2022-2023学年浙江省台州市六校高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省台州市六校高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  若，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若且，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  学生到工厂劳动实践，利用打印机技术制作模型设模型为长方体挖去四棱锥所得的几何体如图，其中为长方体的中心，，，，分别为所在棱的中点，，，打印所用的原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  在中，，为中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

5.  在直三棱柱中，，，，是的中点，则异面直线与所成的角的余弦值是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  在中，，，平分交于点，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在正四棱锥中，是上的动点不包含端点，是上的中点，点在线段上且满足，分别记，，的平面角为，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若是的外心，且，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  下列说法正确的是(    )

A. 在中，若，则
B. 在中，若，，，则这样的有两个
C. 若，是非零向量，则在上的投影向量为
D. 若，，则

10.  ，，是不同的直线，，是不同的平面，下面条件中能证明的是(    )

A. ，，，，
B. ，，
C. ，
D. ，
 

11.  在中，，，，点是等边点与在的两侧边上的一动点，若，则有(    )

A. 当时，点必在线段的中点处
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 的最大值为

12.  如图，在矩形中，，，为的中点，将沿翻折成，记二面角的平面角为，在翻折过程中，下列结论成立的是(    )

A. 点在平面的射影必在线段上
B. 存在点使得
C.
D. 记和与平面所成的角分别为，，则的取值范围是

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  用斜二测画法画水平放置的的直观图为直角边长是的等腰直角三角形如图，则的面积是______ ．

14.  圆锥的底面半径为，表面积为，则该圆锥为体积为______ ．

15.  方山双塔位于台州市黄岩区九峰公园内紫云峰之巅南宋宝章阁直学士章雄飞游九峰寺诗中赞道：“九峰突地三千丈，双塔攒空十二层”为了测量南塔高度，某同学设计了如下测量方法：先在塔底平台点处测得塔底中心在北偏西方向，塔顶仰角的正切值为，再走到距离点米的点处，测得点在北偏东方向，塔顶仰角为，则该塔的高度为______ 米

 

16.  在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，面，，三棱锥外接球与内切球球心分别为，，则 ______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
已知．
求与的夹角；
求的值．

18.  本小题分
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，，，分别为，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．

19.  本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，且与平行．
若，求的值；
若，且，求面积的最大值．

20.  本小题分
如图，点是为直径的半圆上的一动点面，，．
若为的中点，当的面积最大时，求与面所成的角；
过点作平面，分别交，于点，，当时，求三棱锥外接球的体积．

21.  本小题分
已知锐角三角形的内角，，的对边分别是，，，且满足．
求角的大小；
若为的中点，是上的动点，且若最小值为，当取最小值时，求的取值范围．

22.  本小题分
如图，在三棱柱中，，，点为线段中点，侧面为矩形，．
若，求二面角的正弦值；
若，，求与平面所成角的正弦值的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：根据题意，若，
则，解可得．
故选：．
根据题意，由数量积的计算公式可得，解可得答案．
本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的坐标计算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：由题意，，，
该模型的体积．
打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，
制作该模型所需原料的质量为．
故选：．
由求得模型的体积，乘以原料密度得答案．
本题考查多面体体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：如图：

所以．
故选：．
数形结合，根据平面向量的和差表示即可得到答案．
本题考查平面向量基本定理，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，如图，以为坐标原点，建立坐标系，
由于且，则的坐标为，，，，
故，，
则，，
故异面直线与所成的角的余弦值是．
故选：．
根据题意，以为坐标原点，建立坐标系，求出各个点的坐标，可得，的坐标，进而由数量积的计算公式可得，的值，由此分析可得答案．
本题考查异面直线所成的角，涉及空间向量的应用，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：平分交于点，，，
，
，
，，，
，，，
在中，由余弦定理得：，
．
故选：．

由平分交于点得，从而求出，再由余弦定理即可求得．
本题考查解三角形中的中线问题及余弦定理，属于中档题．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接，交于点，
四棱锥是正四棱锥，平面，
过作，，垂足为，，连接，，
平面，，平面，，，
，，平面，
平面，而平面，，
是二面角的平面角，
，，
同理，，是二面角的平面角，
，，
设是的中点，连接，，则有，，
是二面角的平面角，
，，
如图，是的中点，，
是上的动点不包含端点，是上的中点，
点在线段上且满足，
，，
，．
故选：．
连接对角线得底面的中心，则垂直底面，根据二面角的定义，结合正切函数的性质进行求解即可．
本题考查二面角、四棱锥结构特征、线面垂直的判定与性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为是的外心，设外接圆的半径为，
所以，，
所以可化为，
即，
由正弦定理得，
所以，
又因为，，
所以，当时取“”，
所以的最大值是．
故选：．
根据题意设外接圆的半径为，利用，，化简题目中的等式得出，利用正弦定理得，再利用平面向量的坐标表示即可求出的最大值．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了转化思想，是难题．
 

9.【答案】 

【解析】解：对于，若，
则，
由正弦定理可知，，故A正确；
对于，在中，若，，，
则，
，，
这样的有一个，故B错误；
对于，若，是非零向量，
则在上的投影向量为，故C正确；
对于，当时，，，故D错误．
故选：．
对于，结合正弦定理，即可求解；
对于，结合投影向量的公式，即可求解；
对于，结合特殊值法，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：选项，可知直线与平面内两条相交直线垂直，则，故A正确；
选项，缺少条件，不能保证，故B错误；
选项，此时有可能与两平面交线不垂直，此时不能保证，故C错误；
选项，因，，则，故D正确．
故选：．
由线面垂直定义，线面垂直判定定理，面面垂直性质定理可判断选项正误．
本题考查直线与平面的位置关系，是中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：对于，记为的中点，过作交于，如图，

此时存在，使得，则，
显然满足，但点不在线段的中点处，故A错误；
对于，延长，在上任一点作平行于，如图，

则，即，，
易得大于的外角，则与的延长线必交于一点，
故E离越远，其值越大，同时，的值也越大，
显然，当到达点与点重合时，与都取得最大值，此时也取得最大值，
此时，在中，，
所以，则，
易知，所以，
则，
故在中，，
所以，，
又，所以，
又，，所以，则为正三角形，
所以，
所以的最大值为，故B正确；
对于，因为，，
所以，
由选项B，结合图像易知的增长速率要比大，
所以要使得取得最小值，要取得最小值，
此时，则，即点与点重合时取得最小值，
此时，即的最小值为，故C正确；
对于，当点与点重合时，，，
所以，则，
则，故D错误．
故选：．
对于，过的中点作平行线即可判断；对于，先利用平面向量的性质得到，，从而结合图形的性质推得取得最大值时点的位置，从而利用余弦定理与三角函数的和差公式求得，，从而得以判断；对于，结合选项B中的结论，推得点与点重合时取得最小值，由此判断即可；对于，举反例排除即可．
本题考查平面向量的综合应用，属于难题．
 

12.【答案】 

【解析】解：建立为坐标原点的坐标系，，，为的中点，
，，，，，
则，，
则，
则，

，，，
平面，
则平面平面，
平面平面，
点在平面的射影必在线段上，故A正确．

若，连接，则，
则平面，
即，
平面，
，
则平面，则平面平面，与条件矛盾，即不成立，故B错误，

设在底面的射影，
二面角的平面角为，
则，
则，
则，
即，即成立，故C正确，

设在底面的射影，记和与平面所成的角分别为，，
则，，
，
当与重合时，取得最大值，
，，，
，
即，
即，
则，
即的取值范围是，故D正确．

故选：．
A.根据条件证明即可．
B.利用反证法进行证明即可．
C.找出二面角的平面角，根据二面角的性质进行求解证明即可．
D.求出线面角，求出的取值范围进行求解即可．
本题主要考查空间几何体的折叠问题，利用空间直线和平面的位置关系，以及线面角和二面角的定义进行转化求解是解决本题的关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：解法一、把直观图还原为原图形，
则，，
所以的面积为．
解法二、的直观图面积为，
所以的面积是．
故答案为：．
解法一、把直观图还原为原图形，再求的面积．
解法二、求出的直观图面积，根据原平面图形与直观图的面积比求解即可．
本题考查了平面图形与直观图的面积计算问题，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设圆锥的母线长为，圆锥的底面半径为，表面积为．
可得，解得，
圆锥的高为：．
所以圆锥的体积为：．
故答案为：．
利用圆锥的表面积求解圆锥的高，然后求解体积即可．
本题考查圆锥的表面积以及体积的求法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：作出图形如图所示，为塔高，
由题意得，，
设塔高，由题意可得，，
在中，由余弦定理可得，
，
整理得，解得或舍去．
该塔的高度为米．

故答案为：．
作出图形，设塔高，由已知可得，，，在中，由余弦定理可得，求解即可．
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，取等边的中心为，
因为的边长为，可得，则，
连接，根据球的截面性质，可得平面，
又由平面，且，所以，
由，
连接，因为为中点，且，
所以，且，
所以，
所以棱锥的表面积为，体积为，
设内切球的半径为，可得，解得，
即到平面和平面的距离为，
因为为的中点，且，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
在上取一点，使得，过点作，可得平面，
在直角中，可得，即点到平面的距离为，
过点作，可得，
，
在直角中，可得．
故答案为：．
取等边的中心为，根据球的截面的性质，求得，再由体积法，求得内切球的半径为，在上即可求解．
本题考查了几何体的外接球和内切球问题，考查了学生的空间想象与运算能力，属于较难题目．
 

17.【答案】解：，
，
，
，，又，，
，；
由知，，，
． 

【解析】根据向量数量积的性质与向量夹角公式，即可求解；
根据向量数量积的性质与定义，即可求解．
本题考查向量数量积的性质与定义，向量夹角公式，属中档题．
 

18.【答案】证明：取中点，连接，
  
因为是中位线，所以，且，
又是菱形，则且，
所以，，即是平行四边形，
所以，平面，平面，
所以平面．
取中点，连接，，因为，，
所以是正角形，，且，
又因为是等腰三角形，，，，可知，
因为，由勾股定理知，
又因为，，平面，
所以平面，平面，所以平面平面 ．  

【解析】取中点，连接，，由题意可证得，再由线面平行的判定定理即可证明；
取中点，连接，，由题意可证得，再由线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明．
本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，是中档题．
 

19.【答案】解：与平行，
，
在中，由正弦定理得，
又，则，
，，
，，
，
由正弦定理得，即，解得；
由得，
，
，即，
又，则，
，当且仅当，即，时等号成立，
，
面积，
故面积的最大值为． 

【解析】由题意得，利用正弦定理得，即，可得，结合题意利用正弦定理，即可得出答案；
由得，由题意得，即，即，利用基本不等式可得，结合面积公式，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由题意知平面，平面，
，，，平面，
过点作，垂足为，连接，
平面，面，，即，，
平面，就是与面所成的角，
 
当的面积最大时，为弧中点，可得，
在中，，又，，由面积法可得，
在中，，；
过作于，作于，

与证平面相同可得平面，
又平面，，又，
平面，平面即为平面，，面，
将补成长方体，即为长方体的体对角线，即为外接球的直径，
所以， 

【解析】过点作，垂足为，连接，可证平面，就是与面所成的角，求解即可；
过作于，作于，可证平面即为平面，将补成长方体，可求三棱锥外接球的体积．
本题考查线面角的求法，考查空间几何体的外接球的体积，属中档题．
 

21.【答案】解：由正弦定理得

，
又因为，
可得，
因为，
可得．
作关于边的对称点，连接，并取其中点，
当，，
设，，
由余弦定理知，
在三角形中，，，
可得，可得，
可得，可得，
由正弦定理知，可得，
中，，，
设，，
由正弦定理，可得，
所以 

【解析】由正弦定理，三角函数恒等变换化简已知等式可得，结合，可求的值．
作关于边的对称点，连接，并取其中点，利用正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质即可求解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换以及正切函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

22.【答案】解：分别取，的中点，连接，
且，是平行四边形，
，，
侧面是矩形，，即，
面，
又平面，面面，
延长，过点作，垂足为，过作，垂足为，连接，
由面面，得面，则是二面角的补角的平面角，
，，
设，，得，
是的平分线，，，得，
，二面角的正弦值为．
由知面，点在线段或其延长线上，，又，
，
点到面的距离为，
 的射影在的角平分线上，
，
≌，
，
即，
在中，由余弦定理知，
直线与平面所成的线面角的正弦值为，
设，，则，
， 

【解析】根据二面角的定义先找二面角的平面角，然后在三角形内进行计算即可．
根据线面角的定义进行求解即可．
本题主要考查线面角和二面角的求解，根据线面角和二面角的定义求出对应的平面角，利用三角形的边角关系进行求解是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，是个难题．