2023年四川省内江市中考数学试卷（含解析）

这是一份2023年四川省内江市中考数学试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本题共12小题，共36分）1.  的绝对值是(    )A.  B.  C.  D. 2.  作为世界文化遗产的长城，其总长大约为，将用科学记数法表示为(    )A.  B.  C.  D. 3.  如图是由个完全相同的小正方体堆成的物体，其正视图是(    )A.
B.
C.
D. 4.  下列运算正确的是(    )A.  B.
C.  D. 5.  下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(    )A.  B.  C.  D. 6.  在函数中，自变量的取值范围在数轴上表示为(    )A.  B.
C.  D. 7.  某校举行“遵守交通安全，从我做起”演讲比赛，位评委给选手甲的评分如下：，，，，，，，则这组数据的众数和中位数分别是(    )A. ， B. ， C. ， D. ，8.  如图，正六边形内接于，点在上，点是的中点，则的度数为(    )A.
B.
C.
D. 9.  用计算机处理数据，为了防止数据输入出错，某研究室安排两名程序操作员各输入一遍，比较两人的输入是否一致，本次操作需输入个数据，已知甲的输入速度是乙的倍，结果甲比乙少用小时输完这两名操作员每分钟各能输入多少个数据？设乙每分钟能输入个数据，根据题意得方程正确的是(    )A.  B.
C.  D. 10.  如图，在中，点、为边的三等分点，点、在边上，，点为与的交点若，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 11.  对于实数，定义运算“”为，例如：，则关于的方程的根的情况，下列说法正确的是(    )A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定12.  对于正数，规定，例如：，，，，计算：(    )A.  B.  C.  D.  二、填空题（本题共8小题，共32分）13.  分解因式： ______ ．14.  若、互为相反数，为的立方根，则 ______ ．15.  如图，用圆心角为半径为的扇形围成一个圆锥的侧面接缝忽略不计，则这个圆锥的高是______ ．
 16.  出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点，点为边上的一个动点，，，垂足分别为点，，则 ______ ．17.  已知、是方程的两根，则 ______ ．18.  在中，、，的对边分别为、、，且满足，则的值为______ ．19.  如图，四边形是边长为的正方形，是等边三角形，则阴影部分的面积为______ ．
 20.  如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，垂直于轴，以为对称轴作的轴对称图形，对称轴与线段相交于点，点的对应点恰好落在反比例函数的图象上，点、的对应点分别是点、，若点为的中点，且，则的值为______ ． 三、解答题（本题共8小题，共82分）21.  计算：．22.  如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
求证：；
连接，若，求证：四边形是矩形．
23.  某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动要求每人必须参加且只参加一类活动：音乐社团；体育社团；美术社团；文学社团；电脑编程社团该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

根据图中信息，解答下列问题：
此次调查一共随机抽取了______ 名学生，补全条形统计图要求在条形图上方注明人数；
扇形统计图中圆心角 ______ 度；
现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．24.  某中学依山而建，校门处有一坡角的斜坡，长度为米，在坡顶处测得教学楼的楼顶的仰角，离点米远的处有一个花台，在处测得的仰角，的延长线交水平线于点，求的长结果保留根号．
25.  如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象在第一象限内交于和两点，直线与轴相交于点，连接．
求一次函数与反比例函数的表达式；
当时，请结合函数图象，直接写出关于的不等式的解集；
过点作平行于轴，交于点，求梯形的面积．
 26.  如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点．
求证：直线是的切线；
当时，判断的形状，并说明理由；
在的条件下，，连接交于点，求的长．
27.  某水果种植基地为响应政府号召，大力种植优质水果某超市看好甲、乙两种优质水果的市场价值，经调查，这两种水果的进价和售价如表所示： 水果种类进价元千克售价元千克甲乙该超市购进甲种水果千克和乙种水果千克需要元；购进甲种水果千克和乙种水果千克需要元．
求，的值；
该超市决定每天购进甲、乙两种水果共千克进行销售，其中甲种水果的数量不少于千克，且不大于千克实际销售时，若甲种水果超过千克，则超过部分按每千克降价元销售，求超市当天售完这两种水果获得的利润元与购进甲种水果的数量千克之间的函数关系式，并写出的取值范围；
在的条件下，超市在获得的利润元取得最大值时，决定售出的甲种水果每千克降价元，乙种水果每千克降价元，若要保证利润率利润率不低于，求的最大值．28.  如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求该抛物线的函数表达式；
若点是直线下方抛物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；
在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得是以为一条直角边的直角三角形；若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：的绝对值是．
故选：．
根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值，进而得出答案．
此题主要考查了绝对值，正确掌握绝对值的定义是解题关键．
 2.【答案】 【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定的值以及的值是解决问题的关键．
 3.【答案】 【解析】解：从正面看，底层有个正方形，上层的左边是一个正方形．
故选：．
找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．
 4.【答案】 【解析】解：与不是同类项，不能合并，所以不正确，
因为，所以不正确，
因为，所以不正确，
根据同底数幂相除，底数不变，指数相减可得D正确．
故选：．
分别对四个选项进行计算即可．
本题主要考查了合并同类项的知识、幂的乘方的知识、完全平方公式的知识、同底数幂的除法的知识，难度不大．
 5.【答案】 【解析】解：、原图既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、原图既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、原图是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、原图是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．
本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．
 6.【答案】 【解析】解：根据题意可得：，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数为非负数，列出不等式，求出解集，即可判断．
本题主要考查了函数的知识、数轴的知识、二次根式的知识、一元一次不等式的知识，难度不大．
 7.【答案】 【解析】解：把这组数据从小到大排列为：，，，，，，，
所以这组数据的众数是，中位数是．
故选：．
将这组数据从小到大排列，出现次数最多的数据就是众数，处于中间位置的数就是这组数据的中位数．
本题考查了众数，中位数，掌握将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数是解题的关键．
 8.【答案】 【解析】解：如图，连接，，，，
正六边形，是的中点，
，，
，
，
故选：．
先计算正六边形的中心角，再利用同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，圆周角定理计算即可．
本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，熟练掌握正多边形中心角计算，圆周角定理是解题的关键．
 9.【答案】 【解析】解：乙每分钟能输入个数据，
根据题意得：．
故选：．
有工作总量，求的是工作效率，那么一定是根据工作时间来列等量关系的．关键描述语是：“甲比乙少用小时输完”等量关系为：甲用的时间乙用的时间．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
 10.【答案】 【解析】解：点、为边的三等分点，
，
，，
，
∽，
：：，
，，
：：，
，
，
∽，
：：，
，，
：：，
．
故选：．
首先根据点、为边的三等分点得，，再根据得和相似，从而可求出，然后根据得和相似，进而可求出的长．
此题主要考查了相似三角形的判定和性质，解答此题的关键是理解平行于三角形一边的直线截其它两边，所截得的三角形与原三角形相似，相似三角形的对应边成比例．
 11.【答案】 【解析】解：，
，
，
，
关于的方程有两个不相等的实数根．
故选：．
根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个不相等的实数根．
本题考查了根的判别式和实数的运算，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解决问题的关键．
 12.【答案】 【解析】解：，，，，，，，，，，
，，，，，


．
故选：．
分别计算，，，，，，，相加后可解答．
本题考查了新定义，数字类规律问题，根据代入求值并找出规律是解本题的关键．
 13.【答案】 【解析】解：．
故答案为：．
提公因式再运用平方差公式即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
 14.【答案】 【解析】解：、互为相反数，
，
为的立方根，
，
则


，
故答案为：．
根据相反数的性质及立方根定义求得，的值，然后将原代数式变形为后代入数值计算即可．
本题考查相反数的性质和立方根的定义，实数的相关概念及性质是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 15.【答案】 【解析】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
所以圆锥的高．
故答案为：．
设圆锥的底面圆的半径为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长和弧长公式得，解得，然后利用扇形的半径等于圆锥的母线长和勾股定理计算圆锥的高．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
 16.【答案】 【解析】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
 17.【答案】解：原式

． 【解析】直接利用有理数的乘方运算法则、负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 18.【答案】证明：，
，，
又为的中点，
，
≌，
，
又为的中点，
，
；
证明：，，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
，
四边形是矩形． 【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论；
证出四边形是平行四边形，由等腰三角形的性质得出，则可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，矩形的判定，证明≌是解题的关键．
 19.【答案】   【解析】解：此次调查一共随机抽取的学生人数为：名，
的人数为：名，
故答案为：，
补全条形统计图如下：

扇形统计图中圆心角，
故答案为：；
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有种，
恰好选中甲和乙两名同学的概率为．
由的人数除以所占百分比得出此次调查一共随机抽取的学生人数，即可解决问题；
由乘以的人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能的结果，其中恰好选中甲和乙两名同学的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 20.【答案】解：如图，设点到的距离为，

在中，米，
设米，则米，米，
在中，，
即，
，
米． 【解析】先根据斜坡的坡角和长度求出点离的高度，然后根据求底部不能到达的物体的高度求出的高度，即可求出的长．
本题主要考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，深入理解题意，把实际问题转化为数学问题是解决问题的关键．
 21.【答案】解：反比例函数过，
，
反比例函数为：，
把代入 得：，
，
，
解得：，
一次函数为；
观察函数图象可得，当时，的解集为：；
，
直线的解析式为：，
过点作平行于轴，交于点，
，
，
在中，令得，即
，
，
，
梯形的面积为． 【解析】利用可得反比例函数为，再求得，用待定系数法可得一次函数的解析式即可；
由一次函数的图象在反比例函数图象的上方，结合可得答案；
求出的解析式，由，可得，，由，得，，再利用梯形的面积公式列式计算即可．
本题考查利用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，利用图象解不等式，坐标与图形面积，熟练的利用数形结合思想解题是解题的关键．
 22.【答案】 【解析】解：是方程的根，
，
，
，是方程的两根，
，




．
故答案为：．
根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可．
本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，，也考查了一元二次方程的解．
 23.【答案】 【解析】解：，
，
，，，
，，，
中，、，的对边分别为、、，
．
故答案为：．
直接利用非负数的性质得出，，的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
此题主要考查了非负数的性质以及解直角三角形，正确得出，，的值是解题关键．
 24.【答案】 【解析】解：过点作于点，过点作于点，
，
四边形是正方形，
，，
是等边三角形，
，，
在中，，
即，
，
，
，，
，
，
，
，


，
故答案为：．
过点作于点，过点作于点，先利用角的正弦值求出的长，即可求出等边的面积，再求出的长，即可求出的面积，最后根据图形间面积关系即可求出阴影部分的面积．
本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的定义，图形间面积关系，掌握这些性质是解题的关键．
 25.【答案】 【解析】解：连接，设对称轴与轴交于，
与关于对称，
，，，
点我的中点，
设，则，
，
，
，
，
∽，
，
即，
，
，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，设，由轴对称的性质得到，，利用相似三角形的判定和性质得到，得到，根据以及反比例函数的几何意义即可得到结论．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
 26.【答案】证明：连接，

平分，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
解：是等边三角形，理由如下：
，，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
是等边三角形；
解：是等边三角形，
，
，
，
，
，
为的直径，，
，
，，
即，
． 【解析】由角平分线的定义及等腰三角形的性质证明，可推出，即可证明直线是的切线；
证出，，得到，由此计算即可证明结论成立；
利用含度的直角三角形的性质求得，得到等边的边长，在中，利用余弦函数的定义即可求解．
此题是圆的综合题，考查了等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，等边三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
 27.【答案】解：由题可列，
解得．
由题可得当时，
，
当时，
，
答：超市当天售完这两种水果获得的利润元与购进甲种水果的数量千克之间的函数关系为：．
，
当时，的值最大，即，
由题可列，
解得，
答：的最大值为． 【解析】根据信息列二元一次方程得出答案；
分类讨论，分别求出和时的函数关系；
求出当为多少时，值最大，利用利润率公式得到关于的不等式，解出的最大值．
本题以应用题为背景考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解题的关键是明确题意，根据公式正确列出关系式．本题难度适中，常为期末考试题．
 28.【答案】解：由题意，，
解得，
抛物线的解析式为；

，，
直线的解析式为，
设，则，
，
，
当时，有最大值，最大值为，此时；

存在．过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于点，连接，，设，则，，

由，可得，
，
，
直线解析式为，
，且经过，
直线解析式为，
当时，，
，
综上所述：存在，的坐标为或． 【解析】将、、代入抛物线解析式求解即可；
可求直线的解析式为，设，可求，从而可求，即可求解；
过作交抛物线的对称轴于，过作交抛物线的对称轴于点，连接，，设，可求，，由，构建方程可得坐标，求出直线的解析式，利用平行线的性质求出直线的解析式，可得结论．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数中动点最值问题，直角三角形的判定，勾股定理等，掌握解法及找出动点坐标满足的函数解析式是解题的关键