2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（上）期中数学试卷

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上。

1．（5分）已知全集为，集合，4，，集合，，则　　

A． B．，5， C．， D．

2．（5分）若函数为上的奇函数，且当时，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）函数的定义域为　　

A．， B． 

C．，， D．，，

4．（5分）已知指数函数的图象经过点，则　　

A．8 B．16 C． D．

5．（5分）“”是“函数在区间，上为增函数”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．（5分）已知函数，且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）知函数，，，方程，，的根分别为，，，则，，的大小顺序为　　

A． B． C． D．

8．（5分）对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若

正实数与为函数的一对“类指数”， 的最小值为9，则的值为　　

A． B．1 C． D．2

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把正确答案涂在答题卡上。

9．（5分）若，则下列结论中错误的有　　

A． B． C． D．

10．（5分）函数在下列哪些区间内单调递减　　

A． B． C． D．

11．（5分）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是　　

A．4 B．3 C． D．

12．（5分）已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最小正周期为4 

B．的图象关于直线对称 

C．当时，函数的最大值为2 

D．当时，函数的最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在答题卷横线上

13．（5分）已知，，且满足，则的最大值为 　　．

14．（5分）定义在区间，上的偶函数，最大值为，则　　．

15．（5分）若函数，则　　．

16．（5分）已知函数，若，则　　．

四、综合题：本大题共6小题，共70分。请把正确答案填在答题卷上。

17．（10分）（1）已知，求的值；

（2）化简并计算．

18．（12分）设全集为，，．

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值组成的集合．

19．（12分）已知幂函数，且在上是减函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围．

20．（12分）已知函数．

（1）若函数定义域为，求的取值范围；

（2）若函数值域为，，求的取值范围．

21．（12分）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元．

（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）

（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．

哪一种方案较为合算？请说明理由．

22．（12分）已知函数是定义在，上的奇函数，且（1）．

（1）求，的值；

（2）判断在，上的单调性，并用定义证明；

（3）设，若对任意的，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省无锡市市北高级中学高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案涂在答题卡上。

1．（5分）已知全集为，集合，4，，集合，，则　　

A． B．，5， C．， D．

【解答】解：集合，4，，集合，，

由补集的定义可得：，，，

然后进行交集运算可得：，．

故选：．

2．（5分）若函数为上的奇函数，且当时，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，当时，，则（1），

函数为上的奇函数，则，（1），

故，

故选：．

3．（5分）函数的定义域为　　

A．， B． 

C．，， D．，，

【解答】解：要使有意义，则，解得，

的定义域为：，．

故选：．

4．（5分）已知指数函数的图象经过点，则　　

A．8 B．16 C． D．

【解答】解：由题意可得，

解得，

故选：．

5．（5分）“”是“函数在区间，上为增函数”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：函数在区间，上为增函数，

要使函数在区间，上为增函数，则，

“”是“函数在区间，上为增函数”充分不必要条件．

故选：．

6．（5分）已知函数，且的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数，的图象恒过定点，

将，代入得：，

，

，

则，

故选：．

7．（5分）知函数，，，方程，，的根分别为，，，则，，的大小顺序为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题可得，（1），所以，（1），，所以，

令，即，解得或或，因为，所以，所以，

故选：．

8．（5分）对于函数，若，满足，则称，为函数的一对“类指数”．若

正实数与为函数的一对“类指数”， 的最小值为9，则的值为　　

A． B．1 C． D．2

【解答】解：根据题意，若正实数与为函数的一对“类指数”，

则，变形可得，

则，

若的最小值为9，则，解可得；

故选：．

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把正确答案涂在答题卡上。

9．（5分）若，则下列结论中错误的有　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，令，，则，故错误，

对于，令，，则，故错误，

对于，，

，即，故正确，

对于，令，，满足，但，故错误．

故选：．

10．（5分）函数在下列哪些区间内单调递减　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数在上单调递减，函数在上单调递增，在上单调递减，

由复合函数的单调性可知，函数在上单调递减，

选项符合题意．

故选：．

11．（5分）已知函数是上的增函数，则实数的值可以是　　

A．4 B．3 C． D．

【解答】解：因为是上的增函数，

所以，

解得．

故选：．

12．（5分）已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法正确的是　　

A．的最小正周期为4 

B．的图象关于直线对称 

C．当时，函数的最大值为2 

D．当时，函数的最小值为

【解答】解：对任意实数满足，

可得函数关于对称轴，

又，

即函数是周期函数，周期为4．

，

那么

函数是偶函数，

又当时，

函数在区间，上单调递增．

函数在区间，上单调递减．

当时，函数的最大值为2．

函数的周期为4．

当时，函数，

当时，取得最小值，则选项不正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在答题卷横线上

13．（5分）已知，，且满足，则的最大值为 　3　．

【解答】解：因为，，且满足，

则，当且仅当时取等号，

所以的最大值为3．

故答案为：3．

14．（5分）定义在区间，上的偶函数，最大值为，则　3　．

【解答】解：由题意可得，解得，

由的图象关于轴对称，可得，

由，可得的最大值为5，即，

所以．

故答案为：3．

15．（5分）若函数，则　　．

【解答】解：令，则，

，

函数的解析式为．

故答案为：．

16．（5分）已知函数，若，则　0或2或8　．

【解答】解：函数，，

当时，，

当时，，解得，不合题意；

当时，，解得，成立；

当时，，

当时，，解得，成立；

当时，，解得，成立．

或2或8．

故答案为：0或2或8．

四、综合题：本大题共6小题，共70分。请把正确答案填在答题卷上。

17．（10分）（1）已知，求的值；

（2）化简并计算．

【解答】解：（1），，

，．

（2）原式

．

18．（12分）设全集为，，．

（1）若，求；

（2）若，求实数的取值组成的集合．

【解答】解：（1），，

当，则，

则，；

（2）当时，，此时满足，

当时，，此时若满足，

则或，解得或，

综上，，．

19．（12分）已知幂函数，且在上是减函数．

（1）求的解析式；

（2）若，求的取值范围．

【解答】解：（1）函数是幂函数，

，

即，

解得或，

幂函数在上是减函数，

，

即，

，

，

（2）令，因为的定义域为，，，且在和上均为减函数，

，

或或，

解得或，

故的取值范围为：或．

20．（12分）已知函数．

（1）若函数定义域为，求的取值范围；

（2）若函数值域为，，求的取值范围．

【解答】解：（1）函数定义域为，

对任意都成立，

当时，显然不恒成立，不合题意；

当时，由二次函数的性质可知，需满足，解得，

综上，实数的取值范围为；

（2）函数值域为，，

能取遍所有正数，

，解得，

实数的取值范围为．

21．（12分）某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元．

（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）

（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．

哪一种方案较为合算？请说明理由．

【解答】解：（1），即，

解得，．

该车运输3年开始盈利．

（2）该车运输若干年后，处理方案有两种：

①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，

．

当且仅当时，取等号，

方案①最后的利润为：（万．

②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．

，

时，利润最大，

方案②的利润为（万，

两个方案的利润都是59万，按照时间成本来看，第一个方案更好，因为用时更短，

方案①较为合算．

22．（12分）已知函数是定义在，上的奇函数，且（1）．

（1）求，的值；

（2）判断在，上的单调性，并用定义证明；

（3）设，若对任意的，，总存在，，使得成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）因为函数是定义在，上的奇函数，且（1），

则，解得，，

所以函数，

经检验，函数为奇函数，

所以，；

（2）在，上单调递增．

证明如下：设，

则，

其中，，

所以，即，

故函数在，上单调递增；

（3）因为对任意的，，总存在，，使得成立，

所以，

因为在，上单调递增，

所以，

当时，；所以恒成立，符合题意；

当时，在，上单调递增，则（1），

所以，解得；

当时，函数在，上单调递减，则，

所以，解得．

综上所述，实数的取值范围为．

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