2021-2022学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（5分）若集合，2，3，4，，，则集合的子集个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

3．（5分）“为钝角”是“为第二象限角”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．（5分）函数的零点个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知全集，则　　

A．， B．， C．， D．，

7．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　

A．8 B．12 C． D．

8．（5分）在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

在以下四个函数模型中，，为常数，最能反映，间函数关系的可能是　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知角与角的终边相同，则角可以是　　

A． B． C． D．

10．（5分）对于实数，，，正确的命题是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则， D．若，，则

11．（5分）已知函数和函数，下列说法中正确的有　　

A．函数与函数图象关于直线对称 

B．函数与函数图象只有一个公共点 

C．记，则函数为减函数 

D．若函数有两个不同的零点，，则

12．（5分）已知函数，若，则实数可以取的值是　　

A． B． C．1 D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）　　．

14．（5分）已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，则圆心角所对的弧长为 　　，该扇形的面积为 　　．

15．（5分）设幂函数同时具有以下两个性质：

①函数在第二象限内有图象；

②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立．

请写出符合上述条件的一个幂函数　　．

16．（5分）我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后，厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注，根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折 　　次．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（1）求值：；

（2）求值：．

18．（12分）在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．

（1）求点的坐标；

（2）求的值．

19．（12分）已知函数．

（1）怎样将函数的图象平移得到函数的图象？

（2）判断并证明函数在，上的单调性，并求函数在上的值域．

20．（12分）已知，且满足_____．

从①；②；③三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答补充完整的题目．

（1）求的值；

（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．

21．（12分）我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12800元的价格购入一批风能发电机．经测算，每台发电机每年的发电收益约7200元，已知每台发电机使用年后的累计维修保养费用为元，且满足关系式，为常数）．已知该批发电机第1年每台的维修保养费用为1000元，前2年每台的累计维修保养费用为2400元．设每台发电机使用年后的总利润为元．

（1）求关于的函数关系式；

（2）问每台发电机在第几年的年平均利润最大？（注：年平均利润总利润年数）

22．（12分）已知函数为偶函数．

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数的零点为，求证：．

2021-2022学年江苏省镇江市高一（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：命题“， “的否定是，，

故选：．

2．（5分）若集合，2，3，4，，，则集合的子集个数为　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：集合，

集合，2，3，4，，

，，

集合中有2个元素，

故集合的子集的个数为．

故选：．

3．（5分）“为钝角”是“为第二象限角”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

【解答】解：若是钝角，则是第二象限角；反之，若是第二象限角，不一定是钝角，如．

“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件．

故选：．

4．（5分）函数的零点个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【解答】解：令，

则，

作函数与的图象如图，

两个函数图象有两个交点，

函数的零点个数是2，

故选：．

5．（5分）函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：因为，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除，，

因为（1），时，，所以排除．

故选：．

6．（5分）已知全集，则　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：全集

或，

．

故选：．

7．（5分）已知正数，满足，则的最小值为　　

A．8 B．12 C． D．

【解答】解：因为正数，满足，

所以，即，

则，

当且仅当，即，时取等号，此时的最小值为12．

故选：．

8．（5分）在一次数学实验中，小军同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

在以下四个函数模型中，，为常数，最能反映，间函数关系的可能是　　

A． B． C． D．

【解答】解：将这组数据在直角坐标系中绘出，

依据散点图以及指数型函数图像的特征，即可判断选项较为准确，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知角与角的终边相同，则角可以是　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，，，故错误，

对于，，，故正确，

对于，，，故错误，

对于，，，故正确．

故选：．

10．（5分）对于实数，，，正确的命题是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若，则， D．若，，则

【解答】解：对于，，

，，即，故正确，

对于，，

，，则，故正确，

对于，令，，满足，但，，故错误，

对于，，，

，即，故正确．

故选：．

11．（5分）已知函数和函数，下列说法中正确的有　　

A．函数与函数图象关于直线对称 

B．函数与函数图象只有一个公共点 

C．记，则函数为减函数 

D．若函数有两个不同的零点，，则

【解答】解：．因为函数和函数互为反函数，所以关于对称，故正确；

．由指数函数和对数函数的图象可知与的图象只有一个交点，故正确；

．，则有（1），（2）（1），所以不是减函数，故错误；

．有两个根，，设，

则有，

所以，

所以，

所以，

所以有，故正确．

故选：．

12．（5分）已知函数，若，则实数可以取的值是　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：函数，

可得，

不等式即为，

所以，

又函数，

当时，递减，递减，可得在，递减，

又的图象关于点对称，可得在上递减，

所以，

解得，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）　　．

【解答】解：

．

故答案为：．

14．（5分）已知扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，则圆心角所对的弧长为 　　，该扇形的面积为 　　．

【解答】解：扇形的圆心角为，且圆心角所对的弦长为，

半径，

弧长，扇形的面积．

故答案为：；．

15．（5分）设幂函数同时具有以下两个性质：

①函数在第二象限内有图象；

②对于任意两个不同的正数，，都有恒成立．

请写出符合上述条件的一个幂函数　（答案不唯一）　．

【解答】解：由对于任意两个不同的正数，，都有恒成立，则函数为减函数，

由函数在第二象限内有图象，则函数为偶函数，

故符合上述条件的一个幂函数为（答案不唯一）．

故答案为：（答案不唯一）．

16．（5分）我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后，厚度能超过地月距离．但实际上，因为纸张本身有厚度，所以我们并不能将纸张无限次对折，当纸张的厚度超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为，厚度为的矩形纸张沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为，厚度变为．在理想情况下，对折次数有下列关系：（注，根据以上信息，一张长为，厚度为的纸最多能对折 　8　次．

【解答】解：由题意得

，

因为，，

所以，

所以的最大值为8．

故答案为：8．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）（1）求值：；

（2）求值：．

【解答】解：（1）．

（2）．

18．（12分）在平面直角坐标系中，的顶点与坐标原点重合，点在轴的正半轴上，点在第二象限，且，记，满足．

（1）求点的坐标；

（2）求的值．

【解答】解：（1）因为在第二象限，所以，，

又点的坐标为，所以．

（2）．

19．（12分）已知函数．

（1）怎样将函数的图象平移得到函数的图象？

（2）判断并证明函数在，上的单调性，并求函数在上的值域．

【解答】解：（1），

所以将的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位（或先向下再向左），可以得到函数的图象．

（2）在，上单调递减．

证明：任取，，，且，，

故，所以在，上单调递减；

同理可证在上单调递减，所以在上单调递减，，

所以在上的值域为，．

20．（12分）已知，且满足_____．

从①；②；③三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答补充完整的题目．

（1）求的值；

（2）若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值．

【解答】解：（1）若选①，因为，所以，矛盾；

若选②，，则，

所以，

因为，

所以，

故，且，

所以；（方法不唯一）

若选③，因为，

所以，

由，

所以，且，

所以，可得．

（2）由题意，

可得．

21．（12分）我市某运输公司为积极响应国家节能减排的号召，年初以每台12800元的价格购入一批风能发电机．经测算，每台发电机每年的发电收益约7200元，已知每台发电机使用年后的累计维修保养费用为元，且满足关系式，为常数）．已知该批发电机第1年每台的维修保养费用为1000元，前2年每台的累计维修保养费用为2400元．设每台发电机使用年后的总利润为元．

（1）求关于的函数关系式；

（2）问每台发电机在第几年的年平均利润最大？（注：年平均利润总利润年数）

【解答】解：（1）由题意：，解得，，

所以，

所以，；

（2）平均利润，

当且仅当，即时取“”号，

所以在第八年时平均利润最大．

22．（12分）已知函数为偶函数．

（1）求实数的值；

（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设函数的零点为，求证：．

【解答】解：（1）由得恒成立，得；

（2）设，则，，

不等式恒成立，

所以对，恒成立，

因为在，上单调递增，

所以，

即的取值范围为，；

（3）证明：，在单调递增，

且，

在上连续，所以由零点存在定理存在，，使得，

又因为在，上单调递增，

所以，

即．

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