2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一（下）期末数学试卷
一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数是虚数单位），若复数与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数为　　
A． B． C． D．
2．（5分）运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法不正确的是　　
A．众数为7和9 B．平均数为7 C．中位数为7 D．方差为
3．（5分）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为　　
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2
5．（5分）已知，，，则，，的大小顺序为　　
A． B． C． D．
6．（5分）设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为　　
A． B． C．3 D．6
7．（5分）如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．
8．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则角的值为　　
A． B． C． D．
二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）设向量，满足，且，则下列结论正确的是　　
A．， B． C． D．
10．（5分）某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是　　
A．男生人数为80人
B．层次男女生人数差值最大
C．层次男生人数多于女生人数
D．层次女生人数最少
11．（5分）已知复数，复数，其中，，为实数，为虚数单位，定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为　　
A．
B．
C．若，则，
D．若，，且，则锐角的值为
12．（5分）如图，二面角的大小为，点，在二面角的棱上，过点，分别在平面和内作直线的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是　　

A．异面直线和的所成之角为
B．
C．点到平面与点到平面的距离之比为
D．异面直线和的之间距离是
三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知，是相互独立事件，且（A），，则　　．
14．（5分）如图，在四边形中，，分别是和的中点，若，其中，，则　　．

15．（5分）在中，边、的长度分别为5、12，现在，9，10，，15，这9个正整数中任选一个数作为边的长度，则为钝角三角形的概率为 　　．
16．（5分）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为 　　．
四、解答题。本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球．
（1）从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于4”的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率．
18．（12分）已知，为平面向量，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且向量与平行，求实数的值．
19．（12分）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
，
22
0.22
，
31
0.31
，

0.16
，
10
0.10
，


，
5
0.05
，
5
0.05
，
3
0.03
，
2
0.02
合计
100
1
（1）求表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱上的一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．

21．（12分）如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，．
（1）求角的大小；
（2）若，，，，求的长．

22．（12分）如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至△，使得平面平面，过点作一平面与垂直，分别交，于点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．


2021-2022学年江苏省常州市金坛区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知复数是虚数单位），若复数与在复平面上对应的点关于原点对称，则复数为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
又复数与在复平面上对应的点关于原点对称，
复数为．
故选：．
2．（5分）运动员甲10次射击成绩（单位：环）如下：7，8，9，7，4，8，9，9，7，2，则下列关于这组数据说法不正确的是　　
A．众数为7和9 B．平均数为7 C．中位数为7 D．方差为
【解答】解：由题意，这组数据中7和9都出现3次，其余数出现次数没超过3次，故众数为7和9，正确；
计算平均数为，故正确；
将10次射击成绩从小到大排列为：2，4，7，7，7，8，8，9，9，9，则中位数为，故错误；
方差为，故正确，
故选：．
3．（5分）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是　　
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
【解答】解：，，则或，错误；
，，则或，错误；
，，则，相交或平行，错误；
，，则，又，故，正确．
故选：．
4．（5分）甲、乙两人独立地解决某个数学难题，甲解决出该难题的概率为0.4，乙解决出该难题的概率为0.5，则该难题被解决出的概率为　　
A．0.9 B．0.8 C．0.7 D．0.2
【解答】解：该难题没被解出的概率为，
所以该难题被解决出的概率为．
故选：．
5．（5分）已知，，，则，，的大小顺序为　　
A． B． C． D．
【解答】解：，
，
，
函数在上单调递减，，
，即，
故选：．
6．（5分）设平面向量，满足，，，则在上投影向量的模为　　
A． B． C．3 D．6
【解答】解：因为，，
所以，又，
所以在上投影向量的模为，．
故选：．
7．（5分）如图，一个底面半径为的圆锥，其内部有一个底面半径为的内接圆柱，且此内接圆柱的体积为，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．
【解答】解：作出该几何体的轴截面如图示：为圆锥的高，

设内接圆柱的高为，而，，
因为内接圆柱的体积为，即，则，
由于，故，则，
即，故，
所以圆锥体积为，
故选：．

8．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则角的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：中，，
，
，即，
即，即，
，，
故选：．
二、选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（5分）设向量，满足，且，则下列结论正确的是　　
A．， B． C． D．
【解答】解：，
，又，
，
，
对选项，，又，
，选项错误；
对选项，，
选项错误；
对选项，，
选项正确；
对选项，，
选项正确．
故选：．
10．（5分）某教育局对全区高一年级的学生身高进行抽样调查，随机抽取了200名学生，他们的身高都处在，，，，五个层次内，根据抽样结果得到统计图表如下，则下列结论正确的是　　
A．男生人数为80人
B．层次男女生人数差值最大
C．层次男生人数多于女生人数
D．层次女生人数最少
【解答】解：对于：抽取的女生人数有人，所以抽取男生有人，故正确，
对于层次男生人数为人，层次男生人数为人，层次男生人数为人，层次男生人数为人，层次男生人数为人，
所以层次男女生人数差值为10，层次男女生人数差值为24，层次男女生人数差值为10，层次男女生人数差值为2，层次男女生人数差值为6，
所以层次男女生人数差值最大，故正确，
对于层次男生人数为16人，女生人数为18人，故错误，
对于：由女生身高情况直方图可知，层次女生人数最少，故正确，
故选：．
11．（5分）已知复数，复数，其中，，为实数，为虚数单位，定义：复数为“目标复数”，其中和分别为“目标复数”的实部和虚部，则下列结论正确的为　　
A．
B．
C．若，则，
D．若，，且，则锐角的值为
【解答】解：由题意知
，
，，故正确，错误；
若，即，
则，，故正确；
若，，且，即，
，
是锐角，，故正确．
故选：．
12．（5分）如图，二面角的大小为，点，在二面角的棱上，过点，分别在平面和内作直线的垂线段和，且，，，则下列结论正确的是　　

A．异面直线和的所成之角为
B．
C．点到平面与点到平面的距离之比为
D．异面直线和的之间距离是
【解答】解：对，因为线线角的范围为，，故错误；
对，过作矩形如图，则，故，且平面，
由余弦定理，，解得，
又，故，故，故，故正确；

对，由题意，，，故点到平面与点到平面的距离之比为，故正确；
对，同中图，因为，故平面，
又平面，故异面直线和的之间距离即到平面的距离，
因为为二面角，故到平面的距离即到平面的距离设为，
则根据三角形的面积公式有，故，解得，故正确；
故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知，是相互独立事件，且（A），，则　0.12　．
【解答】解：（B），（B），
，是相互独立事件，
（A）（B），
故答案为：0.12．
14．（5分）如图，在四边形中，，分别是和的中点，若，其中，，则　　．

【解答】解：，，
又因为，分别为，中点，
所以，，
所以

，
所以，
又因为，
所以，，
所以．
故答案为：．
15．（5分）在中，边、的长度分别为5、12，现在，9，10，，15，这9个正整数中任选一个数作为边的长度，则为钝角三角形的概率为 　　．
【解答】解：由题意可知：，从，9，10，，15，这9个正整数中任选一个数作为边的长度，故有9种可能，
要使为钝角三角形，需满足：或，
即或，
故的取值可能是：8，9，10或14，15，16，共6种可能，
故为钝角三角形的概率为．
故答案为：．
16．（5分）已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，且满足，，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的表面积为 　　．
【解答】解：如图所示：

由题意知是等腰直角三角形，故为截面圆的直径，
则外接球的球心在截面上的射影为的中点，
当，，三点共线，且，位于截面的同一侧时，棱锥体积最大，
此时棱锥的高为，且高此时最大，
故，即得，
设外接球半径为，则，，
在中，，故，
解得，所以外接球的表面积为，
故答案为：．
四、解答题。本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小和质地完全相同的小球．
（1）从盒中任取两球，求“取出的两球编号之和大于4”的概率；
（2）从盒中任取一球，记下该球的编号，将球放回，再从盒中任取一球，记下该球的编号，求事件“”发生的概率．
【解答】解：（1）从盒中任取两球的所有等可能基本事件有：，，，，，，共6个，
记取出的两球编号之和大于4的事件为，
则事件包含，，，，共4个等可能基本事件，
所以，
答：从盒中任取两球，取出的两球编号之和大于4的概率为；
（2）有放回地连续抽取两球的所有等可能基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，共16个，
记的事件为，
则事件包含，，，，，，，，，，，，，共14个等可能基本事件，
所以（B）．
答：事件“”发生的概率为．
18．（12分）已知，为平面向量，且．
（1）若，且，求向量的坐标；
（2）若，且向量与平行，求实数的值．
【解答】解：（1），为平面向量，且．
设，，①，
又，，即②，
由①②联立得，解得或，
则所求向量的坐标为和．
（2），，
，，
又向量与平行，，
解得．
19．（12分）某城市缺水问题比较严重，市政府计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价，为了解家庭用水量的情况，相关部分在某区随机调查了100户居民的月平均用水量（单位：，得到如下频率分布表：
分组
频数
频率
，
22
0.22
，
31
0.31
，

0.16
，
10
0.10
，


，
5
0.05
，
5
0.05
，
3
0.03
，
2
0.02
合计
100
1
（1）求表中，，的值；
（2）试估计该区居民的月平均用水量；
（3）从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户调查，求2户居民来自不同分组的概率．
【解答】解：（1）由图表可知，，区间内，居民用水量的频率为0.16，
．
则，
频率．
（2）．
（3）由表中数据可得，月平均用水量在，有3户，设为，，，
月平均用水量在，有2户，设为，，
从上表月平均用水量不少于的5户居民中随机抽取2户的基本事件共10个：
分别为，，，，，，，，，，
其中来自不同分组的可能事件共6个：分别为，，，，，，
记事件户居民来自不同分组，
则（A）．
20．（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，点为棱上的一点，且．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角．

【解答】（1）证明：连结交于点，连结，

因为在底面中，，
所以，又，
则在中，，
故，
又因为平面，平面，
所以平面；
（2）解：过点作直线的垂线交的延长线于点，连结，
因为平面，又，平面，
所以，，
又因为，且，，平面，
所以平面，则即为直线与平面所成角，
又因为平面，所以，
又在直角三角形中，，
又在直角三角形中，，
又在直角三角形中，，
又因为，所以，
即所求直线与平面所成角为．

21．（12分）如图，是平面四边形的一条对角线，且在中，．
（1）求角的大小；
（2）若，，，，求的长．

【解答】解：（1）因为在中，
，
所以，①
即在中，由余弦定理得，
，②
则由①②两式得，，
又因为在中，，所以．
（2）在中，设，，则由正弦定理得，
即①，
又在中，，，
则由正弦定理得，
即②，
则由①②两式得，，即，
展开并整理得，也即，
，
又因为在中，，所以，
把代入①式得，．
22．（12分）如图①，在梯形中，，，，，，如图②，将沿边翻折至△，使得平面平面，过点作一平面与垂直，分别交，于点，．
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离．

【解答】（1）证明：如图②，因为平面，且平面，
所以，
图②

又因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面，
又因为平面，所以，
又因为，且，平面，
所以平面，
（2）由（1）知平面，平面，所以，
在直角三角形中，，
由等面积代换得，，
即，
又因为平面平面，平面平面，
且平面，，所以平面
又因为平面，所以
在直角三角形中，，
由等面积代换得，，
即，
又在直角三角形中，，
设点到平面的距离为，
在三棱锥中，由等体积代换得，，
即，
也即，
即所求点到平面的距离为．

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