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2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区九年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区九年级（下）期中数学试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，放置于桌面上的几何体，其俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，下列等式不一定成立的( )
A. a=csinA B. a=btanA
C. c=bcosB D. sin2A+sin2B=1
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示.如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则cscA=ca，那么下列说法正确的是( )
A. cscB⋅sinA=1 B. cscB=bc
C. cscA⋅cosB=1 D. csc2A+csc2B=1
4. 一定电压(单位：V)下电流I(A)和电阻R(Ω)之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流I(A)随着电阻R(Ω)值的变化而变化的一组数据如表格所示．
R(Ω)
…
2
3
4
6
12
…
I(A)
…
24
16
12
a
4
…
下列说法不正确的是( )
A. 表中a=8
B. 这个蓄电池的电压值是48V
C. 图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系
D. 若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A
5. 把反比例函数C1：y=8x−1的图象绕O点顺时针旋转45°后得到双曲线C2：x2−y2=16的图象.若直线y=kx与C2在第一，三象限交于A，B两点，且AB=2 34，则k的值是( )
A. 0.6 B. 0.8 C. ±0.8 D. ±0.6
6. 如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于点M，N.下列结论：①AF⊥BG；②BN=23NF；③BMMG=38；④S四边形CGNF：S四边形ANGD=18：31.其中结论正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−6,10)，B(−6,0)，C(4,0)，将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=kx的图象上，则k的值为( )
A. −12
B. −10
C. −8
D. −6
8. 欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法：“直角三角形斜边上正方形的面积等于两直角边上两个正方形的面积之和”.如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，四边形ACDE、四边形BAFG和四边形BHIC都是正方形，过点E作AB的平行线交DC于点P，连结EF，PG，PH.若四边形EFGP的面积是四边形DPHI的面积的5倍，设PH与CI交于点O，则POPH的值是( )
A. 2−1 B. 6− 33 C. 2− 22 D. 6− 36
9. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP= 2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有个．( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
10. 如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y=4x(x>0)上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 3.5
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，则PB长为______ ．
12. 如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD=∠A，若BD=1，AC=7，则cos∠CBD的值为______ ．
13. 图1是一种可调节桌面画架，画架侧面及相关数据如图2所示.B是底座OA上一固定支点，点C在滑槽DE内滑动，支杆BC长度不变.已知DE=24cm，当C从点D出发滑向终点E，∠AOF从0°逐渐增大至90°，则支杆BC的长为______ cm，若点F到OA的距离为40cm，则EC= ______ cm．
14. 如图，已知反比例函数y=kx的图象经过△ABC的顶点A，点B在y轴负半轴，点C在x轴正半轴，AC交y轴于点D，AB交x轴于点E，若CDAD=AEEB=23，S△ABC=10.则k= ______ ．
15. 如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB，连接BC、DE交于点F，则cos∠BFE的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．
(1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为______ ；下降阶段的函数解析式为______ ；(并写出x的取值范围)
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？
17. (本小题9.0分)
如图，AD⊥BC，垂足是D，BE⊥AC，垂足为E，AD与相交于点F，连接DE，你能在图中找出一对相似三角形吗？并说明理由．
18. (本小题4.0分)
计算：−1+2×(−2023)0．
19. (本小题4.0分)
如图，D，E两点分别在△ABC的边AB和AC上，DE//BC，若直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，求ADAB的值．
20. (本小题8.0分)
如图，已知A的坐标是(4,4)，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
(1)求k的值和点C的坐标．
(2)若点P(a,b)在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，求b的取值范围．
21. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(a,−2)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
(3)将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF(其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F)，若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．
22. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,4)在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y=k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
(1)求反比例函数y=k1x和直线y=k2x的表达式；
(2)连接AC，AB，求△ABC的面积；
(3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x>k2x的解集．
23. (本小题10.0分)
如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB=∠BDC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PE2=PB⋅PA．
24. (本小题9.0分)
如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象交于A(a,4)，B(−3,−2)两点，直线AB与x轴，y轴分别交于D，C两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求证：AD=BC；
(3)点P是x轴正半轴上的一点，连接PA，PC，若S△PAC=4，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，它的俯视图为：
故选：A．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵sinA=ac，
∴a=csinA，故本选项不符合题意；
B、∵tanA=ab，
∴a=btanA，故本选项不符合题意；
C、∵cosB=ac，
∴c=acosB，故本选项符合题意；
D、sin2A+sin2B=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据三角函数的定义就可以解决．
此题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系，熟练掌握三角函数的定义是关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据定义得，cscB=cb，故B不符合题意；
cscB⋅sinA=cb⋅ac=ab，故A不符合题意；
cscA⋅cosB=ca⋅ac=1，故C符合题意；
csc2A+csc2B=c2a2+c2b2=c4a2b2，故D不符合题意；
故选：C．
根据余割的定义：斜边与∠A的对边的比进行计算，再选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示，是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、根据电压=电流×电阻，
∴蓄电池的电流a=4×126=8(I)，故不符合题意．
B、根据电压=电流×电阻，
∴蓄电池的电压值是24×2=48(V)，故不符合题意；
C、设I=kR，
将点(4,12)代入得12=k4，
∴k=48，
∴I=48R；
∴图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，故不符合题意；
D、若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是481.5=32(A)，故符合题意；
故选：D．
根据电压=电流×电阻，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；将R=1.5Ω代入函数关系式后求得电流的值即可．
本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：设A(m,mk)，
∵AB=2 34，
∴OA= 34，
则有m2+m2k2=34m2−m2k2=16，
解得m2=25m2k2=9，
∴k2=925，
∵k>0，
∴k=35，
故选：A．
设A(m,mk)，构建方程组，求出k2，.可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考压轴题．
6.【答案】B
【解析】解：①∵BE=EF=FC，CG=2GD，
∴BF=CG，
在正方形ABCD中：AB=BC=CD，
∠ABC=∠C=90°，
∴△ABF≌△BCG(SAS)，
∴∠BAF=∠CBG，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠BAF+∠ABG=90°，
在△ABN中，∠ABN=90°，
∴AF⊥BG，
∴①正确
②由①知：∠ABN=∠C=90°，
又∠CBG是公共角，
∴△BNF∽△BCG，
∴BNNF=BCCG=32，
∴BN=32NF，
∴②错误．
③作GH//BC交AB于H，交AE于K，
∴△AHK∽△ABE，△BNF∽△GNK，
∴HKBE=AHAB，BMMG=BEGK，
∵BE=1，AH=DG=1，AB=3，
∴HK1=13，
∴HK=13，
∴GK=GH−HK=BC−HK=3−13=83，
∴BMMG=BEGK=183=38，
∴BM=38MG，
∴③正确．
④由①知：△ABF≌△BCG，
∴S△ABF=S△BCG，
∴S△ABN+S△BNF=S四边形CGNF+S△BNF，
∴S△ABN=S四边形CGNF，
由②知：△BNF∽△BCG，
∴S△BNFS△BCG=(BFBG)2，
∵在Rt△BCG中，BG= BC2+CG2= 32+22= 13，
S△BCG=12BC⋅CG=12×3×2=3．
∴S△BNF3=(2 13)2=413，
∴S△BNF=1213，
∴S四边形CGNF=S△BCG−S△BNF=3−1213=2713，
∵S四边形ANGD=S正方形ABCD−S△ABF−S四边形CGNF
=9−3−2713=5113，
∴S四边形CGN：S四边形ANGD=27：51．
∴④不正确．
∴结论正确的个数有2个．
故选：B．
①先证明△ABF≌△BCG；②利用△BNF∽△BCG；③过点G作BC的平行线，利用两对三角形相似；④计算两个四边形的面积，进行比较．
本题运用正方形的性质，结合全等三角形和相似三角形判定和性质，从而解决线段间的位置和数量关系，图形面积关系．在解答时，突破第一个问题是关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵A(−6,10)，B(−6,0)，C(4,0)，
∴AB⊥x轴，AB=10，BC=10，
∴AC=10 2，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，
∴BA′=AB=10，BC′=BC=10，A′C′=AC=10 2，
在Rt△OBA′中，OA′= 102−62=8，
∴A′(0,8)，
设C′(a,b)，
∴BC′2=(a+6)2+b2=100①，A′C′2=a2+(b−8)2=200②，
①−②得b=−3a−184③，
把③代入①整理得a2+12a−28=0，
解得a1=−14(舍去)，a2=2，
当a=2时，b=−6，
∴C′(2,−6)，
把C′(2,−6)代入y=kx，
得k=2×(−6)=−12，
故选：A．
利用点A、B、C的坐标得到AB⊥x轴，AB=10，BC=10，AC=10 2，再根据旋转的性质得BA′=AB=10，BC′=BC=10，A′C′=AC=10 2，接着确定A′点坐标，设C′(a,b)，利用两点间的距离公式得到(a+6)2+b2=100①，A′C′2=a2+(b−8)2=200②，然后解方程组求出a和b得到C′点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组．
8.【答案】C
【解析】解：设BC为a，AC为b，AB为c，
在△EDP和△ACB中，
AC=DE∠EDP=∠ACBEP=AB，
∴△EDP≌△ACB(SAS)，
∴EP=FG，
又∵EP//FG//AB，
∴四边形EFGP和四边形EABP都是平行四边形，
过点P作PJ⊥AB，
S平行四边形EABP=AB⋅PJ=BP⋅AC，
则PJ=b2c，
∴S平行四边形EFGP=FG⋅(PJ+AF)=b2+c2，
∵DP=BC=HI，BC//HI，
∴四边形DPHI是平行四边形，
∴S平行四边形DPHI=HI⋅BH=a2，
∵四边形EFGP的面积是四边形DPHI的面积的5倍，
∴b2+c2=5a2，
又∵a2+b2=c2，
∴b2=2a2，c2=3a2，
∵△POC∽△HOI，
∴POHO=PCHI=DC−DPHI=b−aa，
即HOPO=ab−a，
∴POPH=POPO+HO=11+HOPO=b−ab=1−ab=2− 22．
故选：C．
记BC为a，AC为b，AB为c，由题可得四边形EFGP、四边形EABP和四边形DPHI都是平行四边形，根据四边形EFGP的面积是四边形DPHI的面积的5倍得到关系式，再利用a2+b2=c2得到a、b、c之间的数量关系，然后利用△POCAHOI得到PO和HO的数量关系，利用PH=PO+PH即得POPH．
本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，三角形相识的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识，关键是对平行四边形性质的应用．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
①可证明△COF≌△BOE，进而证明△ABE≌△BCF，进一步得出结论；
②可证明△ABP∽△AEB，从而AB2=AP⋅AE，可证明△AOB∽△ABC，从而AB2=OA⋅AC，进而得出AP⋅AE=OA⋅AC，从而得出结论；
③由四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积可得四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，从而四边形OECF的面积等于△BOC的面积，进而得出结论；
④作∠POQ=90°，交AP于Q，可证得PQ= 2OP及△AOQ≌△BOP，进一步得出结论；
⑤作FG⊥BD于G，设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，可得出tan∠DBF=37，可证得∠DBF=∠CAE，从而得出tan∠CAE=37，从而得出结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OCF=∠OBE=45°，∠BOC=90°，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠BOC−∠COE=∠EOF−∠COE，
∴∠COF=∠BOE，
∴△COF≌△BOE(AAS)，
∴CF=BE，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠ABE+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，
故①正确；
由△ABP∽△AEB得，AB2=AP⋅AE，
由△AOB∽△ABC得，AB2=OA⋅AC，
∴AP⋅AE=OA⋅AC，
∵∠POA=∠CAE，
∴△AOP∽△AEC，
故②正确；
由①知：△COF≌△BOE，
∵四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积，
∴四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，
∴四边形OECF的面积等于△BOC的面积，
而△BOC的面积等于正方形ABCD的面积的14，
∴四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；
故③正确；
如图，
作∠POQ=90°，交AP于Q，
∵∠APO=45°，
∴∠OQP=90°−∠APO=45°，
∴OQ=OP，PQ= 2OP，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOQ=∠BOP，
∵OA=OB，
∴△AOQ≌△BOP(SAS)，
∴AQ=BP，
∵AP−AQ=PQ，
∴AP−PQ= 2OP，
故④正确；
如图2，
作FG⊥BD于G，
∵BE：CE=2：3，
∴BE：BC=2：5，
∵CF=BE，
∴CF：BC=2：5，
设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，
∴DF=3a，
∴FG=DG= 22DF=3 22a，
∴BG=BD−DG=5 2a−3 22=7 22a，
∴tan∠DBF=FGBG=3 22a7 22a=37，
∵∠ABD=∠APO=45°，
∴点A、B、P、O共圆，
∴∠DBF=∠CAE，
∴tan∠CAE=37，
故⑤不正确，
∴①②③④正确，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：连接CE．
∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形，
∴∠ECF=∠BOC=45°，
∴CE//OB，
∴S△OBE=S△OBC，
∵BC=OC，点B在y=4x上，
∴BC=OC=2，
∴S△OBE=12×2×2=2，
故选：A．
连接CE.只要证明CE//OB，推出S△OBE=S△OBC，即可解决问题；
本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3− 5
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，
∴AP= 5−12×AB= 5−1，
∴PB=AB−AP=2−( 5−1)=3− 5．
故答案为：3− 5．
依据黄金分割点的定义，即可得到AP的长，再根据线段的和差关系即可得出结论．
本题主要考查了黄金分割，即点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
12.【答案】15
【解析】解：如图，延长BD交AC于点E．
∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，
∴∠CDE=∠CDB=90°，∠DCE=∠DCB．
在△DCE和△DCB中，
∠CDE=∠CDBCD=CD∠DCE=DCB，
∴△DCE≌△DCB(ASA)．
∴BD=ED=1，BC=CE，
∵∠ABD=∠A，
∴AE=BE=2．
∵AC=7，
∴CE=AC−AE=5=BC．
∴cos∠CBD=BDBC=15．
故答案为：15．
延长BD交AC于点E，先证明△DCE≌△DCB，从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用线段的和差关系求出CE，最后求出∠CBD的余弦．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
13.【答案】17 145+1
【解析】解：当∠AOF=0°时，点C与点D重合，此时有
OE+DE=OB+BC，
∵DE=24cm，OB=15cm，
∴OE+24=15+BC；
当∠AOF=90°时，点C与点E重合，
由勾股定理得OE2+OB2=BE2，BE=BC，
∴OE2+152=BC2，
∴OE=8cm，BC=17cm．
若点F到OA的距离为40cm，过点F作FM⊥OA于M，过点C作CN⊥OA于N，
∵FG⊥OA，
∴OM2+FM2=OF2，
由题意OF=50cm，FM=40cm，
∴OM= OF2−FM2= 502−402=30cm．
∵FG⊥OA，CN⊥OA，
∴CN//FM，
∴△CON∽△FOM，
∴OCOF=ONOM=CNFM．
设OC=xcm，
∴ON=35xcm，CN=45xcm，BN=(15−35x)cm，
∵CN⊥OA，
∴CN2+BN2=BC2，
∴(45x)2+(15−35x)2=172，
∴x1=9+ 145，x2=9− 145(舍去)，
∴OC=(9+ 145)cm，
∵OE=8cm，
∴EC=OC−OE=( 145+1)cm．
故答案为：17， 145+1．
当∠AOF=0°时，点C与点D重合，根据线段和差定义得OE+24=15+BC；当∠AOF=90°时，点C与点E重合，利用勾股定理可得OE2+152=BC2，进而求出BC的长；若点F到OA的距离为40cm，过点F作FM⊥OA于M，过点C作CN⊥OA于N，根据勾股定理求出OM的长，设OC=xcm，再根据相似三角形的性质得出ON=35xcm，CN=45xcm，BN=(15−35x)cm，在Rt△BCN中，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程(45x)2+(15−35x)2=172，解方程可得的长，进而求出EC的长．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，添加适当的辅助线，构造合适的直角三角形是解本题的关键．
14.【答案】−12019
【解析】解：作AM⊥y轴于M，
设A(m,n)，则AM=−m，OM=n，
∵AM//x轴，CDAD=AEEB=23，
∴OCAM=CDAD=23，OEAM=OBBM=BEAB=35，
∴OC=23AM=−23m，OE=35AM=−35m，OB=32n，
∴CE=−23m−35m=−1915m，
∴S△ABC=S△ACE+S△BCE=12CE⋅BM=12×(−1915m)×52n=10，
解得mn=−12019，
∵反比例函数y=kx的图象经过△ABC的顶点A，
∴k=mn=−12019，
故答案为：−12019．
作AM⊥y轴于M，设A(m,n)，则AM=−m，OM=n，根据平行线分线段成比例定理得出OCAM=CDAD=23，OEAM=OBBM=BEAB=35，求得OC=23AM=−23m，OE=35AM=−35m，OB=32n，CE=−23m−35m=−1915m，即可根据S△ABC=S△ACE+S△BCE得出12×(−1915m)×52n=10，解得k=mn=−12019．
本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15.【答案】 1+m21+m2
【解析】解：过点D作DK⊥AD，使得DK=mAC．
∵CD=mAB，DK=mAC，
∴CDAB=DKAC=m，
∵∠A=∠CDK=90°，
∴△CDK∽△BAC，
∴CKBC=CDAB=m，
∵BE=mAC，DK=mAC，
∴BE=DK，
∵BE=DK，
∴四边形BEDK是平行四边形，
∴DE//BK，
∴∠EFB=∠CBK，
设BC=k则CK=mk，BK= 1+m2⋅k，
∴cos∠BFE=cos∠CBK=BCBK=k 1+m2⋅k=1 1+m2= 1+m21+m2．
故答案为： 1+m21+m2．
过点D作DK⊥AD，使得DK=mAC.证明△CDK∽△BAC，推出CKBC=CDAB=m，再证明四边形BEDK是平行四边形，推出DE//BK，∠EFB=∠CBK，设BC=k则CK=mk，BK= 1+m2⋅k，由此可得结论．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
16.【答案】y=100x(0≤x≤4) y=1600x(4≤x≤10)
【解析】解：(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将(4,400)代入得：400=4k，
解得：k=100，故直线解析式为：y=100x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，将(4,400)代入得：400=a4，
解得：a=1600，故反比例函数解析式为：y=1600x；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=100x(0≤x≤4)，
下降阶段的函数关系式为y=1600x(4≤x≤10)．
故答案为：y=100x(0≤x≤4)，y=1600x(4≤x≤10)；
(2)当y=200，则200=100x，
解得：x=2，
当y=200，则200=1600x，
解得：x=8，
∵8−2=6(小时)，
∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时．
(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，利用待定系数法即可解决问题；
(2)分别求出y=200时的两个函数值，再求时间差即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEF=90°，
∵∠CAD=∠FAE，
∴△ADC∽△AEF(答案不唯一)．
【解析】根据相似三角形的判定即可在图中找出一对相似三角形．
本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定定理的掌握．
18.【答案】解：原式=−1+2×1
=−1+2
=1．
【解析】先根据零指数幂的运算法则计算出(−2023)0的值，再算乘法，最后算加法即可．
本题考查的是零指数幂及有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=12，
∴ADAB= 22．
【解析】首先根据DE//BC判定△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质．
20.【答案】解：(1)∵S△OBD=2，
∴k=4，
∴反比例函数为y=4x①，
设直线OA解析式为y=mx，
将A(4,4)代入得，4m=4，
∴m=1，
∴直线OA解析式为y=x②，
由①②得x2=4，
∴x=−2(不合题意，舍去)，x=2，
∴C为(2,2)．
(2)将x=4代入y=4x，
得y=1，
∴点D的坐标为(4,1)，
∵点P(a,b)在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部(包含边界)，且C的坐标为(2,2)，
∴由图象得1≤b≤2．
【解析】(1)根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可；
(2)先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可．
本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交点坐标，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．
21.【答案】解：(1)将点A(a,−2)代入y=2x+4得，−2=2a+4，
解得a=−3，
∴A(−3,−2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A，
∴k=−3×(−2)=6，
∴反比例函数解析式y=6x；
(2)解y=2x+4y=6x，
得x=−2y=−3或x=1y=6，
∴B(1,6)，
设直线y=2x+4与y轴交于M，
∴M(0,4)，
∴点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，
在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
∴直线CD的解析式为y=2x+2，
∴2x+2=6x，
解得x1=−1+ 132，x2=−1− 132(舍)，
∴C点的横坐标为−1+ 132，
在点M上方的y轴上取ME=2，过点E作CE//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
同理可得C点的横坐标为−3+ 212，
综上：C点的横坐标为−1+ 132或−3+ 212；
(3)由题意可知AB=DF，AB//DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，B与D，A与F关于原点对称，
∴F(3,2)，
∵B(1,6)，
∴点B向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点F，
∴点E的坐标为(2,−4)．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
(1)将点A(a,−2)代入y=2x+4，可得点A的坐标，从而得出答案；
(2)首先求出点B的坐标，分情况讨论：在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，或在点M上方的y轴上取ME=2，过点E作CE//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，根据平行关系可得直线CD的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；
(3)由平行四边形和反比例函数的对称性可知B与D，A与F关于原点对称，即可求得F(3,2)，根据B、F的坐标得到平移的距离，从而求得点E的坐标．
22.【答案】解：(1)∵点A(1,4)在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，
∴k1=1×4=4，
∴反比例函数为y=4x，
将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C(−4,4−m)，
∵点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，
∴4−m=4−4，
∴m=5，
∴C(−4,−1)，
代入y=k2x得−1=−4k2，
∴k2=14，
∴直线y=k2x的表达式为y=14x；
(2)作AM⊥x轴，交BC于点D，则D(1,14)，
∴AD=4−14=154，
∵点A、B关于原点对称，
∴B(4,1)，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AD⋅(xB−xC)=12×154×(4+4)=15；
(3)关于x的不等式k1x>k2x的解集为x<−4或0
(2)作AM⊥x轴，交BC于点D，则D(1,14)，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD求得即可；
(3)根据图象即可求得不等式的解集．
本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BDC=∠CAB，∠PCB=∠BDC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)证明：∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC2=PB⋅PA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，
∴∠CEB=∠PCE，
∴PC=PE，
∴PE2=PB⋅PA．
【解析】(1)连接OC，根据∠ACB=90°，可证∠PCB+∠OCB=90°，则OC⊥PC，且OC是半径，即可证明；
(2)首先证明△PCB∽△PAC，得PC2=PB⋅PA，再由∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，得∠CEB=∠PCE，则有PC=PE，从而证明结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵点B(−3,−2)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=−3×(−2)=6．
∴反比例函数的表达式为y=6x．
∵点A(a,4)在反比例函数y=6x的图象上，
∴a=64=32．
∴点A的坐标为点(32,4)．
将点A(32,4),B(−3,−2)代入y=kx+b中，得−2=−3k+b4=32k+b，
解得：k=43b=2，
∴一次函数的表达式为y=43x+2；
(2)证明：方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，
则AM=4,OM=32,BN=3,ON=2.∠AMD=∠BNC=90°，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=32．
∴点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)，
∴OC=2,OD=32．
∴CN=OC+ON=4，DN=OD+OM=3．
∴AM=CN=4，BN=DM=3．
在△ADM与△CBN中，
AM=CN∠AMD=∠CNBDM=BN，
∴△ADM≌△CBN(SAS)．
∴AD=BC．
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，
则AM=32,OM=4,BN=2,ON=3.∠AMC=∠BND=90°，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=32．
∴点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)．
∴OC=2,OD=32．
∴CM=OM−OC=4−2=2．
∴DN=ON−OD=3−32=32．
∴CM=BN=2,DN=AM=32．
在△ACM与△DBN中，
CM=BN∠AMC=∠BNDAM=DN，
∴△ACM≌△DBN(SAS)，
∴BD=AC，
∴BD+CD=AC+CD．
即：AD=BC；
方法三：当x=0时，y=2；当y=0时，x=32，
∴点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)．
∵AD= (xA−xD)2+(yA−yD)2= (32+32)2+(4−0)2= 32+42=5．BC= (xB−xC)2+(yB−yC)2= (3−0)2+(−2−2)2= 32+42=5．
∴AD=BC；
(3)解：∵点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(−32,0)，点A的坐标为点(32,4)，S△PAC=4，
设P(x,0)(x>0)，
∴S△APC=S△APD−S△PDC=12(x+32)×4−12(x+32)×2=x+32，
∴32+x=4，
解得：x=52，
∴P(52,0)．
【解析】(1)将点B(−3,−2)代入反比例函数求得m=6，进而将点A(a,4)，代入y=6x得出A(32,4)，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
(2)方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，证明△ADM≌△CBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，证明△ACM≌△DBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法三：得出点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)，根据勾股定理求得AD，BC，即可得证；
(3)设P(x,0)(x>0)，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
2022-2023学年湖北省襄阳市樊城区九年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如图，放置于桌面上的几何体，其俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
2. 在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，下列等式不一定成立的( )
A. a=csinA B. a=btanA
C. c=bcosB D. sin2A+sin2B=1
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示.如设该直角三角形的三边分别为a，b，c，则cscA=ca，那么下列说法正确的是( )
A. cscB⋅sinA=1 B. cscB=bc
C. cscA⋅cosB=1 D. csc2A+csc2B=1
4. 一定电压(单位：V)下电流I(A)和电阻R(Ω)之间成反比例关系，东东用一个蓄电池作为电源组装了一个电路如图1所示，通过实验，发现电流I(A)随着电阻R(Ω)值的变化而变化的一组数据如表格所示．
R(Ω)
…
2
3
4
6
12
…
I(A)
…
24
16
12
a
4
…
下列说法不正确的是( )
A. 表中a=8
B. 这个蓄电池的电压值是48V
C. 图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系
D. 若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是34A
5. 把反比例函数C1：y=8x−1的图象绕O点顺时针旋转45°后得到双曲线C2：x2−y2=16的图象.若直线y=kx与C2在第一，三象限交于A，B两点，且AB=2 34，则k的值是( )
A. 0.6 B. 0.8 C. ±0.8 D. ±0.6
6. 如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于点M，N.下列结论：①AF⊥BG；②BN=23NF；③BMMG=38；④S四边形CGNF：S四边形ANGD=18：31.其中结论正确的个数有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
7. 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−6,10)，B(−6,0)，C(4,0)，将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，与此同时顶点C恰好落在y=kx的图象上，则k的值为( )
A. −12
B. −10
C. −8
D. −6
8. 欧几里得《几何原本》中给出一种证明勾股定理的方法：“直角三角形斜边上正方形的面积等于两直角边上两个正方形的面积之和”.如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，四边形ACDE、四边形BAFG和四边形BHIC都是正方形，过点E作AB的平行线交DC于点P，连结EF，PG，PH.若四边形EFGP的面积是四边形DPHI的面积的5倍，设PH与CI交于点O，则POPH的值是( )
A. 2−1 B. 6− 33 C. 2− 22 D. 6− 36
9. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点F是CD上一点，OE⊥OF交BC于点E，连接AE，BF交于点P，连接OP.则下列结论：①AE⊥BF；②△OAP∽△EAC；③四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；④AP−BP= 2OP；⑤若BE：CE=2：3，则tan∠CAE=47.其中正确的结论有个．( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
10. 如图，正方形ABCO和正方形CDEF的顶点B、E在双曲线y=4x(x>0)上，连接OB、OE、BE，则S△OBE的值为( )
A. 2
B. 2.5
C. 3
D. 3.5
二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）
11. 已知点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，AB=2，则PB长为______ ．
12. 如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD=∠A，若BD=1，AC=7，则cos∠CBD的值为______ ．
13. 图1是一种可调节桌面画架，画架侧面及相关数据如图2所示.B是底座OA上一固定支点，点C在滑槽DE内滑动，支杆BC长度不变.已知DE=24cm，当C从点D出发滑向终点E，∠AOF从0°逐渐增大至90°，则支杆BC的长为______ cm，若点F到OA的距离为40cm，则EC= ______ cm．
14. 如图，已知反比例函数y=kx的图象经过△ABC的顶点A，点B在y轴负半轴，点C在x轴正半轴，AC交y轴于点D，AB交x轴于点E，若CDAD=AEEB=23，S△ABC=10.则k= ______ ．
15. 如图，在△ABD中，∠A=90°，若BE=mAC，CD=mAB，连接BC、DE交于点F，则cos∠BFE的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
驾驶员血液中每毫升的酒精含量大于或等于200微克即为酒驾，某研究所经实验测得，成人饮用某品牌38度白酒后血液中酒精浓度y(微克/毫升)与饮酒时间x(小时)之间函数关系如图所示(当4≤x≤10时，y与x成反比例)．
(1)根据图象直接写出：血液中酒精浓度上升阶段的函数解析式为______ ；下降阶段的函数解析式为______ ；(并写出x的取值范围)
(2)问血液中酒精浓度不低于200微克/毫升的持续时间是多少小时？
17. (本小题9.0分)
如图，AD⊥BC，垂足是D，BE⊥AC，垂足为E，AD与相交于点F，连接DE，你能在图中找出一对相似三角形吗？并说明理由．
18. (本小题4.0分)
计算：−1+2×(−2023)0．
19. (本小题4.0分)
如图，D，E两点分别在△ABC的边AB和AC上，DE//BC，若直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，求ADAB的值．
20. (本小题8.0分)
如图，已知A的坐标是(4,4)，AB⊥x轴于点B，反比例函数y=kx(x>0)的图象分别交AO，AB于点C，D，连接OD，△OBD的面积为2．
(1)求k的值和点C的坐标．
(2)若点P(a,b)在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部(包括边界)，求b的取值范围．
21. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=2x+4的图象与反比例函数y=kx的图象相交于A(a,−2)，B两点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，求点C的横坐标；
(3)将△AOB在平面内沿某个方向平移得到△DEF(其中点A、O、B的对应点分别是D、E、F)，若D、F同时在反比例函数y=kx的图象上，求点E的坐标．
22. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，点A(1,4)在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C，点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，经过O，C两点的直线y=k2x交反比例函数第一象限的图象于点B．
(1)求反比例函数y=k1x和直线y=k2x的表达式；
(2)连接AC，AB，求△ABC的面积；
(3)请根据函数图象，直接写出关于x的不等式k1x>k2x的解集．
23. (本小题10.0分)
如图，四边形ACBD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，CD平分∠ACB交AB于点E，点P在AB延长线上，∠PCB=∠BDC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)求证：PE2=PB⋅PA．
24. (本小题9.0分)
如图，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=mx的图象交于A(a,4)，B(−3,−2)两点，直线AB与x轴，y轴分别交于D，C两点．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)求证：AD=BC；
(3)点P是x轴正半轴上的一点，连接PA，PC，若S△PAC=4，请直接写出点P的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，它的俯视图为：
故选：A．
根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了三视图的知识，掌握“俯视图是从物体的上面看到的视图”是解本题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵sinA=ac，
∴a=csinA，故本选项不符合题意；
B、∵tanA=ab，
∴a=btanA，故本选项不符合题意；
C、∵cosB=ac，
∴c=acosB，故本选项符合题意；
D、sin2A+sin2B=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据三角函数的定义就可以解决．
此题考查直角三角形中互余两角三角函数的关系，熟练掌握三角函数的定义是关键．
3.【答案】C
【解析】解：根据定义得，cscB=cb，故B不符合题意；
cscB⋅sinA=cb⋅ac=ab，故A不符合题意；
cscA⋅cosB=ca⋅ac=1，故C符合题意；
csc2A+csc2B=c2a2+c2b2=c4a2b2，故D不符合题意；
故选：C．
根据余割的定义：斜边与∠A的对边的比进行计算，再选择即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，同角三角函数的关系，掌握余割的定义：斜边与∠A的对边的比叫做∠A的余割，用“cscA”表示，是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A、根据电压=电流×电阻，
∴蓄电池的电流a=4×126=8(I)，故不符合题意．
B、根据电压=电流×电阻，
∴蓄电池的电压值是24×2=48(V)，故不符合题意；
C、设I=kR，
将点(4,12)代入得12=k4，
∴k=48，
∴I=48R；
∴图2中图象可以表示电流I和电阻R之间的函数关系，故不符合题意；
D、若该电路的最小电阻值为1.5Ω，该电路能通过的最大电流是481.5=32(A)，故符合题意；
故选：D．
根据电压=电流×电阻，利用待定系数法即可求出这个反比例函数的解析式；将R=1.5Ω代入函数关系式后求得电流的值即可．
本题考查了反比例函数的应用，从实际问题中整理出反比例函数模型是解决此类问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：设A(m,mk)，
∵AB=2 34，
∴OA= 34，
则有m2+m2k2=34m2−m2k2=16，
解得m2=25m2k2=9，
∴k2=925，
∵k>0，
∴k=35，
故选：A．
设A(m,mk)，构建方程组，求出k2，.可得结论．
本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是学会建立新的坐标系解决问题，属于中考压轴题．
6.【答案】B
【解析】解：①∵BE=EF=FC，CG=2GD，
∴BF=CG，
在正方形ABCD中：AB=BC=CD，
∠ABC=∠C=90°，
∴△ABF≌△BCG(SAS)，
∴∠BAF=∠CBG，
∵∠ABC=90°，
∴∠CBG+∠ABG=90°，
∴∠BAF+∠ABG=90°，
在△ABN中，∠ABN=90°，
∴AF⊥BG，
∴①正确
②由①知：∠ABN=∠C=90°，
又∠CBG是公共角，
∴△BNF∽△BCG，
∴BNNF=BCCG=32，
∴BN=32NF，
∴②错误．
③作GH//BC交AB于H，交AE于K，
∴△AHK∽△ABE，△BNF∽△GNK，
∴HKBE=AHAB，BMMG=BEGK，
∵BE=1，AH=DG=1，AB=3，
∴HK1=13，
∴HK=13，
∴GK=GH−HK=BC−HK=3−13=83，
∴BMMG=BEGK=183=38，
∴BM=38MG，
∴③正确．
④由①知：△ABF≌△BCG，
∴S△ABF=S△BCG，
∴S△ABN+S△BNF=S四边形CGNF+S△BNF，
∴S△ABN=S四边形CGNF，
由②知：△BNF∽△BCG，
∴S△BNFS△BCG=(BFBG)2，
∵在Rt△BCG中，BG= BC2+CG2= 32+22= 13，
S△BCG=12BC⋅CG=12×3×2=3．
∴S△BNF3=(2 13)2=413，
∴S△BNF=1213，
∴S四边形CGNF=S△BCG−S△BNF=3−1213=2713，
∵S四边形ANGD=S正方形ABCD−S△ABF−S四边形CGNF
=9−3−2713=5113，
∴S四边形CGN：S四边形ANGD=27：51．
∴④不正确．
∴结论正确的个数有2个．
故选：B．
①先证明△ABF≌△BCG；②利用△BNF∽△BCG；③过点G作BC的平行线，利用两对三角形相似；④计算两个四边形的面积，进行比较．
本题运用正方形的性质，结合全等三角形和相似三角形判定和性质，从而解决线段间的位置和数量关系，图形面积关系．在解答时，突破第一个问题是关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵A(−6,10)，B(−6,0)，C(4,0)，
∴AB⊥x轴，AB=10，BC=10，
∴AC=10 2，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转一定角度后使A落在y轴上，
∴BA′=AB=10，BC′=BC=10，A′C′=AC=10 2，
在Rt△OBA′中，OA′= 102−62=8，
∴A′(0,8)，
设C′(a,b)，
∴BC′2=(a+6)2+b2=100①，A′C′2=a2+(b−8)2=200②，
①−②得b=−3a−184③，
把③代入①整理得a2+12a−28=0，
解得a1=−14(舍去)，a2=2，
当a=2时，b=−6，
∴C′(2,−6)，
把C′(2,−6)代入y=kx，
得k=2×(−6)=−12，
故选：A．
利用点A、B、C的坐标得到AB⊥x轴，AB=10，BC=10，AC=10 2，再根据旋转的性质得BA′=AB=10，BC′=BC=10，A′C′=AC=10 2，接着确定A′点坐标，设C′(a,b)，利用两点间的距离公式得到(a+6)2+b2=100①，A′C′2=a2+(b−8)2=200②，然后解方程组求出a和b得到C′点坐标，最后利用反比例函数图象上点的坐标特征求k的值．
本题考查了坐标与图形变化−旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．解决本题的关键是利用两点间的距离公式建立方程组．
8.【答案】C
【解析】解：设BC为a，AC为b，AB为c，
在△EDP和△ACB中，
AC=DE∠EDP=∠ACBEP=AB，
∴△EDP≌△ACB(SAS)，
∴EP=FG，
又∵EP//FG//AB，
∴四边形EFGP和四边形EABP都是平行四边形，
过点P作PJ⊥AB，
S平行四边形EABP=AB⋅PJ=BP⋅AC，
则PJ=b2c，
∴S平行四边形EFGP=FG⋅(PJ+AF)=b2+c2，
∵DP=BC=HI，BC//HI，
∴四边形DPHI是平行四边形，
∴S平行四边形DPHI=HI⋅BH=a2，
∵四边形EFGP的面积是四边形DPHI的面积的5倍，
∴b2+c2=5a2，
又∵a2+b2=c2，
∴b2=2a2，c2=3a2，
∵△POC∽△HOI，
∴POHO=PCHI=DC−DPHI=b−aa，
即HOPO=ab−a，
∴POPH=POPO+HO=11+HOPO=b−ab=1−ab=2− 22．
故选：C．
记BC为a，AC为b，AB为c，由题可得四边形EFGP、四边形EABP和四边形DPHI都是平行四边形，根据四边形EFGP的面积是四边形DPHI的面积的5倍得到关系式，再利用a2+b2=c2得到a、b、c之间的数量关系，然后利用△POCAHOI得到PO和HO的数量关系，利用PH=PO+PH即得POPH．
本题考查正方形的性质，平行四边形的性质，三角形相识的判定和性质，三角形全等的判定和性质等知识，关键是对平行四边形性质的应用．
9.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
①可证明△COF≌△BOE，进而证明△ABE≌△BCF，进一步得出结论；
②可证明△ABP∽△AEB，从而AB2=AP⋅AE，可证明△AOB∽△ABC，从而AB2=OA⋅AC，进而得出AP⋅AE=OA⋅AC，从而得出结论；
③由四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积可得四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，从而四边形OECF的面积等于△BOC的面积，进而得出结论；
④作∠POQ=90°，交AP于Q，可证得PQ= 2OP及△AOQ≌△BOP，进一步得出结论；
⑤作FG⊥BD于G，设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，可得出tan∠DBF=37，可证得∠DBF=∠CAE，从而得出tan∠CAE=37，从而得出结论．
【解答】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴OB=OC，∠OCF=∠OBE=45°，∠BOC=90°，AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠BOC=∠EOF=90°，
∴∠BOC−∠COE=∠EOF−∠COE，
∴∠COF=∠BOE，
∴△COF≌△BOE(AAS)，
∴CF=BE，
∴△ABE≌△BCF(SAS)，
∴∠CBF=∠BAE，
∵∠ABE+∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠APB=90°，
∴AE⊥BF，
故①正确；
由△ABP∽△AEB得，AB2=AP⋅AE，
由△AOB∽△ABC得，AB2=OA⋅AC，
∴AP⋅AE=OA⋅AC，
∵∠POA=∠CAE，
∴△AOP∽△AEC，
故②正确；
由①知：△COF≌△BOE，
∵四边形OECF的面积等于△COE的面积加△COF的面积，
∴四边形OECF的面积等于△COE的面积加△BOE的面积，
∴四边形OECF的面积等于△BOC的面积，
而△BOC的面积等于正方形ABCD的面积的14，
∴四边形OECF的面积是正方形ABCD面积的14；
故③正确；
如图，
作∠POQ=90°，交AP于Q，
∵∠APO=45°，
∴∠OQP=90°−∠APO=45°，
∴OQ=OP，PQ= 2OP，
∵∠AOB=∠POQ=90°，
∴∠AOQ=∠BOP，
∵OA=OB，
∴△AOQ≌△BOP(SAS)，
∴AQ=BP，
∵AP−AQ=PQ，
∴AP−PQ= 2OP，
故④正确；
如图2，
作FG⊥BD于G，
∵BE：CE=2：3，
∴BE：BC=2：5，
∵CF=BE，
∴CF：BC=2：5，
设CF=2a，则CD=BC=5a，BD= 2BC=5 2a，
∴DF=3a，
∴FG=DG= 22DF=3 22a，
∴BG=BD−DG=5 2a−3 22=7 22a，
∴tan∠DBF=FGBG=3 22a7 22a=37，
∵∠ABD=∠APO=45°，
∴点A、B、P、O共圆，
∴∠DBF=∠CAE，
∴tan∠CAE=37，
故⑤不正确，
∴①②③④正确，
故选：C．
10.【答案】A
【解析】解：连接CE．
∵四边形ABCO，四边形DEFC都是正方形，
∴∠ECF=∠BOC=45°，
∴CE//OB，
∴S△OBE=S△OBC，
∵BC=OC，点B在y=4x上，
∴BC=OC=2，
∴S△OBE=12×2×2=2，
故选：A．
连接CE.只要证明CE//OB，推出S△OBE=S△OBC，即可解决问题；
本题考查反比例函数系数k的几何意义，正方形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
11.【答案】3− 5
【解析】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，
∴AP= 5−12×AB= 5−1，
∴PB=AB−AP=2−( 5−1)=3− 5．
故答案为：3− 5．
依据黄金分割点的定义，即可得到AP的长，再根据线段的和差关系即可得出结论．
本题主要考查了黄金分割，即点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．
12.【答案】15
【解析】解：如图，延长BD交AC于点E．
∵DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，
∴∠CDE=∠CDB=90°，∠DCE=∠DCB．
在△DCE和△DCB中，
∠CDE=∠CDBCD=CD∠DCE=DCB，
∴△DCE≌△DCB(ASA)．
∴BD=ED=1，BC=CE，
∵∠ABD=∠A，
∴AE=BE=2．
∵AC=7，
∴CE=AC−AE=5=BC．
∴cos∠CBD=BDBC=15．
故答案为：15．
延长BD交AC于点E，先证明△DCE≌△DCB，从而求出BE的长，再利用等腰三角形的判定求出AE，利用线段的和差关系求出CE，最后求出∠CBD的余弦．
本题主要考查了解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．
13.【答案】17 145+1
【解析】解：当∠AOF=0°时，点C与点D重合，此时有
OE+DE=OB+BC，
∵DE=24cm，OB=15cm，
∴OE+24=15+BC；
当∠AOF=90°时，点C与点E重合，
由勾股定理得OE2+OB2=BE2，BE=BC，
∴OE2+152=BC2，
∴OE=8cm，BC=17cm．
若点F到OA的距离为40cm，过点F作FM⊥OA于M，过点C作CN⊥OA于N，
∵FG⊥OA，
∴OM2+FM2=OF2，
由题意OF=50cm，FM=40cm，
∴OM= OF2−FM2= 502−402=30cm．
∵FG⊥OA，CN⊥OA，
∴CN//FM，
∴△CON∽△FOM，
∴OCOF=ONOM=CNFM．
设OC=xcm，
∴ON=35xcm，CN=45xcm，BN=(15−35x)cm，
∵CN⊥OA，
∴CN2+BN2=BC2，
∴(45x)2+(15−35x)2=172，
∴x1=9+ 145，x2=9− 145(舍去)，
∴OC=(9+ 145)cm，
∵OE=8cm，
∴EC=OC−OE=( 145+1)cm．
故答案为：17， 145+1．
当∠AOF=0°时，点C与点D重合，根据线段和差定义得OE+24=15+BC；当∠AOF=90°时，点C与点E重合，利用勾股定理可得OE2+152=BC2，进而求出BC的长；若点F到OA的距离为40cm，过点F作FM⊥OA于M，过点C作CN⊥OA于N，根据勾股定理求出OM的长，设OC=xcm，再根据相似三角形的性质得出ON=35xcm，CN=45xcm，BN=(15−35x)cm，在Rt△BCN中，利用勾股定理可得关于x的一元二次方程(45x)2+(15−35x)2=172，解方程可得的长，进而求出EC的长．
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理的应用，添加适当的辅助线，构造合适的直角三角形是解本题的关键．
14.【答案】−12019
【解析】解：作AM⊥y轴于M，
设A(m,n)，则AM=−m，OM=n，
∵AM//x轴，CDAD=AEEB=23，
∴OCAM=CDAD=23，OEAM=OBBM=BEAB=35，
∴OC=23AM=−23m，OE=35AM=−35m，OB=32n，
∴CE=−23m−35m=−1915m，
∴S△ABC=S△ACE+S△BCE=12CE⋅BM=12×(−1915m)×52n=10，
解得mn=−12019，
∵反比例函数y=kx的图象经过△ABC的顶点A，
∴k=mn=−12019，
故答案为：−12019．
作AM⊥y轴于M，设A(m,n)，则AM=−m，OM=n，根据平行线分线段成比例定理得出OCAM=CDAD=23，OEAM=OBBM=BEAB=35，求得OC=23AM=−23m，OE=35AM=−35m，OB=32n，CE=−23m−35m=−1915m，即可根据S△ABC=S△ACE+S△BCE得出12×(−1915m)×52n=10，解得k=mn=−12019．
本题考查反比例函数系数的几何意义，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
15.【答案】 1+m21+m2
【解析】解：过点D作DK⊥AD，使得DK=mAC．
∵CD=mAB，DK=mAC，
∴CDAB=DKAC=m，
∵∠A=∠CDK=90°，
∴△CDK∽△BAC，
∴CKBC=CDAB=m，
∵BE=mAC，DK=mAC，
∴BE=DK，
∵BE=DK，
∴四边形BEDK是平行四边形，
∴DE//BK，
∴∠EFB=∠CBK，
设BC=k则CK=mk，BK= 1+m2⋅k，
∴cos∠BFE=cos∠CBK=BCBK=k 1+m2⋅k=1 1+m2= 1+m21+m2．
故答案为： 1+m21+m2．
过点D作DK⊥AD，使得DK=mAC.证明△CDK∽△BAC，推出CKBC=CDAB=m，再证明四边形BEDK是平行四边形，推出DE//BK，∠EFB=∠CBK，设BC=k则CK=mk，BK= 1+m2⋅k，由此可得结论．
本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
16.【答案】y=100x(0≤x≤4) y=1600x(4≤x≤10)
【解析】解：(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，将(4,400)代入得：400=4k，
解得：k=100，故直线解析式为：y=100x，
当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，将(4,400)代入得：400=a4，
解得：a=1600，故反比例函数解析式为：y=1600x；
因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y=100x(0≤x≤4)，
下降阶段的函数关系式为y=1600x(4≤x≤10)．
故答案为：y=100x(0≤x≤4)，y=1600x(4≤x≤10)；
(2)当y=200，则200=100x，
解得：x=2，
当y=200，则200=1600x，
解得：x=8，
∵8−2=6(小时)，
∴血液中药物浓度不低于200微克/毫升的持续时间6小时．
(1)当0≤x≤4时，设直线解析式为：y=kx，当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y=ax，利用待定系数法即可解决问题；
(2)分别求出y=200时的两个函数值，再求时间差即可解决问题．
本题考查一次函数的应用、反比例函数的应用等知识，解题的关键是灵活应用待定系数法解决问题，学会利用函数图象解决实际问题，属于中考常考题型．
17.【答案】解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC=∠AEF=90°，
∵∠CAD=∠FAE，
∴△ADC∽△AEF(答案不唯一)．
【解析】根据相似三角形的判定即可在图中找出一对相似三角形．
本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定定理的掌握．
18.【答案】解：原式=−1+2×1
=−1+2
=1．
【解析】先根据零指数幂的运算法则计算出(−2023)0的值，再算乘法，最后算加法即可．
本题考查的是零指数幂及有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
19.【答案】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADES△ABC=(ADAB)2=12，
∴ADAB= 22．
【解析】首先根据DE//BC判定△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的性质计算即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法和性质．
20.【答案】解：(1)∵S△OBD=2，
∴k=4，
∴反比例函数为y=4x①，
设直线OA解析式为y=mx，
将A(4,4)代入得，4m=4，
∴m=1，
∴直线OA解析式为y=x②，
由①②得x2=4，
∴x=−2(不合题意，舍去)，x=2，
∴C为(2,2)．
(2)将x=4代入y=4x，
得y=1，
∴点D的坐标为(4,1)，
∵点P(a,b)在该反比例函数图象上，且在△ABO的内部(包含边界)，且C的坐标为(2,2)，
∴由图象得1≤b≤2．
【解析】(1)根据反比例函数的k值意义，求出k的值即可；先求出正比例函数解析式，联立正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出点C的坐标即可；
(2)先求出点D的坐标，然后根据点C和D的坐标，求出b的取值范围即可．
本题主要考查了求反比例函数解析式，求正比例函数解析式，反比例函数与正比例函数图象的交点坐标，解题的关键是熟练掌握反比例函数中k的几何意义．
21.【答案】解：(1)将点A(a,−2)代入y=2x+4得，−2=2a+4，
解得a=−3，
∴A(−3,−2)，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A，
∴k=−3×(−2)=6，
∴反比例函数解析式y=6x；
(2)解y=2x+4y=6x，
得x=−2y=−3或x=1y=6，
∴B(1,6)，
设直线y=2x+4与y轴交于M，
∴M(0,4)，
∴点C是反比例函数第一象限图象上一点，且△ABC的面积是△AOB面积的一半，
在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
∴直线CD的解析式为y=2x+2，
∴2x+2=6x，
解得x1=−1+ 132，x2=−1− 132(舍)，
∴C点的横坐标为−1+ 132，
在点M上方的y轴上取ME=2，过点E作CE//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，
同理可得C点的横坐标为−3+ 212，
综上：C点的横坐标为−1+ 132或−3+ 212；
(3)由题意可知AB=DF，AB//DF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
由反比例函数与平行四边形是中心对称图形可知，B与D，A与F关于原点对称，
∴F(3,2)，
∵B(1,6)，
∴点B向右平移2个单位，向下平移4个单位得到点F，
∴点E的坐标为(2,−4)．
【解析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形面积，平移的性质，数形结合是解题的关键．
(1)将点A(a,−2)代入y=2x+4，可得点A的坐标，从而得出答案；
(2)首先求出点B的坐标，分情况讨论：在点M下方的y轴上取OM的中点D，过点D作CD//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，或在点M上方的y轴上取ME=2，过点E作CE//AB，交反比例函数第一象限图象上一点C，根据平行关系可得直线CD的解析式，求出直线与双曲线交点可得结论；
(3)由平行四边形和反比例函数的对称性可知B与D，A与F关于原点对称，即可求得F(3,2)，根据B、F的坐标得到平移的距离，从而求得点E的坐标．
22.【答案】解：(1)∵点A(1,4)在反比例函数y=k1x第一象限的图象上，
∴k1=1×4=4，
∴反比例函数为y=4x，
将点A先向左平移5个单位长度，再向下平移m个单位长度后得到点C(−4,4−m)，
∵点C恰好落在反比例函数y=k1x第三象限的图象上，
∴4−m=4−4，
∴m=5，
∴C(−4,−1)，
代入y=k2x得−1=−4k2，
∴k2=14，
∴直线y=k2x的表达式为y=14x；
(2)作AM⊥x轴，交BC于点D，则D(1,14)，
∴AD=4−14=154，
∵点A、B关于原点对称，
∴B(4,1)，
∴S△ABC=S△ABD+S△ACD=12AD⋅(xB−xC)=12×154×(4+4)=15；
(3)关于x的不等式k1x>k2x的解集为x<−4或0
(2)作AM⊥x轴，交BC于点D，则D(1,14)，然后根据S△ABC=S△ABD+S△ACD求得即可；
(3)根据图象即可求得不等式的解集．
本题是反比例函数于一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，函数与不等式的关系，反比例函数的对称性，求得交点坐标是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠BDC=∠CAB，∠PCB=∠BDC，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴OC⊥PC，
∵OC是半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)证明：∵∠PCB=∠PAC，∠P=∠P，
∴△PCB∽△PAC，
∴PC2=PB⋅PA，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∵∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，
∴∠CEB=∠PCE，
∴PC=PE，
∴PE2=PB⋅PA．
【解析】(1)连接OC，根据∠ACB=90°，可证∠PCB+∠OCB=90°，则OC⊥PC，且OC是半径，即可证明；
(2)首先证明△PCB∽△PAC，得PC2=PB⋅PA，再由∠CEB=∠CAB+45°，∠PCE=45°+∠PCB，得∠CEB=∠PCE，则有PC=PE，从而证明结论．
本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】(1)解：∵点B(−3,−2)在反比例函数y=mx的图象上，
∴m=−3×(−2)=6．
∴反比例函数的表达式为y=6x．
∵点A(a,4)在反比例函数y=6x的图象上，
∴a=64=32．
∴点A的坐标为点(32,4)．
将点A(32,4),B(−3,−2)代入y=kx+b中，得−2=−3k+b4=32k+b，
解得：k=43b=2，
∴一次函数的表达式为y=43x+2；
(2)证明：方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，
则AM=4,OM=32,BN=3,ON=2.∠AMD=∠BNC=90°，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=32．
∴点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)，
∴OC=2,OD=32．
∴CN=OC+ON=4，DN=OD+OM=3．
∴AM=CN=4，BN=DM=3．
在△ADM与△CBN中，
AM=CN∠AMD=∠CNBDM=BN，
∴△ADM≌△CBN(SAS)．
∴AD=BC．
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，
则AM=32,OM=4,BN=2,ON=3.∠AMC=∠BND=90°，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=32．
∴点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)．
∴OC=2,OD=32．
∴CM=OM−OC=4−2=2．
∴DN=ON−OD=3−32=32．
∴CM=BN=2,DN=AM=32．
在△ACM与△DBN中，
CM=BN∠AMC=∠BNDAM=DN，
∴△ACM≌△DBN(SAS)，
∴BD=AC，
∴BD+CD=AC+CD．
即：AD=BC；
方法三：当x=0时，y=2；当y=0时，x=32，
∴点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)．
∵AD= (xA−xD)2+(yA−yD)2= (32+32)2+(4−0)2= 32+42=5．BC= (xB−xC)2+(yB−yC)2= (3−0)2+(−2−2)2= 32+42=5．
∴AD=BC；
(3)解：∵点C的坐标为(0,2)，点D的坐标为(−32,0)，点A的坐标为点(32,4)，S△PAC=4，
设P(x,0)(x>0)，
∴S△APC=S△APD−S△PDC=12(x+32)×4−12(x+32)×2=x+32，
∴32+x=4，
解得：x=52，
∴P(52,0)．
【解析】(1)将点B(−3,−2)代入反比例函数求得m=6，进而将点A(a,4)，代入y=6x得出A(32,4)，再根据待定系数法求一次函数的解析式即可求解；
(2)方法一：作AM⊥x轴于点M，BN⊥y轴于点N，证明△ADM≌△CBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法二：作AM⊥y轴于点M，BN⊥x轴于点N，证明△ACM≌△DBN，根据全等三角形的性质，即可得证；
方法三：得出点C的坐标为(0,2)；点D的坐标为(−32,0)，根据勾股定理求得AD，BC，即可得证；
(3)设P(x,0)(x>0)，根据三角形面积列出方程，解方程即可求解．
本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，勾股定理，全等三角形的性质与判定，一次函数与坐标轴的交点问题，掌握以上知识是解题的关键．
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