2023年河南省南阳市西峡县中考数学三模试卷（含解析）

2023年河南省南阳市西峡县中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  两千多年前，中国人就开始使用负数，如果支出元记作元，那么元表示(    )

A. 收入元 B. 支出元 C. 收入元 D. 支出元

2.  如图是一个正方体的表面展开图，在原正方体中，与“诚”字所在面相对的面上的汉字是(    )

A. 守
B. 信
C. 担
D. 当

3.  华为近年来一直在努力自主研发核心领域，月下旬，华为轮值董事长徐直军宣布完成了芯片以上工具国产化，年内将完成对其全面验证芯片即用科学记数法表示是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列运算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  将分别标有“建”、“设”、“大”、“美”、“河”、“南”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“河南”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

8.  九章算术中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到里远的城市，所需时间比规定时间多天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间，设规定时间为天，则可列出正确的方程为(    )

A.  B.
C.  D.

9.  如图，把正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，和分别交于点，，在正方形旋转过程中，的大小(    )

A. 随着旋转角度的增大而增大
B. 随着旋转角度的增大而减小
C. 不变，都是
D. 不变，都是

10.  如图，中，，，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿线段做匀速运动，同时点从点出发，沿射线以每秒个单位的速度做匀速运动，当点与点重合时两点停止运动，连接，，设点运动的时间为秒，的面积为，则下列图象中能表示与的函数关系的图象大致是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  的平方根是______ ．

12.  不等式组的最小整数解是______．

13.  如图，一辆汽车匀速通过某段公路，所需时间与行驶速度的图象为双曲线的一段，若这段公路行驶速度不得超过，则该汽车通过这段公路最少需要          

14.  为推动“双减”政策落实，切实解决学生负担，严格控制作业时间政教处拟对全校名学生每天做作业所用时间进行调查，调查人员随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图所示的统计图，根据统计图可以估计这所学校学生“双减”政策落实后每天做作业时间不少于小时的人数为______ ．

15.  如图，在中，，，点为上一点，以点为圆心的圆与交于，，三点，点为直径下方半圆上一点，连接，，则图中阴影部分面积的最大值为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：；
化简：．

17.  本小题分
某中学八年级组织了一次体育测试满分分，现从该校八年级男、女生中各随机抽取名同学的成绩进行统计整理成绩分数用表示，共分成四组：，：，：，：，绘制了如下的图表，请解答下列问题．
名男生的成绩是：，，，，，，，，，．
名女生的成绩在组中的数据是：，，．
男生、女生抽取学生测试成绩表

直接写出上表中，，的值．
根据以上数据，你认为该校八年级男生和女生谁的体育成绩更好？请说明理由．

18.  本小题分
拓展小组研制的智能操作机器人，如图，水平操作台为，底座固定，高为，连杆长度为，手臂长度为点，是转动点，且，与始终在同一平面内．
转动连杆，手臂，使，，如图，求手臂端点离操作台的高度的长精确到，参考数据：，．
物品在操作台上，距离底座端的点处，转动连杆，手臂，手臂端点能否碰到点？请说明理由．

 

19.  本小题分
如图，中，，，点是边上的中点，点、分别在线段、边上运动，且保持连接，，．
求证：是等腰三角形；
判断的度数，并说明理由．

20.  本小题分
年，我市一电动自行车专卖店计划购进、两种符合国家标准的新款电动自行车．已知购进台型比购进台型多用元；购买台型和台型共用万元．
求出、两种型号的电动车各自的进货单价；
该专卖店计划最多投入万元购进这两种型号的电动自行车共辆，商家决定型车以每辆元出售，型车每辆元出售．该专卖店该如何安排进货方案，才能使销售完后获利最大，最大利润是多少？

21.  本小题分
如图，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明，至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用如图所示为从独轮车中抽象出来的几何模型在中，以的边为直径作，交于点，是的切线，且，垂足为点．

求证：；
若，求的半径．

22.  本小题分
如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．
求抛物线的表达式；
当时，抛物线有最小值，求的值．

23.  本小题分
综合与实践
数学活动课上，老师让同学们根据下面情境提出问题并解答．
问题情境：在▱中，点是边上一点．将沿直线折叠，点的对应点为．
“兴趣小组”提出的问题是：如图，若点与点重合，过点作，与交于点，连接，则四边形是菱形．
数学思考：
请你证明“兴趣小组”提出的问题；
拓展探究：
“智慧小组”提出的问题是：如图，当点为的中点时，延长交于点，连接试判断与的位置关系，并说明理由．
请你帮助他们解决此问题．
问题解决：
“创新小组”在前两个小组的启发下，提出的问题是：如图，当点恰好落在边上时，，，则的长为______直接写出结果

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：支出元记作元，
元表示收入元，
故选：．
利用正数负数的意义来做即可．
本题考查了正数负数，解题的关键是掌握正数负数所表示的意义．
 

2.【答案】 

【解析】解：在原正方体中，与“诚”字所在面相对的面上的汉字是“担“，
故选：．
根据正方体的表面展开图的特征进行判断即可．
本题考查正方体的展开与折叠，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的前提．
 

3.【答案】 

【解析】解：
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

5.【答案】 

【解析】解：，，

，

，
．
故选：．
首先根据平行线的性质得出，再根据平角的定义求出，最后再根据三角形的外角定理可求出的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的外角定理，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的性质．
 

6.【答案】 

【解析】解：将标有“建”、“设”、“大”、“美”、“河”、“南”汉字的小球分别记为：、、、、、，
画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“河南”的结果有种，
两次摸出的球上的汉字组成“河南”的概率为，
故选：．
画树状图，共有种等可能的结果，其中两次摸出的球上的汉字组成“河南”的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查了树状图法，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，
，
点为的垂直平分线与的交点．
故选：．
利用题意得到，根据线段垂直平分线的性质得到点为的垂直平分线与的交点，然后利用基本作图对各选项进行判断．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．
 

8.【答案】 

【解析】解：规定时间为天，
慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，
又快马的速度是慢马的倍，两地间的路程为里，
．
故选：．
根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为天，快马送到所需时间为天，再利用速度路程时间，结合快马的速度是慢马的倍，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的感觉．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，连接，，，，
正方形绕着它的对称中心沿着逆时针方向旋转，得到正方形，
，
，
又，
，
，
又，
≌，
．
同理可得，，
．
在正方形旋转过程中，的大小不变，是．
故选：．
连接，，，，依据正方形的性质，即可得到，进而得出≌，根据全等三角形的的性质，可得同理可得，，根据，可知在正方形旋转过程中，的大小不变，是．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及旋转的性质的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形以及等腰三角形，利用全等三角形的对应角相等得出结论．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作于点，如图，

由题意得：，，
．
，，
，．
，
．
．
，




，
点与点重合时两点停止运动，

与的函数关系式为：．
，
与的函数关系的图象大致是抛物线上的在和的一部分，
故选：．
过点作于点，利用求得与的函数关系式，利用二次函数图象的性质解答即可．
本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的应用与二次函数的性质，利用求得与的函数关系式是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：的平方根是．
故答案为：．
根据平方根的定义可解答．
本题考查平方根，关键是掌握平方根的定义．
 

12.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
所以不等式组的最小整数解是．
故答案为：．
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最小整数解即可．
本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能求出不等式组的解集是解此题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
直接利用已知图象得出函数解析式进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．
【解答】
解：设双曲线的解析式为，
在双曲线上，
．
，
双曲线的解析式为，
，
，
即该汽车通过这段公路最少需要
故答案为：．  

14.【答案】人 

【解析】解：根据题意结合统计图知：
估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于小时的人数约为人，
故答案为：人．
利用总人数乘以每天做作业时间不少于小时的同学所占的比例即可求解．
本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于点，交于点，连接，，．

观察图象可知，当点与重合时，的面积最大，此时阴影部分的面积最大，
，
，
是等边三角形，
是直径，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积的最大值

．
故答案为：．
如图，过点作于点，交于点，连接，，观察图象可知，当点与重合时，的面积最大，此时阴影部分的面积最大．
本题考查扇形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会寻找特殊点解决问题，属于中考填空题在的压轴题．
 

16.【答案】解：

；


． 

【解析】先算绝对值，立方根，负整数的指数幂，再算加减即可；
先通分，把除法转为乘法，再约分即可．
本题主要考查分式的混合运算，实数的运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

17.【答案】解：根据女生成绩统计图可得，成绩在组的有人，在组的有人，在组的有人，在组的有人，
将这名女生的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数都是，因此中位数是，即，
这名男生成绩出现次数最多的是，因此众数是，即，
男生组所占的百分比为，即，
答：，，；
男生的成绩较好，理由如下：
因为男生成绩的中位数、众数均比女生的高，所以男生的成绩较好． 

【解析】根据中位数、众数的定义即可得出答案；
根据中位数、众数的大小比较得出结论．
本题考查频数分布直方图，频数分布表，中位数、众数、平均数，理解中位数、众数、平均数的定义，掌握中位数、众数、平均数计算方法是正确解答的前提．
 

18.【答案】解：过点作于点，过点作于点，如图：

，
，
在中，，
，
．
即手臂端点离操作台的高度的长为．
当，，共线时，如图：

，，
在中，，
．
手臂端点能碰到点． 

【解析】本题考查解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线构造直角三角形是解题关键．
过点作于点，过点作于点，在中，，再根据可得答案；
当，，共线时，根据勾股定理可得的长，进而可进行判断．
 

19.【答案】证明：，，点是边上的中点，
，，
在和中，
，
≌，
，
是等腰三角形；

解：，理由如下：
≌，
，
，点是边上的中点，
，即，
，
，
． 

【解析】证明≌得到，即可证明是等腰三角形；
由全等三角形的性质得到，由三线合一定理得到，则，即可证明．
本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，得到≌是解题的关键．
 

20.【答案】解：设种型号的电动车的进货单价为元，种型号的电动车的进货单价为元，
依题意得，
解得．
答：种型号的电动车的进货单价为元，种型号的电动车的进货单价为元．
设该专卖店购进种型号的电动车辆，则购进种型号的电动车辆，
依题意得：，
解得：，
设购进的电动自行车销售完后获得的总利润为元，则，
，
随的增大而减小，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当该专卖店购进种型号的电动车辆，种型号的电动车辆时，才能使销售完后获利最大，最大利润是元． 

【解析】设种型号的电动车的进货单价为元，种型号的电动车的进货单价为元，根据“购进台型比购进台型多用元；购买台型和台型共用万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设该专卖店购进种型号的电动车辆，则购进种型号的电动车辆，利用总价单价数量，结合总价不超过万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设购进的电动自行车销售完后获得的总利润为元，利用总利润每辆电动车的销售利润销售数量购进数量，即可得出关于的关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式．
 

21.【答案】证明：连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：连接，如图，
在中，，
，
为直径，
，
，，
∽，
：：，即：：，
解得，
，
，
的半径为． 

【解析】连接，如图，先根据切线的性质得到，则可判断，所以，然后利用可得到结论；
连接，如图，先利用勾股定理计算出，再根据圆周角定理得到，接着证明∽，则利用相似比可计算出，然后利用得到，从而得到的半径．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
 

22.【答案】解：将点，点代入抛物线的解析式可得：
，
解得：，
抛物线的表达式为：；
，
抛物线的最小值是，对称轴为，
和不可能在抛物线对称轴的两侧，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
当时，即，
此时当时，抛物线取得最小值，即，
解得：舍去或，
即，
综上所述：或． 

【解析】点，点代入抛物线的解析式求出、的值，即可得到抛物线的解析式；
当时，即，此时当时，抛物线取得最小值；当时，即，此时当时，抛物线取得最小值．
本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】数学思考：
证明：如图中，由折叠的性质可知，，，，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；

解：结论：．
理由：连接由折叠的性质可知，，，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
；

问题解决：
解：延长交的延长线于点设．

由折叠的性质可知，，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
数学思考：根据四边相等的四边形是菱形证明即可；
证明≌，推出，可得结论；
问题解决：延长交的延长线于点设首先证明，再利用平行线分线段成比例定理，构建方程求解．
本题属于三角形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．