2021-2022学年江苏省金湖中学、涟水中学等七校高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省金湖中学、涟水中学等七校高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，2，3，4，，，，，4，，则　　

A． B．， C．， D．，2，

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

3．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． C．，， D．，，

4．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件

5．（5分）直角梯形中，，，，直线截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

6．（5分）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

7．（5分）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是　　

A．6 B． C． D．3

8．（5分）定义，，为，，中的最大值，设，则的最小值为　　

A． B．3 C． D．4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知集合，0，1，，则下列表示正确的是　　

A． B．， 

C．，1， D．集合的子集个数为8

10．（5分）对任意实数，，，给出下列命题中正确的是　　

A．“”是“”的既不充分也不必要条件 

B．“”是“”的充分不必要条件 

C．“”是“”的充要条件 

D．“”是“”的必要不充分条件

11．（5分）已知，，，下列说法正确的是　　

A．有最大值 B．的最小值为25 

C．的最小值为 D．有最小值

12．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著．他给出了“狄利克雷函数” ，其中为实数集，为有理数集．则关于“狄利克雷函数”有如下四个命题，其中正确的是　　

A．， 

B．函数的图像关于对称 

C．，，恒成立 

D．不存在，，，，，，使得为等腰直角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若函数，则（3）　　．

14．（5分）计算的值为 　　．

15．（5分）若如表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是　　，其正确的值为　　．

16．（5分）已知函数，那么（4）　　，若存在实数，使得（a）（a），则的个数是　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，，，．

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围．

18．（12分）现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．

已知二次函数，且满足_____（填所选条件的序号）．

（1）求函数的解析式；

（2）已知，若存在使的图象在图象的上方，求满足条件的实数的取值范围．

19．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的零点；

（2）不等式的解集为，求实数的值；

（3）解关于的不等式．

20．（12分）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足19万件时，（万元）．在年产量大于或等于19万件时，（万元）．每件产品售价为25元．通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）

（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

21．（12分）已知集合，，．

（1）命题：“，都有”，若命题为真命题，求的值；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

22．（12分）已知函数，．

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省金湖中学、涟水中学等七校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）设集合，2，3，4，，，，，4，，则　　

A． B．， C．， D．，2，

【解答】解：因为集合，2，3，4，，，，，4，，

所以，，

则．

故选：．

2．（5分）命题“，”的否定是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：命题为全称命题，则命题的否定为，，

故选：．

3．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． C．，， D．，，

【解答】解：由题意，，解得且．

函数的定义域是，，．

故选：．

4．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充要条件 B．充分不必要条件 

C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件

【解答】解：①当时，则成立，充分性成立，

②当时，则或，必要性不成立，

是的充分不必要条件，

故选：．

5．（5分）直角梯形中，，，，直线截该梯形所得位于左边图形面积为，则函数的图象大致为　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：由题意可知：当时，，

当 时，；

所以．

结合不同段上函数的性质，可知选项符合．

故选：．

6．（5分）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

【解答】解：因为命题“，使”是假命题，

所以命题“，使”是真命题，

即判别式△，解得，

所以实数的取值范围是．

故选：．

7．（5分）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是　　

A．6 B． C． D．3

【解答】解：由是不等式的解集，

所以，是方程的两个实数根，

所以，，且；

所以，且，；

即；

所以

，

当且仅当，即时“”成立；

所以的最小值为．

故选：．

8．（5分）定义，，为，，中的最大值，设，则的最小值为　　

A． B．3 C． D．4

【解答】解：由题意，可分别画出，，的图象如下：

取它们中的最大部分，得出的图象如下图所示：

由图象可知，当即时，的最小值为：，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）已知集合，0，1，，则下列表示正确的是　　

A． B．， 

C．，1， D．集合的子集个数为8

【解答】解：由集合的性质知，

，故选项正确；

，，而不是，，故选项错误；

，1，，故选项正确；

集合中有4个元素，故其子集个数为，故选项错误；

故选：．

10．（5分）对任意实数，，，给出下列命题中正确的是　　

A．“”是“”的既不充分也不必要条件 

B．“”是“”的充分不必要条件 

C．“”是“”的充要条件 

D．“”是“”的必要不充分条件

【解答】解：对于，由“”可得“”，反之，由“”不一定得到“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选项错误；

对于，由“”可得“”，反之，“”可得“”，

所以“”是“”的充分不必要条件，

故选项正确；

对于，由“”可得“”，反之也成立，

所以“”是“”的充要条件．

故选项正确；

对于，若“”，当其中一个为负数时，则“”不成立，反之成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选项正确．

故选：．

11．（5分）已知，，，下列说法正确的是　　

A．有最大值 B．的最小值为25 

C．的最小值为 D．有最小值

【解答】解：，，由，可得，

当且仅当时，取得最大值，故正确；

由，

当且仅当时，取得最小值25，故正确；

，

当时，取得最大值，故错误；

由，

设（b），

可得（b）的值域为，，故错误．

故选：．

12．（5分）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著．他给出了“狄利克雷函数” ，其中为实数集，为有理数集．则关于“狄利克雷函数”有如下四个命题，其中正确的是　　

A．， 

B．函数的图像关于对称 

C．，，恒成立 

D．不存在，，，，，，使得为等腰直角三角形

【解答】解：对于，时，所以，当时，，

又因为0，，所以，，故选项正确；

对于，当，则，则，

当，则，则，故选项正确；

对于，取，，则，

而，

所以，故选项错误；

对于，当，，均为有理数或均为无理数时，

，，三点在一条直线上，不能构成三角形，所以，，中有两个是有理数，一个是无理数或者两个是无理数，一个是有理数，

不妨设，是有理数，是无理数，则，，，，，，

因为三角形为等腰直角三角形，所以若是直角，则，与是无理数矛盾，

若是直角，则，与是无理数矛盾，

若是直角，因为，

所以，与是无理数矛盾，

所以此时三角形不可能为等腰直角三角形，

当，，有两个是无理数，一个是有理数时，

不妨设，是无理数，是有理数，则，，，，，，

因为三角形为等腰直角三角形，所以若是直角，则，与是有理数矛盾，

若是直角，则，与是有理数矛盾，

若是直角，因为，

所以，且是有理数，

只能是，是两个互为相反数的无理数，即，即，

又因为三角形为等腰直角三角形，所以，或，与，是无理数相矛盾，

所以此时三角形不可能为等腰直角三角形，

综上所述：不存在，，，，，，使得为等腰直角三角形；

所以正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若函数，则（3）　9　．

【解答】解：根据题意，函数，

令可得：（3），

即（3）；

故答案为：9．

14．（5分）计算的值为 　4　．

【解答】解：原式．

故答案为：4．

15．（5分）若如表中恰有一个对数的值是错误的，则该对数是　　，其正确的值为　　．

【解答】解：由对数的运算法则得：

，

表中错误，．

故答案为：，．

16．（5分）已知函数，那么（4）　1　，若存在实数，使得（a）（a），则的个数是　　．

【解答】解：由（4），

那么（4）．

设（a），

由（a）（a），那么，

即图象与有两交点，

可得或，

由图象可知：

当时，即（a），可得或，

当时，即（a），可得或或，

综上，存在实数，使得（a）（a），则的个数是5个值，

故答案为1，5．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，，，．

（1）求，；

（2）若，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）由题意，集合，，集合，

所以，，

所以，，

则，；

（2）因为，

由，解得，

所以实数的取值范围是，．

18．（12分）现有三个条件：①对任意的都有；②不等式的解集为；③函数的图象过点．请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解．

已知二次函数，且满足_____（填所选条件的序号）．

（1）求函数的解析式；

（2）已知，若存在使的图象在图象的上方，求满足条件的实数的取值范围．

【解答】解：（1）条件①：因为，

所以，

即对任意的恒成立，

所以，解得；

条件②：因为不等式的解集为，

所以，即；

条件③：函数的图象过点，

所以；

若选择条件①②：则，，，此时；

若选择条件①③：则，解得，，，此时；

若选择条件②③：则，解得，，，此时；

（2）由题知，因为存在使的图像在图像的上方，

所以，

解得或，

所以的取值范围为，，．

19．（12分）已知函数．

（1）当时，求函数的零点；

（2）不等式的解集为，求实数的值；

（3）解关于的不等式．

【解答】（1）当时，，

令，解得，，

所以函数的零点为0，1；

（2）不等式的解集为，

所以△，解得；

（3）的根为，，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为．

20．（12分）2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数3869人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为100万元，每生产万件，需另投入流动成本为万元，在年产量不足19万件时，（万元）．在年产量大于或等于19万件时，（万元）．每件产品售价为25元．通过市场分析，生产的医用防护用品当年能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润年销售收入固定成本流动成本）

（2）年产量为多少万件时，某厂家在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？

【解答】解：（1）因为每件商品售价为25元，则万件商品销售收入为万元，

依题意得，当时，，

当时，，

所以；

（2）当时，，

此时，当时，取得最大值万元，

当时，万元，

此时，当且仅当，即时，取得最大值118万元，

因为，

所以当生产的医用防护服年产量为20万件时，厂家所获利润最大，最大利润为180万元．

21．（12分）已知集合，，．

（1）命题：“，都有”，若命题为真命题，求的值；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

【解答】解：（1）由，解得，2，集合，，，

命题：“，都有”，若命题为真命题，则．

①若，则，解得．

②若，，则，解得．

的值为2或3．

（2）若“是“”的必要条件，．

①时，此时，，解得．

②时，此时，，此时方程组无解，的值不存在．

③时，此时，，此时方程组无解，的值不存在．

④，此时△，解得．

综上可知：的取值范围是，或．

22．（12分）已知函数，．

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲使原方程只有一解，即要求方程有且仅有一个等于1的解或无解，

．（6分）

（2）当时，不等式恒成立，即对恒成立，

①当时，显然成立，此时；

②当时，可变形为，

令

因为当时，，当时，，所以，故此时．

综合①②，得所求实数的取值范围是．（12分）

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 15:18:05；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367