2022-2023学年安徽省A10联盟高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省A10联盟高二（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在正项等比数列中，，，则的公比等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  设，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知函数的导函数为，则“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的(    )

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

4.  传说古代希腊的毕达哥拉斯在沙滩上研究数学问题：把，，，，，叫做三角形数；把，，，，，叫做正方形数，则下列各数中既是三角形数又是正方形数的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  某厂安排名工人到三个岗位值班，每名工人只去一个岗位，每个岗位至少安排名工人，则安排工人甲、乙到同一个岗位值班的方法数为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知数列的前项和为，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，则被除所得的余数为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  在等比数列中，，，函数，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  若曲线的一条切线垂直于直线，则切点的坐标可以是(    )

A.  B.  C.  D.

10.  下列各式正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

11.  已知正项数列前项和为，且满足(    )

A. 数列是等差数列 B.
C. 数列不是等差数列 D.

12.  已知函数，若函数恰有个零点，则实数的值可以为(    )

A.  B.  C.  D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  在的展开式中，的系数为______用数字作答

14.  某乡村道路上有盏照明路灯，为了节约用电，需要关闭其中两两不相邻的盏，但考虑行人夜间出行安全，两端的路灯不能关闭，则关灯方案的种数为______ 用数字作答

15.  已知等差数列的前项和为，若，公差，当且仅当时，取得最大值，则的取值范围是______ ．

16.  如图，某款酒杯的上半部分为圆锥，且该圆锥的轴截面是面积为的正三角形若在该酒杯内放置一个圆柱形冰块，要求冰块高度不超过酒杯口高度，当放置的圆柱形冰块的体积最大时，其高度为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
若，其中．
求实数的值；
求．

18.  本小题分
已知数列满足：，，．
求的通项公式；
若数列，是等比数列，且，求关于的表达式．

19.  本小题分
用五种不同的颜色给下图中的四块区域涂色，要求相邻的区域颜色不同，则一共有多少种不同的涂色方法？
记正方体中两条平行的棱为一对“平行棱”，现从正方体所有棱中任取条，要求至少得到对“平行棱”，则一共有多少种不同的取法？

20.  本小题分
若函数，且为偶函数．
求的值；
设函数，，求的单调区间．

21.  本小题分
已知数列的前项和为，满足且．
求证：是等比数列；
设，数列的前项和为，求证：．

22.  本小题分
已知函数．
若为增函数，求实数的取值范围；
若，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：正项等比数列的公比为，
则，解得负值舍去．
故选：．
根据已知条件，结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
本题主要考查导数的几何意义，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：只有当在上有两个变号零点时，在上才有两个极值点，故充分性不成立；
若在上有两个极值点，则在上有两个变号零点，则在上至少有两个零点，故必要性不成立．
综上，“在上有两个零点”是“在上有两个极值点”的既不充分也不必要条件，
故选：．
结合充分、必要条件定义及极值点的概念即可可判断．
本题以充分必要性的判断为载体，主要考查了导数与单调性及极值关系的应用，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的通项公式，考查学生观察、分析和归纳能力，属于中档题．
根据题意，观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式验证各选项，即可求得结果．

【解答】

解：由题意可得三角形数构成的数列通项 ，
正方形数构成的数列通项，
则由，
令，与，无正整数解，
对于选项C，，，故既是三角形数又是正方形数．
故选C．

5.【答案】 

【解析】解：人分组，则人数分别为，，或，，．
工人甲、乙同一组，若甲乙这组是人，则选人和甲乙一组，则有．
若甲乙只有人，人，则剩余人分成两组，有，
则共有种值班方法．
故选：．
将人分组，利用排列组合公式进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用先分组后安排的方法进行计算是解决本题的关键，是中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：当是偶数时，即时，，
当是奇数项时，即时，，
则，，，，，，，，
则，
即，
则．
故选：．
根据数列递推关系得到数列相邻四项和为定值，然后利用周期性进行求解即可．
本题主要考查数列求和的应用，根据数列递推关系得到各项取值的规律是解决本题的关键，是基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
又因为，
又因为都是的倍数，
所以被除所得的余数为．
故选：．
根据题意得到，再利用二项式定理展开即可得到答案．
本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：令，
则，
求导可得，，
令，
则．
故选：．
令，则，对其求导，再结合等比数列的性质，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于中档题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由题意，在直线中，，
设切点为，在中，
，一条切线垂直于直线，
，解得，
当时，，此时点的坐标为；
当时，，此时点的坐标为．
故选：．
根据曲线的一条切线垂直于直线，求出切点处切线的斜率，推出对应的切点的横坐标，即可确定切点的坐标．
本题考查导数的几何意义，考查直线方程，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：对于，由得，A正确；
对于，，B错误；
对于，，C错误；
对于，，D正确．
故选：．
对于，由可判断；对于，根据二项式系数和公式可判断；对于，根据排列数的计算公式可验证．
本题主要考查组合数与排列数公式，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：数列中，，，，当时，，
则，即，
因此，而，解得，即数列是首项为，公差为的等差数列，，都正确；
，，，
于是，数列是等差数列，C错误；
，D正确．
故选：．
根据给定的递推公式，结合，求出数列的通项公式，再逐项判断作答．
本题主要考查数列递推式，等差数列的判断，考查运算求解能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：当时，由得，此时，得，得，满足条件，即当时，只有一个零点，
若函数恰有个零点，
等价为当时，恰有个零点，
即，即
得，
当时，方程不成立，即不是方程的根，
则当时，，
设，
，
当得，即，则，此时函数为增函数，
由得，即，则，此时函数为减函数，
即当时，取得极小值，，
当，，当且，，
作出函数的图象如图：
要使有两个交点，则即可，
则，满足条件．
故选：．
根据函数与方程的关系，将函数零点问题转化为两个函数图象交点个数问题，利用参数分离法和数形结合进行求解即可．
本题主要考查函数零点个数的应用，根据函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，构造函数，求函数的导数，研究函数的极值和图象，利用数形结合进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：的展开式的通项为．
令，得．
展开式中含项的系数为．
故答案为：．
利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为，求出的值，将的值代入通项求出展开式中含项的系数．
本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：亮的灯共有盏灯，盏灯中间共有个空，从个空中选盏灯，让这盏灯关闭即可，
则有种方法．
故答案为：．
利用插空法在盏灯里面的个空里选个进行计算即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用不相邻问题插空法进行计算是解决本题的关键，是基础题．
 

15.【答案】． 

【解析】解：，公差，当且仅当时，取得最大值，
则，即，解得，
，
故，
所以的取值范围是．
故答案为：．
根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，即可求解．
本题主要考查合等差数列的性质，以及等差数列的前项和公式，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：设该圆锥的轴截面正三角形的边长为，
由该圆锥的轴截面是面积为的正三角形，得：
，解得，
该圆锥底面半径为，高为，
设圆锥中放置的圆柱的底面圆半径为，高为，其中，，
如下图所示，当冰块体积最大时，冰块上底面在圆锥底面内，

，，即，
解得，
则，
设，则，
当时，，当时，，
在处取得极大值，也是最大值，
，
酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积为
故答案为：．
设该圆锥的轴截面正三角形的边长为，先求出，设圆柱的底面半径为，高为，得到，利用导数求其最大值．
本题考查酒杯可放置圆柱形冰块的最大体积的求法，考查圆锥、圆柱的性质、导数性质、函数极值等基础知识，考查运算求解能力，属中档题．
 

17.【答案】解：，
其中，
．
对于所给的等式，
令，可得，
再令，可得，
．
故
． 

【解析】由题意，根据二项展开式的通项公式，求出的值．
利用平方差公式，通过给赋值，求出和的值，可得要求式子的值．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，是给变量赋值的问题，属于中档题．
 

18.【答案】解：，，
数列是等差数列，设其公差为，
则，
．
由知，，
，数列，，，，，的公比，
，
． 

【解析】由等差数列性质可知为等差数列，套用公式求解．
利用等比数列的概念，找出基本量，代换求解．
本题考查等差、等比数列基本量的运算，属简单题．
 

19.【答案】解：若颜色都不相同，则有，
和可以颜色相同，则有，共有种不同的涂色方法．
正方体中一共有组，每组条分别平行的直线，
若条棱中恰有对“平行棱”，则对分别来自不同组，每组条，不同的取法有种，
若条棱中恰有对“平行棱”，则对分别来自不同组，一组条，一组条，则不同的取法有种，
若条棱中恰有对“平行棱”，则对均来自同一组，一组条，则不同的取法有种，
故从所有棱中任取条，且至少得到对“平行棱”一共有种． 

【解析】讨论，颜色不相同和颜色相同两种情况．
分类讨论条棱的位置关系进行求解．
本题主要考查简单的计数问题，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

20.【答案】解：由可得，
，
为偶函数，，，即，
又，
由知，则，，
则，，
令，得或；
令，得，
故的单调递增区间是，；单调递减区间是 

【解析】对求导，得到的表达式，化简后利用三角函数的奇偶性求解；
利用导数来研究单调性．
本题考查三角函数的性质、复合函数的求导、利用导数判断单调性的相关知识，属中档题．
 

21.【答案】证明：，
当时，，
两式相减得，
即，
即，
即．
即，
即，
即是公比的等比数列．
由知是公比的等比数列，
首项，
则，则，
，
则数列的前项和为恒成立， 

【解析】利用构造法进行证明即可．
求出数列的通项公式，利用裂项相消法进行求和即可．
本题主要考查等比数列的证明以及数列与不等式的综合，利用构造法以及裂项法进行求和是解决本题的关键，是中档题．
 

22.【答案】解：因为，，
，
又因为为增函数，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
由二次函数的性质可得在上最大值为，
所以，
即实数的取值范围为；
证明：因为，所以，，
令，，
则，
令，，
则，
所以在上单调递增，
又因为，，
所以当时，即，单调递减；
当时，即，单调递增；
所以，
所以，
即，，
，
所以当时，． 

【解析】由题意可得在上恒成立，即有在上恒成立，结合二次函数的性质，求出在上最大值即可；
令，，利用导数，证明即可．
本题考查了导数的综合运用、转化思想及二次函数的性质，属于在中档题．