2021-2022学年江苏省扬州市宝应县高一（上）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市宝应县高一（上）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置将该选项代号涂黑）

1．（5分）设集合，，则　　

A．， B．，2， C． D．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． 

C． D．，，

4．（5分）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是　　

A． B． C．或 D．或

5．（5分）已知，都是正数，且，则的最小值等于　　

A．6 B． C． D．

6．（5分）我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是　　

A． B． C． D．

7．（5分）若，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）若函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则解集是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分；少选得2分；多选、错选不得分，请在答题卡相应的位置将该选项代号涂黑）

9．（5分）下列运算结果中，一定正确的是　　

A． B． C． D．

10．（5分）若集合，，且，则实数的可能取值为　　

A．0 B． C．4 D．

11．（5分）已知幂函数，则下列结论正确的有　　

A． 

B．的定义域是 

C．是偶函数 

D．不等式（2）的解集是，，

12．（5分）下列说法不正确的是　　

A．不等式的解集为 

B．若实数，，满足，则 

C．若，则函数的最小值为2 

D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填写在答题卡的相应位置的横线上）

13．（5分）命题“，”的否定是　 　．

14．（5分）设是定义在上的奇函数，当时，，则　　．

15．（5分）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 　　．

16．（5分）若正数，满足，则的取值范围是　　．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的推理计算的过程）

17．（10分）计算下列各式的值：．

（1）；

（2）．

18．（12分）设全集，集合，，．

（1）求和；

（2）若，求实数的取值范围．

19．（12分）设命题，，；命题，使．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题，一真一假，求实数的取值范围．

20．（12分）中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台需要另投入成本（万元）．当年产量不足80台时，（万元），当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数关系式．

（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．

21．（12分）已知函数是上的奇函数，且．

（1）求实数，的值；

（2）判断并证明函数在上单调性；

（3）解关于的不等式．

22．（12分）已知二次函数满足且有．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，，函数．

①求在区间，上的最小值；

②若对于任意的，，使得恒成立，求实数的取值范围．

2021-2022学年江苏省扬州市宝应县高一（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题卡相应的位置将该选项代号涂黑）

1．（5分）设集合，，则　　

A．， B．，2， C． D．

【解答】解：集合，

，2，，

则，．

故选：．

2．（5分）设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【解答】解：由，解得或，

故“”是“”的充分不必要条件，

故选：．

3．（5分）函数的定义域是　　

A．， B． 

C． D．，，

【解答】解：由题意可得，，

解可得，，

即函数的定义域为．

故选：．

4．（5分）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是　　

A． B． C．或 D．或

【解答】解：当时，不等式化为恒成立，

当时，不等式不能恒成立，

当时，要使不等式恒成立，

需△，

解得，

故选：．

5．（5分）已知，都是正数，且，则的最小值等于　　

A．6 B． C． D．

【解答】解：，都是正数，且，

，

当且仅当时，的最小值等于．

故选：．

6．（5分）我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据函数的图象，对于选项：当时，，所以与图象相矛盾，故舍去．

对于选项当时，函数（1）与函数在时，为函数的图象的渐近线相矛盾故舍去．

对于选项由于函数的图象的渐近线为，而原图象中的渐近线为或，所以与原图相矛盾，故舍去．

对于选项，函数的图象的渐近线为或，且单调性与原图象相符，

故选：．

7．（5分）若，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

由换底公式得：，

故选：．

8．（5分）若函数是定义在上的奇函数，且在上是增函数，又，则解集是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【解答】解：在上是奇函数，且在上是增函数，在上是增函数，

由，得（2），

即（2），

由，得，

作出的草图，如图所示：

由图象，得或，

解得或，

的解集为，，．

故选：．

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．全对得5分；少选得2分；多选、错选不得分，请在答题卡相应的位置将该选项代号涂黑）

9．（5分）下列运算结果中，一定正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：选项，正确；

选项，错误；

选项当时，，当时，，错误；

选项，正确．

故选：．

10．（5分）若集合，，且，则实数的可能取值为　　

A．0 B． C．4 D．

【解答】解：，，

①，；

②，，

，，

，；

综上可知：实数的可能取值组成的集合为，0，．

故选：．

11．（5分）已知幂函数，则下列结论正确的有　　

A． 

B．的定义域是 

C．是偶函数 

D．不等式（2）的解集是，，

【解答】解：幂函数，

，

，

，定义域为，，，

故选项错误，

，

选项正确，

，定义域，，关于原点对称，

又，

是偶函数，选项正确，

，

在上单调递减，在上单调递增，

不等式（2）等价于（2），

解得：，或，

故选项正确，

故选：．

12．（5分）下列说法不正确的是　　

A．不等式的解集为 

B．若实数，，满足，则 

C．若，则函数的最小值为2 

D．当时，不等式恒成立，则的取值范围是

【解答】解：不等式即为，解得或，故错误；

若实数，，满足，可得，则，故正确；

若，设，

函数即，可得函数在，递增，

则函数的最小值为，故错误；

当时，不等式恒成立，若，则恒成立；

当时，由于的图象开口向下，则不等式不恒成立；

当时，只需△，即，解得．

所以的取值范围是，，故错误．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。将答案填写在答题卡的相应位置的横线上）

13．（5分）命题“，”的否定是　，使得　．

【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“，”的否定是，使得．

故答案为：，使得．

14．（5分）设是定义在上的奇函数，当时，，则　　．

【解答】解：是定义在上的奇函数，

，（2），

又当时，，

（2）

故答案为：

15．（5分）若函数是定义在上的增函数，则实数的取值范围是 　　．

【解答】解：函数是定义在上的增函数，

，

解得，，

故实数的取值范围是，．

故答案为：，．

16．（5分）若正数，满足，则的取值范围是　，　．

【解答】解：正数，满足，．

又，，即．

解得．

故答案为：，．

四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的推理计算的过程）

17．（10分）计算下列各式的值：．

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）原式．

（2）原式．

18．（12分）设全集，集合，，．

（1）求和；

（2）若，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），或，；

（2）由知；

当时，即时，，满足条件；

当时，即时，且，

，

综上，或．

19．（12分）设命题，，；命题，使．

（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；

（2）若命题，一真一假，求实数的取值范围．

【解答】解：（1），，，，

故的范围，，

（2），使．

即有解，

△，

，解得或，

命题，一真一假，

当真假时，，解得，

当假真时，，解得，

综上，的范围或．

20．（12分）中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为500万元，每生产台需要另投入成本（万元）．当年产量不足80台时，（万元），当年产量不小于80台时，（万元），若每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

（1）求年利润（万元）关于年产量（台的函数关系式．

（2）年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润．

【解答】解：（1）当时，，

当时，．

于是，；

（2）由（1）可知，当时，，

此时当时，取得最大值为1300（万元），

当时，．

当且仅当，即时，取得最大值为1500（万元）．

综上所述，当年产量为90台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，

最大利润为1500万元．

21．（12分）已知函数是上的奇函数，且．

（1）求实数，的值；

（2）判断并证明函数在上单调性；

（3）解关于的不等式．

【解答】解：（1）由为奇函数，

，得，

此时满足适合题意，所以成立．

，

，

．

（2）任取，

，

，，

得，

即，

在单调递增；

（3），

又是上的奇函数，

故，

在单调递增，

，

解得

故关于的不等式的解集为．

22．（12分）已知二次函数满足且有．

（1）求函数的解析式；

（2）若函数，，函数．

①求在区间，上的最小值；

②若对于任意的，，使得恒成立，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）设，

且有，

可得，且，

化为，可得，且，

解得，，

则；

（2）函数，，函数，其对称轴为，

①当，即，可得在，递减，即有的最小值为（1）；

当，即，可得在，递增，即有的最小值为；

当，即，可得在，递减，，递增，即有的最小值为，

综上可得，时，的最小值为；时，的最小值为；时，的最小值为；

②若对于任意的，，使得恒成立，即为，

当时，显然成立；当，设，即，

由，

设，在递减，在，递增，可得的最小值为，

则，即的取值范围是，．

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