2021-2022学年江苏省连云港市东海县高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省连云港市东海县高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知集合，和全集，2，3，，且，2，，，，则　　

A． B． C．， D．

2．（5分）不等式的解集为　　

A．或 B． C． D．或

3．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为　　

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

5．（5分）设，，，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，则的值是　　

A．47 B．45 C．50 D．35

7．（5分）已知，函数，若，则的值为　　

A．3 B．1 C． D．2

8．（5分）函数的定义域为，为偶函数，且，当，时，．若（2）（3），则　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

9．（5分）已知集合，则有　　

A． B． C．， D．

10．（5分）已知，，且，则下列说法中正确的　　

A．的最大值为 B．的最大值为2 

C．的最小值为4 D．的最小值为4

11．（5分）若函数的定义域为，，值域为，，则正整数的值可能是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

12．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是　　

A． 

B．的单调递增区间为， 

C．当时， 

D．的解集为，，

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）化简得 　　．

14．（5分）若集合，，其中为实数．若是的充分不必要条件，则的取值可以是 　　．（答案不唯一，写出一个即可）

15．（5分）已知，，则　　（结果用，表达）

16．（5分）对，，，使得不等式成立，则实数的取值范围是　　．

四、解答题：共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，．

（1）求集合、；

（2）求，．

18．（12分）已知函数．

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）画出函数图象，写出函数的值域．

19．（12分）已知正实数，满足．

（1）求的最小值；

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围．

20．（12分）已知函数，，，．

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若最小值为，求的值．

21．（12分）2022年世界冬季奥运会在北京举行，为迎接这一盛会，我校预计在12月底举办冬季运动会．在会徽设计征集大赛中，高一（3）班的小北设计的会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要大批量生产．其中会徽的六个直角（阴影部分如图二）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图一所示，矩形周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点．

（1）用表示图一中面积；

（2）已知镀金工艺是2元，试求一个纪念章的镀金部分所需的最大费用．

22．（12分）已知函数，，．

（1）当时，求函数的值域；

（2）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省连云港市东海县高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

1．（5分）已知集合，和全集，2，3，，且，2，，，，则　　

A． B． C．， D．

【解答】解：由已知可得，

所以，

故选：．

2．（5分）不等式的解集为　　

A．或 B． C． D．或

【解答】解：不等式化为

，

解得，

不等式的解集为．

故选：．

3．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

【解答】解：因为“”，则“”；但是“”不一定有“”，

所以“”，是“”成立的充分不必要条件．

故选：．

4．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为3.9，则其视力的小数记录法的数据约为　　

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【解答】解：，某同学视力的五分记录法的数据为3.9，

，即，解得．

故选：．

5．（5分）设，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：当，时，选项，，不正确，

根据不等式的性质可得选项正确．

故选：．

6．（5分）已知，则的值是　　

A．47 B．45 C．50 D．35

【解答】解：，

，

，

，

．

故选：．

7．（5分）已知，函数，若，则的值为　　

A．3 B．1 C． D．2

【解答】解：，函数，若，

，

（1），

解得．

故选：．

8．（5分）函数的定义域为，为偶函数，且，当，时，．若（2）（3），则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由为偶函数，可得，

即为，

又，即有，

所以，即为偶函数，

当，时，，

可得（2）（3）（1），

由（3）（1）（3），

可得（3）（1），所以，即，

所以当，时，，

．

故选：．

二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上．

9．（5分）已知集合，则有　　

A． B． C．， D．

【解答】解：因为方程的解为0或，

所以，，所以，正确，错误，

故选：．

10．（5分）已知，，且，则下列说法中正确的　　

A．的最大值为 B．的最大值为2 

C．的最小值为4 D．的最小值为4

【解答】解：，，且，

由基本不等式得，，当且仅当且，即，时取等号，

解得，，此时取得最大值，正确；

，当且仅当且，即，时取等号，

此时的最小值2，错误；

，当且仅当且，即，时取等号，此时的最小值4，正确；

，

当且仅当且即时取等号，此时取得最小值4，正确．

故选：．

11．（5分）若函数的定义域为，，值域为，，则正整数的值可能是　　

A．2 B．3 C．4 D．5

【解答】解：函数的对称轴方程为，

当时，函数在，上单调递减，时取最大值，时有最小值，解得，函数的定义域为，，值域为，，，舍去．

则当时，最小值为，而，由对称性可知，．

实数的值可能为：3，4．

故选：．

12．（5分）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是　　

A． 

B．的单调递增区间为， 

C．当时， 

D．的解集为，，

【解答】解：函数是定义在上的奇函数，可得，故错误；

当时，，设，则，，

又，所以时，，故正确；

由时，，可得（1），

又和在递增，可得在递增，

由奇函数的图象关于原点对称，可得在递增，且，

所以等价为或，

解得或，故错误；

由的图象可看作的图象位于轴上方的图象不变，将轴下方的图象翻折到轴上方得到，

所以的递增区间为，，故正确．

故选：．

三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）化简得 　　．

【解答】解：，，

．

故答案为：．

14．（5分）若集合，，其中为实数．若是的充分不必要条件，则的取值可以是 　1　．（答案不唯一，写出一个即可）

【解答】解：若是的充分不必要条件，则，且，

整理得：，符合题意，

故答案为：1．

15．（5分）已知，，则　　（结果用，表达）

【解答】解：，，

，

故答案为：．

16．（5分）对，，，使得不等式成立，则实数的取值范围是　，　．

【解答】解：由得：，

当时，取得最小值，

，

，，

，，的最大值为3．

．

故答案为：，．

四、解答题：共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知集合，．

（1）求集合、；

（2）求，．

【解答】解：（1）集合，

因为，

所以集合，

即，，；

（2）因为，，

所以，，．

18．（12分）已知函数．

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）画出函数图象，写出函数的值域．

【解答】解：（1）函数为偶函数，

证明：因为，

所以，

所以函数为偶函数．

（2）函数，

图象如图：

函数的值域为，．

19．（12分）已知正实数，满足．

（1）求的最小值；

（2）若关于的方程有解，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为，为正实数，，

所以，

解得：，

当且仅当，即，时，等号成立，

则的最小值为8；

（2）由得：，则，

所以（当且仅当，即，时，等号成立），

所以，解得：或，

故的取值范围为或．

20．（12分）已知函数，，，．

（1）若恒成立，求的取值范围；

（2）若最小值为，求的值．

【解答】解：（1）因为开口向上，

由，时，恒成立，

所以，即，解得，

故实数的取值范围为；

（2）函数的对称轴方程为，图象开口向上，

当时，函数在，上单调递增，

所以（1），解得（舍；

当时，函数在，上单调递减，在，上单调递增，

所以，（舍；

当时，函数在，上单调递减，

所以（2），解得．

综上所述，．

21．（12分）2022年世界冬季奥运会在北京举行，为迎接这一盛会，我校预计在12月底举办冬季运动会．在会徽设计征集大赛中，高一（3）班的小北设计的会徽《冬日雪花》获得一等奖．他的设计灵感来自三个全等的矩形的折叠拼凑，现要大批量生产．其中会徽的六个直角（阴影部分如图二）要利用镀金工艺上色．已知一块矩形材料如图一所示，矩形周长为，其中长边为，将沿向折叠，折过去后交于点．

（1）用表示图一中面积；

（2）已知镀金工艺是2元，试求一个纪念章的镀金部分所需的最大费用．

【解答】解：（1）由题意可得出，

设，，

，，，

，

，

在中，由勾股定理得，

即，

解得，

所以，

所以的面积为．

（2）设一个纪念章的镀金费用为元，

则，

当，，

又因为，

所以当时取到最大值．

故当为时，一个纪念章的镀金最大费用为元．

22．（12分）已知函数，，．

（1）当时，求函数的值域；

（2）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，求的取值范围．

【解答】解：（1）当，，

因为，

所以，

因为，

所以函数在上单调递增，

所以函数的值域为；

（2）由题意，，

则，即恰有2个整数解，

所以，即或，

当时，不等式解为，

因为，恰有两个整数解，即1，2，

所以，，

解得；

当时，不等式解为，

因为，恰有两个整数解，即，，

所以，，

解得．

综上所述，实数的取值范围为．

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