2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）已知为虚数单位，若复数满足，则的虚部为　　

A． B． C．1 D．

2．（5分）采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为　　

A． B． C． D．

3．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）阿基米德，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为　　

A． B． C． D．

5．（5分）甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为，则密码被破译的概率为　　

A． B． C． D．

6．（5分）下列命题中正确的是　　

A．过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行 

B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 

C．过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面垂直 

D．过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面

7．（5分）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知，且，则　　

A． B． C． D．

二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。

9．（5分）某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数　　

A．众数为2和3 B．标准差为 

C．平均数为3 D．第85百分位数为4.5

10．（5分）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是　　

A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 

C．事件与事件相互独立 D．（A）（B）

11．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”．据此公式，下列说法正确的是　　

A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 

B． 

C． 

D．

12．（5分）如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是　　

A．直线平面 

B．直线不可能与平面垂直 

C．直线与所成角为定值 

D．三棱锥的体积为定值

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。（第16题第一空2分，第二空3分）

13．（5分）用分层抽样的方法从某高中学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 　　人．

14．（5分）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为 　   　．

15．（5分）在中，，，，点在边上，且，则的值为 　　．

16．（5分）已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为上，且，则　　；的最大值为 　　．

四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，．

（1）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离；

（2）若复数满足，求．

18．（12分）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

19．（12分）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，，，，，，，，．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；

（Ⅲ）从评分在，的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

20．（12分）已知向量，．

（1）当时，求的值；

（2）设函数，当，时，求的值域．

21．（12分）刍甍是几何体中的一种特殊的五面体．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形．

（1）求证：；

（2）若已知．

①求二面角的余弦值；

②求该五面体的体积．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，是边上一点．

（1）求的值；

（2）若．

①求证：平分；

②求面积的最大值及此时的长．

2021-2022学年江苏省常州市溧阳市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题。本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1．（5分）已知为虚数单位，若复数满足，则的虚部为　　

A． B． C．1 D．

【解答】解：，

，

的虚部为1．

故选：．

2．（5分）采用简单随机抽样的方法，从含有6个个体的总体中抽取1个容量为2的样本，则某个个体被抽到的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意事件“抽取一个容量为2的样本，某个被抽到”包含了5个基本事件，而总的基本事件数是

事件“某个个体被抽到的”概率是

故选：．

3．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由正弦定理知，

，，，

，

，

设，，，

，

，

．

故选：．

4．（5分）阿基米德，公元前287年一公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家．他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为，则圆柱的表面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设球的半径为，由题意，所以，

所以可得圆柱的底面半径为，高为，

所以圆柱的表面积，

故选：．

5．（5分）甲、乙、丙3人独立地破译某个密码，每人译出密码的概率均为，则密码被破译的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：密码被破译的概率为．

故选：．

6．（5分）下列命题中正确的是　　

A．过直线外一点有且只有一个平面与这条直线平行 

B．过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 

C．过已知平面外一点，有且只有一个平面与已知平面垂直 

D．过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平行的平面

【解答】解：对于，如图在正方体中，过直线外一点有两个平面，平面，平面都与直线平行，故错误；

对于，由于垂直同一条直线的两个平面平行，故过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，故正确：

对于，如图在正方体中，过平面外一点有两个平面，平面，平面都与平面垂直，故错误；

对于，当直线与平面相交时，过该直线，不能作出与已知平面平行的平面，故错误．

故选：．

7．（5分）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设与的夹角为，因为，且，

所以，即，所以，

所以，

，

所以，

又，，所以．

故选：．

8．（5分）已知，且，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

整理得：；

根据选项得：，

所以．

故选：．

二、多项选择题。本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。

9．（5分）某位同学连续抛掷质地均匀的骰子10次，向上的点数分别为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，则这10个数　　

A．众数为2和3 B．标准差为 

C．平均数为3 D．第85百分位数为4.5

【解答】解：众数为2和3，正确，

平均数为，正确，

标准差，错误，

这组数按照从小到大排为1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，

又，且8.5非整数，第85百分位数为第九个数5，错误．

故选：．

10．（5分）一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数字张卡片上标1个数），“从中任抽取1张卡片，结果卡片号或为1或为4或为7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号小于7”记为事件，“从中任抽取1张卡片，结果卡片号大于7”记为事件．下列说法正确的是　　

A．事件与事件互斥 B．事件与事件对立 

C．事件与事件相互独立 D．（A）（B）

【解答】解：样本空间为，2，3，4，5，6，7，8，，，4，，，2，3，4，5，，，，

因为，所以事件与事件互斥，故正确；

因为，2，3，4，5，6，8，，，2，3，4，5，6，8，，所以事件与事件不对立，故错误；

，（A），（B），（A）（B），即事件与事件相互独立，故正确；

因为，，所以事件与事件不互斥，故错误；

故选：．

11．（5分）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数与三角函数的关系，并给出公式为虚数单位，为自然对数的底数），这个公式被誉为“数学中的天桥”．据此公式，下列说法正确的是　　

A．表示的复数在复平面中对应的点位于第一象限 

B． 

C． 

D．

【解答】解：对于，

因为，所以，，

所以表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限，故错误；

对于，故正确；

对于，故正确；

对于：因为，，

所以，所以，选项正确．

故选：．

12．（5分）如图，在正方体中，点是棱的中点，点是线段上的一个动点，则以下叙述中正确的是　　

A．直线平面 

B．直线不可能与平面垂直 

C．直线与所成角为定值 

D．三棱锥的体积为定值

【解答】解：对选项，如图，易证，，且，

，平面，，平面，

平面平面，又平面，

直线平面，选项正确；

对选项，当点为中点时，满足直线平面，

证明如下：如图，连接，又为的中点，

，

又，底面，底面，

，且，

平面，又平面，

，同理可证，又，

平面，又，

平面，选项错误；

对选项，由选项的证明同理可证平面，又平面，

，直线与所成角为定值，选项正确；

对选项，如图，，

又△的面积等于矩形面积的一半为定值，

易证平面，到平面的距离也为定值，

三棱锥的体积为定值，选项正确．

故选：．

三、填空题。本题共4小题，每小题5分，共20分。（第16题第一空2分，第二空3分）

13．（5分）用分层抽样的方法从某高中学生中抽取1个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人．已知该校高二年级共有学生300人，则该校学生总数为 　900　人．

【解答】解：用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为45的样本，其中高一年级抽20人，高三年级抽10人，

高二年级要抽取人，

该校高二年级共有学生300人，

每个个体被抽到的概率是，

该校学生总数是，

即该校学生总数为900人．

故答案为：900．

14．（5分）某数学课外兴趣小组对一圆锥筒进行研究，发现将该圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内首次转回到原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周．如图，若该兴趣小组已测得圆锥的底面半径为5，则该圆锥的体积为 　　．

【解答】解：设圆锥的母线长为l，则圆锥绕顶点S滚动所形成的圆的半径为l，周长为2πl，

又圆锥底面半径为5，则底面周长为2π×5，

故2πl＝3×2π×5，解得l＝15，

所以圆锥的高为，

所以圆锥的体积为，

故答案为：

15．（5分）在中，，，，点在边上，且，则的值为 　　．

【解答】解：在中，，，，

由余弦定理，所以，

因为，则

所以，

由正弦定理，所以，

由余弦定理，

即，解得或，

又，，所以，则，

在中，由正弦定理，即，

所以，又，所以，

所以的值为．

故答案为：．

16．（5分）已知点，，均位于单位圆（圆心为，半径为上，且，则　　；的最大值为 　　．

【解答】解：如图在单位圆中，设，又，，

由余弦定理可得，

，由三角函数定义得，，即，，

设点为，，

，，，

，

，，

的最大值为，

故答案为：；．

四、解答题。本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知复数，．

（1）在复平面内，设复数，对应的点分别为，，求点，之间的距离；

（2）若复数满足，求．

【解答】解：（1）因为，

所以．

（2）因为，，

所以，

所以，

所以．

18．（12分）如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面平面．

【解答】证明：如图所示：（1），分别为棱，的中点，

，

，，

所以面；

（2），点为棱的中点，

，又平面平面，

平面平面，，面，又，

平面平面．

19．（12分）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间，，，，，，，，．

（Ⅰ）求频率分布直方图中的值；

（Ⅱ）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；

（Ⅲ）从评分在，的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在，的概率．

【解答】解：（Ⅰ）因为，

所以．

（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访学生评分不低于70的频率为，

所以该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率的估计值为0.68．

（Ⅲ）受访学生评分在，的有（人，即为，，；

受访学生评分在，的有：（人，即为，．

从这5名受访学生中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是：

，，，，，，，，，，

，，，，，，，，，．

又因为所抽取2人的评分都在，的结果有3种，即，，，，，，

故所求的概率为．

20．（12分）已知向量，．

（1）当时，求的值；

（2）设函数，当，时，求的值域．

【解答】解：（1）即有，即，

；

（2）

，

当，时，，，

即，

则，

则的值域为．

21．（12分）刍甍是几何体中的一种特殊的五面体．中国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．求积术日：倍下表，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶”现有一个刍甍如图所示，四边形为长方形，平面，和是全等的等边三角形．

（1）求证：；

（2）若已知．

①求二面角的余弦值；

②求该五面体的体积．

【解答】解：（1）证明：五面体中，

因为平面，平面，平面平面，

所以；

（2）过点作，作，垂足分别为，，

过点作，作，垂足分别为，，

连结，，如图，

①由（1）及四边形为长方形知，，

所以，，

所以即为二面角的平面角，

因为，且和是全等的等边三角形，

所以，，

因此，在中，，，

由余弦定理，得，

故二面角的余弦值为；

②取中点，连结，由知，，

因为，，且，是平面内两相交直线，所以平面，

因为平面，所以，

又，是平面内两相交直线，所以平面，

在中，，，可得，

所以四棱锥和的体积均为，

三棱锥的体积，

所以该五面体的体积为．

22．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，是边上一点．

（1）求的值；

（2）若．

①求证：平分；

②求面积的最大值及此时的长．

【解答】解：（1）因为，，

所以，

所以的值为3；

（2）①证明：因为，所以，

由知，，，

设，，，

在中，由正弦定理得，，

即，所以，

在中，由正弦定理得，，

即，所以，

所以，即，所以平分，

②在中，因为，，

由余弦定理得，，

而的面积；

由得，

所以，

所以当即时，面积最大为3，

此时在中，，，，

所以由余弦定理求得，

，

在中，由余弦定理得，

所以此时．

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