2023年天津市中考数学试卷（含解析）

2023年天津市中考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

2.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

3.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.
B.
C.
D.

4.  在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形下面个汉字中，可以看作是轴对称(    )

A.  B.  C.  D.

5.  据年月日天津日报报道，在天津举办的第七届世界智能大会通过“百网同播、万人同屏、亿人同观”，全球网友得以共享高端思想盛宴，总浏览量达到人次，将数据用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

7.  计算的结果等于(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  若，是方程的两个根，则(    )

A.  B.  C.  D.

10.  如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧弧所在圆的半径都相等，两弧相交于，两点，直线分别与边，相交于点，，连接若，，，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，把以点为中心逆时针旋转得到，点，的对应点分别是点，，且点在的延长线上，连接，则下列结论一定正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

12.  如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边，，用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：的长可以为；的长有两个不同的值满足菜园面积为；菜园面积的最大值为其中，正确结论的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  不透明袋子中装有个球，其中有个绿球、个红球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球，则它是绿球的概率为______ ．

14.  计算的结果为______ ．

15.  计算的结果为______ ．

16.  若直线向上平移个单位长度后经过点，则的值为______ ．

17.  如图，在边长为的正方形的外侧，作等腰三角形，．
的面积为______ ；
若为的中点，连接并延长，与相交于点，则的长为______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点，均在格点上．
线段的长为______ ；
若点在圆上，与相交于点，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使为等边三角形，并简要说明点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组，请结合题意填空，完成本题的解答．

解不等式，得______ ；
解不等式，得______ ；
把不等式和的解集在数轴上表示出来；
原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
为培养青少年的劳动意识，某校开展了剪纸、编织、烘焙等丰富多彩的活动，该校为了解参加活动的学生的年龄情况，随机调查了名参加活动的学生的年龄单位：岁根据统计的结果，绘制出如图的统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：
填空：的值为______ ，图中的值为______ ；
求统计的这组学生年龄数据的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
在中，半径垂直于弦，垂足为，，为弦所对的优弧上一点．
如图，求和的大小；
如图，与相交于点，，过点作的切线，与的延长线相交于点，若，求的长．

 

22.  本小题分
综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点，，在同一条水平直线上某学习小组在观景台处测得塔顶部的仰角为，在观景台处测得塔顶部的仰角为．
求的长；
设塔的高度为单位：；
用含有的式子表示线段的长结果保留根号；
求塔的高度取，取，结果取整数．

23.  本小题分
已知学生宿舍、文具店、体育场依次在同一条直线上，文具店离宿舍，体育场离宿舍，张强从宿舍出发，先用了匀速跑步去体育场，在体育场锻炼了，之后匀速步行了到文具店买笔，在文具店停留后，用了匀速散步返回宿舍，下面图中表示时间，表示离宿舍的距离图象反映了这个过程中张强离宿舍的距离与时间之间的对应关系．

请根据相关信息，回答下列问题：
填表：

填空：张强从体育场到文具店的速度为______ ；
当时，请直接写出张强离宿舍的距离关于时间的函数解析式；
当张强离开体育场时，同宿舍的李明也从体育场出发匀速步行直接回宿舍，如果李明的速度为，那么他在回宿舍的途中遇到张强时离宿舍的距离是多少？直接写出结果即可

24.  本小题分
在平面直角坐标系中，为原点，菱形的顶点，，，矩形的顶点，，
填空：如图，点的坐标为______ ，点的坐标为______ ；
将矩形沿水平方向向右平移，得到矩形，点，，，的对应点分别为，，，，设，矩形与菱形重叠部分的面积为．
如图，当边与相交于点、边与相交于点，且矩形与菱形重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
当时，求的取值范围直接写出结果即可．

 

25.  本小题分
已知抛物线为常数，的顶点为，与轴相交于，两点点在点的左侧，与轴相交于点，抛物线上的点的横坐标为，且，过点作，垂足为．
若，．
求点和点的坐标；
当时，求点的坐标；
若点的坐标为，且，当时，求点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式
，
故选：．
根据有理数乘法法则计算即可．
本题考查有理数的乘法运算，其运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
，
即，
那么在和之间，
故选：．
一个正数越大，其算术平方根越大，据此即可求得答案．
本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

3.【答案】 

【解析】解：从正面看，一共有三列，从左到右小正方形的个数分别为、、．
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

4.【答案】 

【解析】解：、，选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
将一个数表示为的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

6.【答案】 

【解析】解：原式
，
故选：．
根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
本题考查二次根式的运算及特殊锐角的三角函数，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
 

7.【答案】 

【解析】解：



，
故选：．
由于是异分母的分式的加减，所以先通分，化为同分母的分式，然后进行加减即可．
本题主要考查了分式的加减，计算时首先判断分母是否相同，然后利用分式加减的法则计算即可．
 

8.【答案】 

【解析】解：将代入，得：，即：，
将代入，得：，即：，
将代入，得：，即：，
．
故选：．
分别将点，，的坐标代入反比例函数的解析式求出，，，然后再比较它们的大小即可得出答案．
此题主要考查了反比例函数的图象，解答此题的关键是理解函数图象上的点满足函数的解析式，满足函数解析式的点都在函数的图象上．
 

9.【答案】 

【解析】解：，是方程的两个根，
，，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系进行判断即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，应掌握：设，是一元二次方程的两个实数根，则，．
 

10.【答案】 

【解析】解：由题意得：是的垂直平分线，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选：．
根据线段垂直平分线的性质可得，，从而可得，再结合已知易得，从而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而在中，利用勾股定理进行计算，即可解答．
本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理，以及线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，设与的交点为，
把以点为中心逆时针旋转得到，
，，
又，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，由三角形内角和定理可得．
本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：设边长为，则边长为长为，
当时，，
解得，
的长不能超过，
，
故不正确；
菜园面积为，
，
整理得：，
解得或，
的长有两个不同的值满足菜园面积为，
故正确；
设矩形菜园的面积为，
根据题意得：，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故正确．
正确的有个，
故选：．
设边长为，则边长为长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断；根据矩形的面积解方程求出的值可以判断；设矩形菜园的面积为，
根据矩形的面积公式列出函数解析式，再根据函数的性质求函数的最值可以判断．
此题主要考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系准确地列出函数解析式和方程是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：袋子中共有个球，其中绿球有个，
从袋子中随机取出个球，它是绿球的概率是，
故答案为：．
找准两点：符合条件的情况数目；全部情况的总数；二者的比值就是其发生的概率．
本题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
 

14.【答案】 

【解析】解：，
故答案为：．
根据积的乘方与幂的乘方法则计算即可．
本题考查了积的乘方与幂的乘方法则，熟记：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘．
 

15.【答案】 

【解析】解：


，
故答案为：．
利用平方差公式进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：将直线向上平移个单位，得到直线，
把点代入，得．
故答案为：．
先根据平移规律求出直线向上平移个单位的直线解析式，再把点代入，即可求出的值．
本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键．
 

17.【答案】  

【解析】解：过作于，
，
，
，
的面积为；
故答案为：；
过作的垂线交于，于，于，
四边形是正方形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，，
为的中点，
，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
过作于，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到的面积为；过作的垂线交于，于，于，根据正方形的性质得到，推出四边形是矩形，得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
 

18.【答案】  取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与
的延长线相交于点，则点即为所求． 

【解析】解：．
故答案为：；

如图，点即为所求；

方法：取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求；
理由：可以证明，，
，
≌，
，，
，
是等边三角形．
故答案为：取，与网格线的交点，，连接并延长与网格线相交于点；连接与网格线相交于点，连接并延长与网格线相交于点，连接并延长与圆相交于点，连接并延长与的延长线相交于点，则点即为所求．
利用勾股定理求解即可．
本题考查作图复杂作图，等边三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构造全等三角形解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：解不等式，得；
解不等式，得；
把不等式和的解集在数轴上表示如图所示：

原不等式组的解集为；
故答案为：；
；
．
按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：；
，
．
故答案为：；；
平均数为；
岁的学生最多，
众数为；
一共调查了名学生，岁的有人，岁的人，
中位数为．
把各条形图对应的学生人数加起来为的值；根据百分比由依次减去各年龄对应的百分比可得的值；
利用加权平均数，众数，中位数定义得出结果即可．
此题主要是考查了统计的应用，能够熟练掌握条形图的运用，平均数，众数，中位数定义是解题的关键．
 

21.【答案】解：半径垂直于弦，
，
，
，
，
；
如图，连接，
半径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
切圆于，
，
，
，
． 

【解析】由垂径定理得到，因此，得到，由圆周角定理即可求出的度数；
由垂径定理，圆周角定理求出的度数，得到的度数，由三角形外角的性质求出的度数，由锐角的正切定义即可求出的长．
本题考查垂径定理，圆周角定理，切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解直角三角形，三角形外角的性质，关键是由圆周角定理，等腰三角形的性质求出，由三角形外的性质求出的度数，由锐角的正切定义即可求出的长．
 

22.【答案】解：由题意得：，
在中，，，
，
的长为；
由题意得：，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
线段的长为；
过点作，垂足为，

由题意得：，，
，
，
在中，，
，
，
解得：，
，
塔的高度约为． 

【解析】根据题意可得：，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答；
根据题意得：，在中，利用含度角的直角三角形的性质求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
过点作，垂足为，根据题意得：，，则，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
 

23.【答案】 

【解析】解：由图象可知，张强从宿舍到体育场的速度为，
当张强离开宿舍时，张强离宿舍的距离为；
当张强离开宿舍时，张强离宿舍的距离为；
当张强离开宿舍时，张强离宿舍的距离为；

故答案为：，；；
由图象知，张强从体育场到文具店的速度为，
故答案为：；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
张强从文具店到宿舍时的速度为，
当时，；
综上，关于的函数解析式为；
根据题意，当张强离开体育场时，张强到达文具店并停留了，
设李明从体育场出发分钟后与张强相遇，
则，
解得，
，
离宿舍的距离是．
根据函数的图象计算即可；
根据速度路程时间计算即可；
根据函数图象分段写出函数解析式即可；
设李明从体育场出发分钟后与张强相遇，结合题意列出方程，解方程即可．
本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义．
 

24.【答案】   

【解析】解：四边形是矩形，且，
，，
；
连接，，交于一点，如图所示：

四边形是菱形，且，，，
，，，，
，
，
故答案为，；
解：点，点，点，
矩形中，轴，轴，，，
矩形中，轴，轴，，，
由点，点，得，，
在中，，得，
在中，由，，得，
，同理，得，
，得矩形，
又，
，
当时，则矩形和菱形重叠部分为，
的取值范围是，
由及题意可知当时，矩形和姜形重叠部分的面积是增大的，当时，矩和菱形重叠部分的面积是减小的，
当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：

此时面积最大，最大值为；
当时，矩形和菱形重叠部分如图所示：

由可知、之间的水平距离为，则有点到的距离为，
由可知：，
矩形和菱形重叠部分为等边三角形，
该等边三角形的边长为，
此时面积最小，最小值为，
综上所述：当时，则．
根据矩形及菱形的性质可进行求解；
由题意易得，，然后可得，则有，进而根据割补法可进行求解面积；由及题意可知当时，矩形和菱形重叠部分的面积是增大的，当时，矩形和菱形重叠部分的面积是减小的，然后根据题意画出图形计算面积的最大值和最小值即可．
本题主要考查矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标，熟练掌握矩形、菱形的性质及三角函数、图形与坐标是解题的关键．
 

25.【答案】解：，，
抛物线的解析式为，
，
当时，，
解得，，
点在点的左侧，
．
答：点的坐标为，点的坐标为．
如图，过点作轴于点，于直线交于点，

，，
，
在中，，
在中，，
抛物线上的点的横坐标为，其中，
，，
，
，
，
在中，，
，
，
解得，舍去，
．
答：点的坐标为．
点在抛物线上，其中，
，
得，
抛物线的解析式为，
，其中．
顶点的坐标为，对称轴为直线：．
如图，过点作于点，

则，
，
，
，
，
即，
解得，舍去，
同，过点作轴于点，于直线交于点，
则点，点，点，
，
，
即，
解得舍去，
点的坐标为
答：点的坐标为 

【解析】利用配方法即可得到顶点的坐标，令，解方程即可得到的坐标．
过点作轴于点，于直线交于点，证得，表示出点、点的坐标，进而表示出，根据直角三角形的性质列出方程求解即可得到的坐标．
求出顶点的坐标和抛物线的对称轴，作辅助线，证明，根据，列方程求解即可．
本题考查了二次函数的综合应用，解题的关键是作辅助线，掌握直角三角形的性质．