2022-2023学年安徽省宣城市十校联盟九年级（下）第二次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省宣城市十校联盟九年级（下）第二次月考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  相反数为的数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  截至年月，我国基本医疗保险参保人数已超过亿人，其中数据亿用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  下面计算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.  如图所示的几何体，它的俯视图是(    )

A.
B.
C.
D.

5.  将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果，则的度数是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  九班开展“真爱阅读”活动，该班月月全班同学阅读课外书数量的折线统计图如图所示，下列说法正确的是(    )

A. 从月份到月份阅读课外书的本数逐月下降
B. 每月阅读课外书本数的众数是本
C. 每月阅读课外书本数的中位数是本
D. 九班全班月份的课外书阅读量比月份的课外书阅读量多

7.  如图，有一斜坡，坡顶离地面的高度为，若坡比：，则此斜坡的水平距离为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  按一定规律排列的单项式：，，，，，第个单项式是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  ，两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发，甲，乙两人行驶路程、与行驶时间之间的函数关系如图所示，当乙追上甲时，则乙出发的时间是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在正方形中，点在边上，连接，的垂直平分线交于点，交于点，连接，过点作的垂线交于点，连接下列结论：；平分；；的周长等于其中结论正确的序号有(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

11.         ．

12.  如图，课间小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉到两张凳子之间凳子与地面垂直，已知，，则两张凳子的高度之和为______．

13.  如图，点为矩形的边的中点，反比例函数的图象经过点，交边于点，若的面积为，则 ______ ．

14.  如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连结，给出四种情况：
若为上任意一点，则；
若，则；
若为的中点，则四边形是正方形；
若：：，则．
则其中正确的是______ ．

三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）

15.  某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按拟定的价格进行试销，通过对天的试销情况进行统计，得到如下数据：

计算这天销售额的平均数销售额单价销量；
通过对上面表格中的数据进行分析，发现销量件与单价元件之间存在一次函数关系，求关于的函数关系式不需要写出函数自变量的取值范围；
预计在今后的销售中，销量与单价仍然存在中的关系，且该产品的成本是元件．为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少？

四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
解不等式组，并在数轴上表示出其解集．

17.  本小题分
如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，每个方格的边长均为个单位长度．
请画出，使与关于原点对称，并写出、、的坐标；
将绕点逆时针旋转，画出旋转后得到的，并直接写出线段旋转到扫过图形的面积．

18.  本小题分
现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某快递公司今年九月份与十一月份的投递总件数分别为万件和万件，该公司每月的投递总件数的增长率相同求该快递公司投递总件数的月增长率．

19.  本小题分
我校七年级数学兴趣小组成员们自主开展数学微项目研究．结合本阶段学内容特点，他们决定研究数的一些“神秘”性质．

20.  本小题分
如图，线段是南北方向的一段码头，点和点分别是码头的两端，海里，某一时刻在点处测得货船位于其北偏东的方向上，同时测得灯塔位于其南偏东方向上，在点处测得灯塔位于其北偏东方向上，已知货船位于灯塔北偏东方向上，求此时货船距灯塔的距离的长最终结果精确到海里，参考数据：，，．

21.  本小题分
如图，在中，，以为直径的与交于点，与边交于点，过点作的垂线，垂足为．
求证：为的切线；
若，，求的半径及的值．

22.  本小题分
整理错题是一种优秀的学习习惯和学习方法，为此湖南师大附中教育集团某校教务处就这项优秀的学习习惯对部分九年级学生进行了问卷调查设计的调查问题：对自己做错的题目进行整理、分析、改正情况：答案选项为：、很少，、有时，、常常，、总是将调查结果的数据进行了整理、绘制成部分统计图：

请根据图中信息，解答下列问题：
填空： ______ ， ______ ，“常常”对应扇形的圆心角度为______ ；
请你补全条形统计图；
为了共同进步，王老师从被调查的类和类学生中各选出两人，再从四人中选取两位学生进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位学生恰好组合成功即“很少”和“总是”的两人为一组的概率．

23.  本小题分
在中，，，是的角平分线，于点．
如图，连接，求证：是等边三角形；
点是线段上的一点不与点，重合，以为一边，在的下方作，交延长线于点请你在图中画出完整图形，并直接写出，与之间的数量关系；
如图，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点试探究，与数量之间的关系，并说明理由．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：相反数为的数是．
故选：．
根据相反数的定义可知的相反数是，据此可得答案．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是解答本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：亿．
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：、，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、，原式计算正确，故选项符合题意．
故选：．
根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则分析判断即可．
本题考查了合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂乘法的运算法则以及幂的乘方与积的乘方的运算法则，熟记相关的运算法则是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：从上面看，可得如下图形：
．
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
 

5.【答案】 

【解析】解：延长，交于点，如图，

，
，
，
，
，
．
故选：．
延长，交于点，根据平行线的性质、对顶角的性质，将已知角和所求角转化到中，再利用三角形内角和定理即可求解．
本题主要考查平行线的性质、三角形内角和定理，正确作出辅助线，熟练掌握平行线的性质是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：从折线图可以看出，从月到月阅读课外书的本数下降，月到月阅读课外书的本数上升，故选项A不符合题意；
因为出现了两次，其他数据都出现了一次，所以每月阅读课外书本数的众数是，故选项B不符合题意；
每月阅读课外书本数从小到大的顺序为：、、、、、、，最中间的数字为，所以该组数据的中位数为，故选项C符合题意；
九班全班月份的课外书阅读量为，月份的课外书阅读量为，所以九班全班月份的课外书阅读量比月份的课外书阅读量少，故选项D不符合题意．
故选：．
从折线图中获取信息，通过折线图和中位数、众数的定义及平均数等知识求解．
本题考查折线统计图、众数及中位数的定义等知识点，掌握众数、中位数的定义，并能从统计图中得到必要的信息是解决本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：斜坡的坡度：，
：：，
，
，
故选：．
根据坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比列式计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：，，，，，，
第个单项式为：，
故选：．
不难看出，系数部分为，字母的指数为，据此即可求解．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．
 

9.【答案】 

【解析】解：甲的速度为，乙的速度为，
设当乙追上甲时，乙出发的时间为，
，
解得，
当乙追上甲时，乙出发的时间是．
故选：．
由速度路程时间，可求出乙的速度，再用甲出发小时的路程甲、乙速度差，可求出乙出发小时追上甲．
本题考查了函数图象，观察函数图象是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作交的延长线于点，
四边形是正方形，
，，，
四边形是平行四边形，
，，
又，且，
，，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，故正确；
过点作于点，
垂直且平分，
，，
，
，
又，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
平分，故正确；
≌，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，
，
又，
，故正确；
≌，≌，≌，
，，
，
的周长为：


，故正确，
故选：．

过点作交的延长线于点，可得四边形是平行四边形，证明≌，即可得出结论；过点作于点，根据线段垂直平分线的性质和，可得，从而证明≌，≌，即可证明结论；证明≌，可得，再利用，即可得出结论；根据≌，≌，≌，可得，，，利用等量代换得出结论．
本题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、线段垂直平分线的性质及角平分线的定义，构造全等三角形是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式

．
故答案为：．
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意可得：，，
则，
在和中，
，
≌，
故DC，，
则两条凳子的高度之和为：．
故答案为：
利用等腰三角形的性质结合全等三角形的判定方法得出即可．
此题主要考查了全等三角形的判定与性质，得出≌是解题关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设，则，，
点、在反比例函数的图象上，
，
，
又，
，即，
解得，，
故答案为：．
设出的长，表示出其横坐标，再根据、在反比例函数的图象上，表示出其纵坐标，进而表示，利用三角形的面积列方程求解即可．
考查反比例函数图象上点的坐标特征，用点的坐标表示线段的长和三角形的面积是解决问题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：连接，，与相交于点，
四边形是正方形，
，，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，
，
在与中，
，
≌，
，
，故正确；
四边形是正方形，
，，
，
，
，故正确；
当是的中点时，是，的交点，即与重合，
，，
，
矩形是正方形，故正确；
正方形的边长为，
正方形的面积，
：：，
，故正确；
故答案为：．
根据正方形的性质得出，进而利用全等三角形的判定和性质判断；
根据等腰三角形的内角和定理判断；
根据正方形的判定判断；
根据正方形的面积公式和三角形的面积公式解答判断．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质解答．
 

15.【答案】解：根据题意得：元；
根据题意设，
把与代入得：，
解得：，，
则；
设定价为元时，工厂获得的利润为，
根据题意得：，
当时，最大值为，
则为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为元． 

【解析】根据题中表格中的数据列出算式，计算即可得到结果；
设，从表格中找出两对值代入求出与的值，即可确定出解析式；
设定价为元时，工厂获得的利润为，列出与的二次函数解析式，利用二次函数性质求出最大时的值即可．
此题考查了二次函数的应用，待定系数法确定一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
 

16.【答案】解：解不等式，得：，
解不等式，得：，
则不等式组的解集为，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：如图，即为所求，，，；
如图，即为所求．

线段旋转到扫过图形的面积．
 

【解析】分别作出，，的对应点，，即可；
利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可，利用勾股定理求出，利用扇形面积公式求解即可．
本题考查作图旋转变换，扇形的面积等知识，解题的关键是掌握中心对称变换，旋转变换的性质属于中考常考题型．
 

18.【答案】解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据题意得，
解得，不合题意舍去．
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为． 

【解析】设该快递公司投递总件数的月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】    ，  或 

【解析】解：素材：设，
解得：，
；
故答案为：；
规律总结：设，
解得：，
当时，，，
故答案为：，，；
拓展延伸：当时，，
解得：，
此时的值为，
当时，，
解得，
此时的值为，
故答案为：或．
素材：设未知数列方程求解；
规律总结：根据左边数与右边中间一个数或两个数的平均数的关系求解；
拓展延伸：根据题意，验证求解．
本题考查了数字的变化规律，方程思想是解题的关键．
 

20.【答案】解：在中，，
，
海里．
在中，．
，
，
，
．
过点作于点，
在中，，
海里，
海里海里，
在中，，则海里．
海里．
答：此时货船距灯塔的距离约为海里． 

【解析】先说明是等腰三角形即海里，再根据三角形内角和可得；由可得得；过点作于点，再在中解直角三角形可得、，最后在中解直角三角形可得，最后根据即可解答．
本题主要考查了解直角三角形、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解答本题的关键．
 

21.【答案】证明：，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
为的切线；
解：连接，，

四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
又，
是的中线，
，，
，
，
的半径为；
为的直径，
，
，
∽，
，
，
，
在中，
，
，
．
答：的半径为，的值是． 

【解析】由，得，即可得，故，而，有，即知为的切线；
连接，，由，可得，，而，故DF是的中线，可得，，，即得，的半径为；证明∽，可得，，在中，，得，从而．
本题考查圆的综合应用，涉及圆内接四边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的相似和判定，切线的判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
 

22.【答案】     

【解析】解：调查的总人数是：人，
，
，
“常常”对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：，，；
常常的人数有：人，
补全条形统计图如图所示：

画图如下：

共有种等可能的情况数，其中所选两位同学恰好组合成功的有种，
则所选两位同学恰好组合成功即“很少”和“总是”的两人为一组的概率是．
“有时”的有人，占调查人数的，可求出调查人数，进而求出、的值，“常常”所对应的圆心角的度数为的；
求出“常常”的人数，即可补全条形统计图；
画出树状图得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
 

23.【答案】证明：如图所示：

在中，，，
，．
平分，
．
．
于点．
．
．
是等边三角形；

结论：．
证明：
如图所示：延长使得，连接，
，，是的角平分线，于点，
，，
又，
是等边三角形，
，
，
在和中，

≌，
，
．



结论：．
证明：延长至，使得．
由得，．
于点．
．
．
是等边三角形．
，．
．
，
．
即．
在和中，

≌．
．
，
．
． 

【解析】此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，根据已知做出正确辅助线是解题关键．
利用有一个角是的是等腰三角形证得是等边三角形；
延长使得，连接，即可得出是等边三角形，利用≌即可得出，再利用，即可得出答案；
利用等边三角形的性质得出，进而得出，再求出≌即可得出答案．