2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高一（上）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，0，1，2，，，则　　

A．， B．，1， C． D．，0，1，2，

2．（5分）命题，，则命题的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

3．（5分）若函数，则　　

A． B．2 C． D．4

4．（5分）为了增强学生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行田径运动会，某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为　　

A．7 B．8 C．10 D．12

5．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）设，，，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为　　

A． B． C．或 D．或

7．（5分）我们知道：任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数，则是多少位数　　（其中

A．43 B．44 C．45 D．46

8．（5分）设函数，则满足的的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）下列各组中表示同一函数的是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

10．（5分）下列各式最小值正确的有　　

A．的最小值为2 

B．当时，的最小值为2 

C．当，时，的最小值为4 

D．的最小值为2

11．（5分）下列选项中，关于的不等式有实数解的充分不必要条件的有　　

A． B． C． D．

12．（5分）为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是　　

A．当，时有害垃圾错误分类的重量加速增长 

B．当，时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 

C．当，时有害垃圾错误分类的重量相对于当，时增长了 

D．当，时有害垃圾错误分类的重量相对于当，时减少了1.8吨

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，若，则的值为 　　．

14．（5分）若命题“，”为假命题，则满足条件的一个自然数的值为 　　．

15．（5分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为 　　；若使用的篱笆总长度为30米，则的最小值为 　　．

16．（5分）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，4，，写出一个满足条件的集合，补充在下列问题中的横线上，并求出问题的解．

问题：已知，且，是小于10的正偶数，______．求，．

18．（12分）（1）计算：；

（2）已知，计算的值．

19．（12分）设全集，集合，集合，其中．

（1）若命题“，”是真命题，求的取值范围；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

20．（12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离（单位：与车速（单位：之间满足关系式，其中，为常数．试验测得如下数据：

（1）求，的值；

（2）请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．

21．（12分）已知函数．

（1）证明：函数在区间上是增函数；

（2）当时，不等式恒成立，求正实数的取值范围．

22．（12分）设，，已知二次函数．若关于的不等式的解集为，，且．

（1）求的值；

（2）若，均小于0，求的取值范围；

（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知集合，0，1，2，，，则　　

A．， B．，1， C． D．，0，1，2，

【解答】解：，0，1，2，，，

，1，，

故选：．

2．（5分）命题，，则命题的否定是　　

A．， B．， C．， D．，

【解答】解：由含有量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，

命题，，则命题的否定是：，．

故选：．

3．（5分）若函数，则　　

A． B．2 C． D．4

【解答】解：函数，

，

（2）．

故选：．

4．（5分）为了增强学生体质，培养学生顽强拼搏的意志品质，某学校举行田径运动会，某班60名学生中有三分之一的学生参加了比赛，其中参加田赛的有14人，参加径赛的有18人，则该班田赛和径赛都参加的学生人数为　　

A．7 B．8 C．10 D．12

【解答】解：设田赛和径赛都参加的学生人数为

因为60学生中有三分之一的学生参加了比赛，所以参加比赛的学生有20人，

故，解得，

故都参加的学生人数为12人，

故选：．

5．（5分）若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于：当，时，显然不成立，错误

对于，，错误

对于：由已知条件知，

根据不等式的性质得：

即

正确

对于：由已知条件知：

错误

故选：．

6．（5分）设，，，若不等式的解集是，则关于的不等式的解集为　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：因为不等式的解集为，

则，解得，，且，

所以不等式可化为：

，解得，

关于的不等式的解集为．

故选：．

7．（5分）我们知道：任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数，则是多少位数　　（其中

A．43 B．44 C．45 D．46

【解答】解：，

，

是46位数，

故选：．

8．（5分）设函数，则满足的的取值范围是　　

A．， B． C．， D．，

【解答】解：由已知化简化简函数可得：，

因为，

则当，即时，一定有，解得，所以，

当，即时，满足，

综上可得，实数的取值范围为，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）下列各组中表示同一函数的是　　

A．， 

B．， 

C．， 

D．，

【解答】解：对于，函数和的定义域相同和对应法则均相同同，所以表示同一函数，故选项正确；

对于，函数和的定义域和对应法则均相同，所以表示同一函数，故选项正确；

对于，函数和的定义域不同，所以不表示同一函数，故选项错误；

对于，函数和的定义域不同，对应法则也不同，所以不表示同一函数，故选项错误．

故选：．

10．（5分）下列各式最小值正确的有　　

A．的最小值为2 

B．当时，的最小值为2 

C．当，时，的最小值为4 

D．的最小值为2

【解答】解：对于选项，当时，，故不正确；

对于选项，由知、同号，故，

当且仅当时，等号成立，故正确；

对于选项，，

当且仅当时，等号成立，故正确；

对于选项，，

令，

在，上是增函数，

故的最小值为，故不正确；

故选：．

11．（5分）下列选项中，关于的不等式有实数解的充分不必要条件的有　　

A． B． C． D．

【解答】解：设函数，

①当时，因为二次函数的图象对应抛物线开口向上，所以一定有解，

②当时，若，则，解得，

③当时，若，则△，△，

由，解得或，

综上所述，当或时，不等式一定有实数解，

故，，是不等式有实数解的充分不必要条件．

故选：．

12．（5分）为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是　　

A．当，时有害垃圾错误分类的重量加速增长 

B．当，时有害垃圾错误分类的重量匀速增长 

C．当，时有害垃圾错误分类的重量相对于当，时增长了 

D．当，时有害垃圾错误分类的重量相对于当，时减少了1.8吨

【解答】解：由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所以是加速增长，所以选项正确；

当，时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项正确；

当，时增长数量比当，时增长数量要少，所以是减少，所以选项错误；

当，时共增长2.4吨，当，时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知，若，则的值为 　　．

【解答】解：，，

又且，

，

故答案为：．

14．（5分）若命题“，”为假命题，则满足条件的一个自然数的值为 　1　．

【解答】解：由于命题“，”为假命题；

故命题“，”为真命题，

故满足条件的自然数的值为1．

故答案为：1．

15．（5分）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米．若菜园面积为50平方米，则所用篱笆总长的最小值为 　　；若使用的篱笆总长度为30米，则的最小值为 　　．

【解答】解：①由题意得，，

所用篱笆总长为，

（当且仅当时，等号成立）

故所用篱笆总长的最小值为；

②由题意得，，

则

，

（当且仅当时，等号成立）

故的最小值为．

故答案为：，．

16．（5分）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围 　，　．

【解答】解：函数，

当时，，

当时，，

当时，在，上单调递减，在上单调递增，不符合题意；

当时，，不符合题意；

当时，在，上单调递增，在上单调递减，

因为在区间上单调递增，

则，解得．

综上所述，实数的取值范围为，．

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知，4，，写出一个满足条件的集合，补充在下列问题中的横线上，并求出问题的解．

问题：已知，且，是小于10的正偶数，______．求，．

【解答】解：，4，，则，或，或，4，，

已知，且，2，3，4，5，6，7，8，，是小于10的正偶数，4，6，，

当，时，，3，4，6，，，2，5，6，7，8，，，6，，

当，时，，3，4，5，6，，，2，4，6，7，8，，，4，6，，

当，4，时，，3，4，5，6，，，2，6，7，8，，，6，．

18．（12分）（1）计算：；

（2）已知，计算的值．

【解答】解：（1）原式．

（2），

，

，

，

．

19．（12分）设全集，集合，集合，其中．

（1）若命题“，”是真命题，求的取值范围；

（2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围．

【解答】解：（1）因为“，”是真命题，所以，

即，解得．

（2）因为“”是“”的必要条件，所以，

当时，即，解得，显然满足题意；

当，即时，，解得，所以，

综上所述：．

20．（12分）汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故产生原因的一个重要因素．在一个限速为的弯道上，现场勘查测得一辆事故汽车的刹车距离略超过10米．已知这种型号的汽车的刹车距离（单位：与车速（单位：之间满足关系式，其中，为常数．试验测得如下数据：

（1）求，的值；

（2）请你判断这辆事故汽车是否超速，并说明理由．

【解答】解：（1）由题意，可得，解得．

（2）汽车超速．理由如下：

由题意，可得，

解得或（舍去），

故该车超速．

21．（12分）已知函数．

（1）证明：函数在区间上是增函数；

（2）当时，不等式恒成立，求正实数的取值范围．

【解答】（1）证明：函数，

设，

则，

因为，

所以，，

故，即

所以函数在区间上是增函数；

（2）解：不等式，即，

由（1）可知，在上单调递增，

不等式对于恒成立，

即对于恒成立，

令，则对于恒成立，

即对于恒成立，

令，

由（1）可知，在，上单调递增，

所以（1），

故，

所以，

故正实数的取值范围为．

22．（12分）设，，已知二次函数．若关于的不等式的解集为，，且．

（1）求的值；

（2）若，均小于0，求的取值范围；

（3）若对任意的，恒成立，求的取值范围．

【解答】解：（1）因为二次函数，且不等式的解集为，，

则，是方程的两个根，

因为，

则，

所以；

（2）由（1）可得，，

因为，均小于0，

则方程有两个小于0的根，

所以，解得，

故实数的取值范围为；

（3）令，

因为对任意的，恒成立，

则对任意的恒成立，

即对任意的恒成立，

当时，，则，故无解；

当时，，则，解得．

综上所述，实数的取值范围为．

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