2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本大题共8小题每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

1．（3分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．

2．（3分）若，，，则下列说法正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若且，则 D．若，则

3．（3分）已知，化简　　

A． B． C． D．

4．（3分）已知正数，满足，则的最大值为　　

A． B．1 C．2 D．4

5．（3分）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

6．（3分）下列函数是奇函数且在上是增函数的是　　

A． B． C． D．

7．（3分）已知偶函数，当时，，则不等式的解集是　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

8．（3分）二次函数的两个零点都在区间内，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：（本大题共4小题每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．（4分）如图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是　　

A．赵红出生时的体重为 

B．赵红的体重随年龄的增长而增加 

C．赵红25岁之后，体重不变 

D．赵红体重增加最快的时期是岁

10．（4分）下列说法正确的是　　

A．与是同一函数 

B．若，，则 

C．当时， 

D．正数，满足，则的最小值为9

11．（4分）已知函数，下列说法正确的是　　

A．（1） B．为偶函数 

C．的图像关于对称 D．的定义域为，

12．（4分）已知函数，，下列说法正确的是　　

A．的最大值为1 

B．的值域为， 

C．的最大值为2 

D．在上单调递减

三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

13．（3分）若函数满足，，，写出一个符合要求的解析式　　．

14．（3分）设为实数，若函数是偶函数，则的值为 　　．

15．（3分）已知，是方程的两个实数根，则　　．

16．（3分）函数是上的 　　函数（用“奇”“偶”“非奇非偶”填空），若，则实数的取值范围是 　　．

四、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17．（8分）计算：

（1）；

（2）．

18．（10分）若集合，．

（1）若集合，求的值；

（2）若，且，求的取值范围．

19．（10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度（单位：千米小时）与车流密度（单位：辆千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数，当车流密度为170辆千米时，车流速度为10千米小时．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）已知车流量（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆小时），当车流密度为多少时，车流量最小并求出最小值．

20．（10分）已知函数的定义域为．

（1）当时，写出单调增区间；

（2）若，求的取值范围；

（3）若，，求的取值范围．

21．（10分）已知函数．

（1）判断在，上的单调性并用定义证明；

（2）判断下列说法的正误：（正确的在括号里打，错误的在括号里打；

①是奇函数 　　；

②在上单调递增 　　；

③的值域为　　；

④不等式的解集为　　；

⑤，　　；

⑥，　　；

⑦不等式有解的充要条件是　　；

⑧关于的方程在，上有解的充要条件是　　．

2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本大题共8小题每小题3分，共24分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

1．（3分）已知集合，，则　　

A．， B．， C．， D．

【解答】解：由题意作数轴如下，

故，，

故选：．

2．（3分）若，，，则下列说法正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C．若且，则 D．若，则

【解答】解：对于：当，时，则不成立，故错误；

对于：当时，则不成立，故错误；

对于：当，时，则不成立，故错误；

对于：根据不等式的同向可加性可得正确．

故选：．

3．（3分）已知，化简　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

故选：．

4．（3分）已知正数，满足，则的最大值为　　

A． B．1 C．2 D．4

【解答】解：，且，，

根据基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，

的最大值为4．

故选：．

5．（3分）设，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知可得命题，

因为是的必要不充分条件，

则，，，所以，解得，

故选：．

6．（3分）下列函数是奇函数且在上是增函数的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：是奇函数，且在上是增函数，故正确；

是奇函数，在递减，在递增，故错误；

是偶函数，故错误；

是奇函数，且在上是减函数，故错误．

故选：．

7．（3分）已知偶函数，当时，，则不等式的解集是　　

A． B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：设，则，

则，函数为偶函数，

所以时，，

，当时，，解得；

当时，，解得，

所以不等式的解集为，，．

故选：．

8．（3分）二次函数的两个零点都在区间内，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【解答】解：依题意可知，，

解得：，

故选：．

二、多项选择题：（本大题共4小题每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）

9．（4分）如图表示赵红的体重与年龄的关系，下列说法正确的是　　

A．赵红出生时的体重为 

B．赵红的体重随年龄的增长而增加 

C．赵红25岁之后，体重不变 

D．赵红体重增加最快的时期是岁

【解答】解：由图可知，0岁时体重为，即赵红出生时的体重为，正确；

在岁之间，赵红的体重没有变化，错误；

50岁之后，体重有下降趋势，错误；

岁，体重平均每年增加，岁，体重平均每年增加，正确．

故选：．

10．（4分）下列说法正确的是　　

A．与是同一函数 

B．若，，则 

C．当时， 

D．正数，满足，则的最小值为9

【解答】解：选项：，，故两个函数的定义域不同，故选项错误；

选项：，故选项错误；

选项：当时，，当且仅当时，等号成立，所以，故选项正确；

选项：，当且仅当时等号成立，故选项正确．

故选：．

11．（4分）已知函数，下列说法正确的是　　

A．（1） B．为偶函数 

C．的图像关于对称 D．的定义域为，

【解答】解：，

，是偶函数，则的图像关于对称，故正确；

，，，，的定义域是，，故错误；

由（1），得错误；

故选：．

12．（4分）已知函数，，下列说法正确的是　　

A．的最大值为1 

B．的值域为， 

C．的最大值为2 

D．在上单调递减

【解答】解：．，，，

当时的最大值为1，故正确；

，在，上递增，值域为，，故正确；

．，当且仅当时取等号，故正确；

，在递增，故错误；

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

13．（3分）若函数满足，，，写出一个符合要求的解析式　（不唯一）　．

【解答】解：令，，

则，

故答案为：（不唯一）．

14．（3分）设为实数，若函数是偶函数，则的值为 　0　．

【解答】解：因为函数是偶函数，

所以，即恒成立，解得．

故答案为：0．

15．（3分）已知，是方程的两个实数根，则　　．

【解答】解：方程可化为：，

韦达定理得，

则有，

故答案为：．

16．（3分）函数是上的 　奇　函数（用“奇”“偶”“非奇非偶”填空），若，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：因为，

所以，

所以是上的奇函数，

，

若，则，

解得，

即实数的取值范围是，．

故答案为：，．

四、解答题：本大题共5小题，共48分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17．（8分）计算：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式，

（2）原式．

18．（10分）若集合，．

（1）若集合，求的值；

（2）若，且，求的取值范围．

【解答】解：（1）由，得，

，，

故；

（2）由可知，

，

且，，，，

则有且，

解得，

故的取值范围．

19．（10分）某兴趣小组开展关于市区道路上车流速度（单位：千米小时）与车流密度（单位：辆千米）关系的研究，研究表明：当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，当时，车流速度是车流密度的一次函数，当车流密度为170辆千米时，车流速度为10千米小时．

（1）当时，求函数的解析式；

（2）已知车流量（单位时间内通过路上某观察点的车辆数，单位：辆小时），当车流密度为多少时，车流量最小并求出最小值．

【解答】解：当时，

，

当时，

，

由题意可得，，解得，

故，

综上所述，．

（2）当，时，

，

的对称轴为，

在，上单调递增，在，上单调递减，

又，

，

，

故车流密度20辆千米时，最小车流量为1200辆小时．

20．（10分）已知函数的定义域为．

（1）当时，写出单调增区间；

（2）若，求的取值范围；

（3）若，，求的取值范围．

【解答】解：（1）当时，，

故函数在上单调递增；

（2）依题意可知，对任意恒成立，

当时，不等式恒成立，

当时，有，解得，

综上所述，，

所以的取值范围为，；

（3）依题意可知，对，恒成立，

所以对，恒成立，

设，函数在，上单调递增，

故（4），可知，

所以的取值范围为．

21．（10分）已知函数．

（1）判断在，上的单调性并用定义证明；

（2）判断下列说法的正误：（正确的在括号里打，错误的在括号里打；

①是奇函数 　　；

②在上单调递增 　　；

③的值域为　　；

④不等式的解集为　　；

⑤，　　；

⑥，　　；

⑦不等式有解的充要条件是　　；

⑧关于的方程在，上有解的充要条件是　　．

【解答】解：（1）依题意可知，可知函数为奇函数，

考虑的单调性，，设，

则有，

所以，

可知其在，单调递增；

（2）函数为奇函数，①正确；上单调增，②正确；

由时，可知值域为，③错误；

由，解得，④正确；

由单调增，可知，⑤正确；

由③可知，函数的值域，故⑥，显然错误⑥错误；

显然时不等式时，均有解，⑦错误；

时，由方程，得，此时方程在，无解，⑧错误；

综上，①②④⑤正确，其余错误．

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