也有唯一的实数根，

，，，

从而

当且仅当时等号成立．

综上可得，的取值范围是．

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，计70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）（1）化简：；

（2）求值：．

【解答】解：（1）；

（2）．

18．（12分）已知集合，．

（1）若，求；

（2）给出以下两个条件：①；②“”是“”的充分不必要条件．

在以上两个条件中任选一个，补充到横线处，求解下列问题：

若_______，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）当时，集合，，

所以；

（2）若选择①，则，

因为，

当时，，解得，

当，又，，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，．

若选择②，“”是“”的充分不必要条件，则，

因为，

当时，，解得，

当，又，，

所以且等号不同时成立，解得，

所以实数的取值范围是，．

19．（12分）已知函数是奇函数．

（1）求实数的值；

（2）判断在定义域上的单调性并证明．

【解答】解：（1）函数的定义域是，且是奇函数，

，解得：，

时，，函数的定义域是，

，

故符合题意；

（2）证明：结合（1），

函数在上单调递增，

证明如下：

设，

则

，

，

，，，

，，

在上单调递增．

20．（12分）已知函数，图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为．

（1）若，．

①求函数图象的对称轴方程和对称中心的坐标；

②求函数在，上的单调增区间．

（2）若在上的最大值为5，最小值为，求实数，的值．

【解答】解：（1）若，，函数，

图象的一条对称轴离最近的对称中心的距离为，，函数．

①令，，求得，，

可得函数图象的对称轴方程为，．

令，，求得，，

可得函数图象的对称中心的坐标为，，．

②令，，求得，，

可得函数的增区间为，，．

结合在，，可得增区间为，、，．

（2）若在上的最大值为5，最小值为，

则，或，

求得，或．

21．（12分）已知二次函数．

（1）若，解关于的不等式；

（2）若恒成立，且关于的不等式的解集为，，求实数，的值．

【解答】解：（1）由题意得，

，，

①当时，，

故不等式的解集为，，，

②当时，原不等式可化为，

故不等式的解集为，

③当时，，

故不等式的解集为，，；

综上所述，

①当时，不等式的解集为，，，

②当时，不等式的解集为，

③当时，不等式的解集为，，；

（2）由题意得，

恒成立，

解得，，

故，

其图象顶点为，

不等式的解集为，，

，是方程的解，

故，．

22．（12分）已知函数的定义域为，若恰好存在个不同的实数，，，，使得（其中，2，，，，则称函数为“级函数”．

（1）若函数，试判断函数是否为“级函数”，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；

（2）若函数，，是“2022级函数”，求正实数的取值范围；

（3）若函数是定义在上的“4级函数”，求实数的取值范围．

【解答】解：由可知方程应是的根，

（1）由得，解得，

所以函数是“级函数”，且；

（2）由得，所以，

函数，，是“2022级函数”所以在，有2022个根，

又函数为偶函数，则在，有1011个根，

所以，所以，

正实数的取值范围为，；

（3）函数是定义在上的“4级函数”，

则由得，有4个解，

所以有4个解，

所以有4个解，

令，所以，

当时，只有一个根，

当时，有两个根，

当时，没有实数根，

为使原方程有4个根，所以，有两个大于2的不等实根，

所以，

解得，

所以实数的取值范围为，．

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