湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析

www.ks5u.com2019-2020学年度第一学期武昌区高一年级期末教学检测

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答牽写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据集合的交集运算求解即可

【详解】由，，可得

故选：B

【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题

2.已知角的终边经过点，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角函数的基本定义求解即可

【详解】由三角函数定义

故选：B

【点睛】本题考查三角函数的基本定义，属于基础题

3.下列函数在上是增函数的是（   ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

在是减函数；

在是减函数；

C. 在是减函数；

D. 在是增函数.

故选D.

4.在2h内将某种药物注射进患者的血液中,在注射期间,血液中的药物含量呈线性增加;停止注射后,血液中的药物含量呈指数衰减,能反映血液中药物含量Q随时间变化的图象是(    ).

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题可得当时, 图象为直线段,当时,图形为单调递减的指数曲线判定即可.

【详解】解析:由题意,当时,图象为直线段,所以A错;药物含量不会是负值,所以D错;由于2h后即时,图象为指数型曲线,所以C错,B对.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了根据实际意义判断函数图象的问题,属于基础题.

5.函数的定义域为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据具体函数的定义域，先分别求每一个式子满足的定义域，再求交集即可

【详解】由题可知，函数定义域应满足，解得

故选：C

【点睛】本题考查具体函数的定义域的求法，属于基础题

6.若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

试题分析：，

且，故选D.

【考点】三角恒等变换

【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：

（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．

（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．

7.已知，，，则的大小关系为（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

分别判断出的范围，可得的大小关系.

【详解】，即；

，，

可得，

故选：D.

【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题.

8.在同一直角坐标系中，分别作函数，（，且）的图象如下：

其中，可能正确的个数（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】

分别讨论底数的范围，再结合函数图像平移法则进行判断即可

【详解】当时，为减函数，为增函数，函数图像由向右平移个单位，③符合；

当时， 为增函数，为减函数，函数图像由向右平移个单位，①符合；故符合题意的有两个

故选：B

【点睛】本题考查指数函数与对数函数图像的识别，函数图像的平移法则，属于基础题

9.已知函数，将的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的图象，则在上的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

先将化简，再由平移法则求出的表达式，结合图像特点进而求出在上的最小值即可

【详解】，向左平移个单位可得

，再向下平移2个单位可得

，当时，，当时，取到最小值，，

故选：C

【点睛】本题考查三角函数辅助角公式的应用，函数图像的平移法则，在给定区间求函数值域，属于中档题

10.已知，，则，之间的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

结合基本不等式和指数函数增减性即可求解

【详解】由可得，当且仅当时等号成立，

又为减函数，，所以，即，，

故选：A

【点睛】本题考查基本不等式的应用，由对数函数增减性判断函数值大小，属于基础题

11.设函数，已知在有且仅有5个零点.给出下述三个结论：

①在有且仅有2个零点；

②在单调递增；

③的取值范围是

其中，所有正确结论的编号是（    ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意画出大致图形，再结合零点所在区间进一步判断函数的增减区间及范围即可

【详解】

根据题意，画出大致图像，解释：，而函数周期为，，，说明函数的第一个最大值还存在，故如图所示

当时， ，我们不能确定第三个极小值点是否存在，故①错；

由于函数在有且仅有5个零点，故当时，对应的，解得；当时，对应的，解得，故，③对；

当，即，又因，，，故当时，函数单增，②对，

正确选项为：②③

故选：C

【点睛】本题考查三角函数图像与零点的关系，能否正确求解范围是解决本题关键，任何复杂图像，都应该结合基本图像进行理解，如本题中与基本图像的对比，属于难题

12.已知函数有两个零点和，若存在实数，使得，则实数的值可能是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

分析】

由函数有两零点，可判断的正负，进而确定对称轴的范围，再结合图像特征进一步确定与的关系，即可求解

【详解】是的一个零点，所以，

又，由可得，由可得，函数图像是开口向下的抛物线，对称轴为，则

画出大致图像，如图：

到对称轴的距离为，则，

又，，

综上所述，函数的另一个零点可能是

故选：C

【点睛】本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合的思想的应用，属于中档题

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知集合，，若，则实数的取值范围是_______.

【答案】

【解析】

【分析】

由可确定是的子集，再分为和两种情况进一步讨论即可

【详解】，可分为和两种情况讨论，

当时，，解得，

当时，应满足，解得

综上所述，

故答案为：

【点睛】本题考查根据集合的包含关系求解参数范围，属于基础题

14.函数的最大值为_________.

【答案】4

【解析】

【分析】

采用二倍角公式和诱导公式转化为关于的二次函数，再结合二次函数图像求解即可

【详解】，令

，则原函数等价于，对称轴为，画出大致图像，如图：

显然在时取到最大值，，所以函数最大值为4

故答案为：4

【点睛】本题考查诱导公式，二倍角公式的应用，二次函数型三角函数最值的求解，属于中档题

15.已知函数在上是增函数，则的最大值是______.

【答案】2

【解析】

【分析】

先求出函数增区间的通式，再根据包含关系求解即可

【详解】对应的增区间应满足

，解得，当

时， ，要使在上是增函数，则应满足，，解得，则的最大值是2

故答案为：2

【点睛】本题考查根据三角函数增减区间求解的取值范围，属于中档题

16.已知函数，若对任意，有恒成立，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

可先将采用代入法转化为常规表达式，采用分类讨论去绝对值的方式，来进一步探讨不等式是否成立，进一步确定参数的范围

【详解】可等价转化为对任意恒成立，

当时，不等式转化为对任意恒成立，显然无解；

当时，不等式转化为，即，显然当时不成立；

当时，，即对任意恒成立，经检验，恒成立；

当时，对任意恒成立

尚需进一步讨论，当时，不等式等价于，

即，，令，函数开口向下，则恒成立；

当时，，即

此时对应对称轴为，又，则在区间为减区间，即恒成立；

综上所述，当时，对任意，有恒成立

故答案为：

【点睛】本题考查了恒成立问题的基本解法，分类讨论的思想，二次函数的图像与性质，去绝对值和分类讨论是解决本题的关键，属于难题

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.给定函数，，.

（1）在同一坐标系中画出函数，的图象；

（2）对任意实数，用表示，中的较大者，记为.请分别用图象法和解析法表示函数.

【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析；

【解析】

【分析】

（1）结合一次函数和二次函数表达式画出图像即可；

（2）根据函数新定义找出每一段区间对应函数较大者，画出图像即可，同时可结合图像表示出分段函数

【详解】解：（1）在同一坐标系中画出函数，的图象，如图所示：

（2）由（1）中函数取值情况，结合函数的定义，可得函数的图象：

由，得，解得，或.

结合图像，得出函数的解析式为

【点睛】本题考查一次函数、二次函数图像的画法，函数新定义的理解，图像法和解析式法的应用，属于基础题

18.已知函数的最小正周期为.

（1）求的值；

（2）求在区间上最小值.

【答案】（1）（2）最小值为

【解析】

【分析】

（1）将化简可得，结合周期表达式可求得；

（2）由（1）得，结合求得的范围，再结合函数图像特点即可求得最小值；

【详解】解：（1），

因为，所以.

（2）由（1）知.

因为，所以.

当，即时，取得最小值.

所以的最小值为.

【点睛】本题考查三角函数解析式的化简求参数值，在定区间函数值域的求法，属于基础题

19.（1）求的值；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）结合切化弦的方法，三角函数的诱导公式及辅助角公式化简即可求解；

（2）采用正切和角公式可求得或，再将

转化为，上下同时除以即可求解

【详解】解：（1）

.

（2）因为，所以或.

因为

所以，分子分母同除以，得

将或分别代入上式，得.

【点睛】本题考查三角函数的化简求值，灵活运用切化弦，辅助角公式，和差角公式求解是解题的关键，属于中档题

20.已知函数

（1）求的定义域；

（2）求的最小值.

【答案】（1）（2）

【解析】

【分析】

（1）根据二次根式特点求解即可；

（2）由配方法可得，求得，再采用换元法，令，最终转化成关于的三角函数，结合函数图像特征即可求解

【详解】解：（1）由，解得.

所以函数的定义域为.

（2）因为，所以.

令，

则，.

因为，所以，

所以，

所以，

所以的最小值为.

【点睛】本题考查具体函数定义域的求法，三角换元法在具体函数中的应用，，函数值域的求法，属于中档题

21.已知函数为偶函数.

（1）求的值；

（2）若方程有解，求实数的范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）根据为偶函数，得到，整理化简后得到的值；（2）根据方程有解，整理化简后得到方程有解，令，得到，有解，根据函数与方程，得到的取值范围.

【详解】因为函数为偶函数，

所以

即

即

，此式在上恒成立，所以得.

（2）方程有解，

即有解

即有解

即有解

整理得有解

设

所以方程有解

即函数的图像和函数的图像有交点

函数的图像为开口向上，对称轴为的抛物线，

在上单调递增，值域为

所以的取值范围为

【点睛】本题考查根据函数为偶函数求参数的值，根据方程有解求参数的取值范围，函数与方程，换元法求函数值域，属于中档题.

22.用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数.

（1）（ⅰ）试解释与的实际意义；

（ⅱ）写出函数应该满足的条件和具有的性质；

（2）现有单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次.哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由.

【答案】（1）（ⅰ）详见解析（ⅱ）详见解析（2）答案不唯一，具体见解析

【解析】

【分析】

（1）（ⅰ）结合题意理解即可说出具体意义；

（ⅱ）可结合生活实际和函数表达式特征加以理解农药残留肯定越来越少，第二个特点是农药始终会有残留；

（2）需根据题意表示出一次清洗的农药残留量，和分两次清洗的农药残留量，通过作差法，再结合分类讨论思想，可进一步确定农药残留的多少

【详解】解：（1）（ⅰ），表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1.

，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的.

（ⅱ）函数在上单调递减，并且有.

（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用单位量的水清洗1次后，残留的农药量为，则.

如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，

然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为.

由于，所以，的符号由决定.

当时，.此时，把单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；

当时，.此时，两种清洗方法效果相同；

当时，.此时，用单位的水清洗一次，残留的农药量较少.

【点睛】本题考查函数模型在生活中的实际应用，作差法在比大小中的应用，分类讨论思想的具体应用，属于中档题