2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷

2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则　　

A．1 B．5 C．7 D．25

2．（5分）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件 “点数之和为7”，事件 “点数之和为3的倍数”，则　　

A．为不可能事件 B．与为互斥事件 

C．为必然事件 D．与为对立事件

3．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知数据，，，的平均数为3，方差为1，那么数据，，，的平均数和方差分别为　　

A．3，1 B．9，3 C．10，9 D．10，10

5．（5分）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是　　

A．若，，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，则

6．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，，若，则的值为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9．（5分）设向量，满足，则　　

A．与的夹角为 B． 

C． D．

10．（5分）如图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是　　

A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 

B．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 

C．该市14天空气质量指数的30百分位数为55 

D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大

11．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是　　

A．若，则 

B．若，，，则该三角形有两解 

C．若，则一定为等腰三角形 

D．若，则一定为钝角三角形

12．（5分）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是　　

A．直线与直线夹角为 

B．平面截正方体所得截面为等腰梯形 

C．若，则动点的轨迹长度为 

D．若平面，则动点的轨迹长度为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在中，若，，则　　．

14．（5分）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为 　　．

15．（3分）已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为 　　；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为 　　．

16．（5分）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，已知在三棱锥中，，点，分别为棱，的中点，且平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

18．（12分）已知，，其中．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长．

20．（12分）2022年3月28日是第三十届“世界水日”，我国将3月日确定为“中国水周”，并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主题．某地区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度100户居民的月均用水量（单位：吨），并将数据以组距2分成9组：，，，，，，，，，，，，，，，，，，制成了频率分布直方图如图所示．

（1）求的值；

（2）设该地区有居民10万户，估计该地区居民中月均用水量不低于12吨的户数，并说明理由；

（3）为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为，和，的两组中，用分层抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求抽取的这2户居民来自不同组的概率．

21．（12分）如图，经过城市有两条夹角为的公路，，实行垃圾分类政策后，政府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站，并分别在两条公路边上建造两个垃圾中转站，（异于城市，为方便运输，要求（单位：．设．

（1）当时，求垃圾处理站与城市之间的距离；

（2）当为何值时，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远？

22．（12分）如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点．

（1）当为线段中点时，求点到平面的距离；

（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．

2021-2022学年江苏省徐州市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．

1．（5分）已知复数满足，其中为虚数单位，则　　

A．1 B．5 C．7 D．25

【解答】解：，

，

．

故选：．

2．（5分）同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件 “点数之和为7”，事件 “点数之和为3的倍数”，则　　

A．为不可能事件 B．与为互斥事件 

C．为必然事件 D．与为对立事件

【解答】解：同时抛掷两颗骰子，有36个结果，

事件 “点数之和为7”，包括：，，，，，，

事件 “点数之和为3的倍数”，包括：，，，，，，，

故为“点数之和为7或3的倍数”，不是不可能事件，故错误，

与为互斥事件，故正确，

为不可能事件，故错误，

事件，不能包含全部基本事件，即与不是对立事件，故错误．

故选：．

3．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题可知，．

故选：．

4．（5分）已知数据，，，的平均数为3，方差为1，那么数据，，，的平均数和方差分别为　　

A．3，1 B．9，3 C．10，9 D．10，10

【解答】解：因为数据，，，的平均数为3，方差为1，所以，．

新数据定义为．

则．

．

故选：．

5．（5分）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题中正确的是　　

A．若，，，则 B．若，，，则 

C．若，，，则 D．若，，则

【解答】解：对于，若，，，则与平行或异面，故错误．

对于，若，，，则与相交、平行或异面，故错误；

对于，若，，，则，故正确；

对于，若，，则也可能相交，故不正确．

故选：．

6．（5分）端午节是我国传统节日，甲，乙，丙3人端午节来徐州旅游的概率分别是：，，，假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得3人中没有人来徐州旅游的概率．

所以这段时间内至少有1人来徐州旅游的概率为：．

故选：．

7．（5分）在中，，若，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，，

，，

，

故选：．

8．（5分）已知正四棱锥的侧棱长为3，其顶点均在同一个球面上，若球的体积为，则该正四棱锥的体积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设正四棱锥的底面边长为，高为，

因为球的体积为，所以，解得：，

如图示：在正四棱锥中，，则面，

因为，侧棱，所以外接球的球心在的延长线上，

由题意可得：

，即，解得：，

所以该正四棱锥的体积为：．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．

9．（5分）设向量，满足，则　　

A．与的夹角为 B． 

C． D．

【解答】解：由向量，满足，

则，

则，，即选项错误，选项、正确；

又，即选项正确，

故选：．

10．（5分）如图是某市6月1日至14日的空气质量指数变化趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法正确的是　　

A．该市14天空气质量指数的平均值大于100 

B．该市14天空气质量指数的中位数为78.5 

C．该市14天空气质量指数的30百分位数为55 

D．计算连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的方差最大

【解答】解：由表中数据可得，，

则该市14天空气质量指数的平均值小于100，故错误，

将14天的空气质量指数由小到大排列为：

33，38，52，53，55，65，76，81，102，102，116，122，158，163，

则该市14天空气质量指数的中位数为：，故正确，

，

则该市14天空气质量指数的30百分位数为55，故正确，

对于，由图象可知，连续3天空气质量指数的方差，其中6日到8日的波动最大，即方差最大，故正确．

故选：．

11．（5分）已知内角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的是　　

A．若，则 

B．若，，，则该三角形有两解 

C．若，则一定为等腰三角形 

D．若，则一定为钝角三角形

【解答】解：中，在三角形中，由大边对大角，因为，所以，再由正弦定理可得，所以正确；

中，若，，，因为，且，可得该三角形有一个解，故不正确；

中，，由正弦定理可得，可得，

所以或，所以可得或，即可得三角形为等腰三角形或直角三角形，故不正确；

中，，由正弦定理，可得，所以为钝角，所以正确；

故选：．

12．（5分）在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，点是正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的是　　

A．直线与直线夹角为 

B．平面截正方体所得截面为等腰梯形 

C．若，则动点的轨迹长度为 

D．若平面，则动点的轨迹长度为

【解答】解：对，连接，，，，可得正△，根据正方体的性质，，

故直线与直线夹角为直线与直线的夹角为，故正确；

对，根据面面平行的性质可得平面截的交线，

故平面截的交点为的中点，故，

故截面为等腰梯形，故正确；

对，若，则，

故动点的轨迹为以为圆心的四分之一圆弧上，其长度为，故错误；

对，取中点，连接如图，

由，截面为等腰梯形，易得，，

故平面平面，故的轨迹为线段，其长度为，故正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）在中，若，，则　　．

【解答】解：由正弦定理可得：，

，，，

则．

故答案为：．

14．（5分）已知复数，其中为虚数单位，若，在复平面上对应的点分别为，，为坐标原点，则线段长度为 　　．

【解答】解：，，

，在复平面上对应的点分别为，，

，，

．

故答案为：．

15．（3分）已知正方形边长为2，点为边的中点，将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的体积为 　　；将四边形绕直线旋转一周，所得几何体的表面积为 　　．

【解答】解：如图，

将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为圆台，

其体积；

将四边形绕直线旋转一周，所得几何体为圆柱内部挖去一个圆锥，

其表面积．

故答案为：；．

16．（5分）在中，若，点为边的中点，，则的最小值为 　　．

【解答】解：，

设中角，，所对的边分别为，，，则，

，

，则，

，当且仅当时等号成立，

，即的最小值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）如图，已知在三棱锥中，，点，分别为棱，的中点，且平面平面．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

【解答】证明：（1）因为点，分别为棱，的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因为，点为棱的中点，所以，

因为平面平面，所以平面，

又平面，所以．

18．（12分）已知，，其中．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）知：，因为，

则，

故．

（2）由

由，知：，

由题意，得，结合（1）有，

．

19．（12分）已知内角，，所对的边分别为，，，设向量，，且．

（1）求角；

（2）若，的面积为，求的周长．

【解答】解：（1）由向量平行的坐标公式可得，

由正弦定理可得，

即，故，

因为，故．

（2）由三角形面积公式，，

故，故为等腰三角形，

故，又，故，

所以的周长为．

20．（12分）2022年3月28日是第三十届“世界水日”，我国将3月日确定为“中国水周”，并将“推进地下水超采综合治理，复苏河湖生态环境”作为相关宣传活动的主题．某地区为了制定更加合理的节水方案，通过随机抽样，调查了上一年度100户居民的月均用水量（单位：吨），并将数据以组距2分成9组：，，，，，，，，，，，，，，，，，，制成了频率分布直方图如图所示．

（1）求的值；

（2）设该地区有居民10万户，估计该地区居民中月均用水量不低于12吨的户数，并说明理由；

（3）为了进一步了解居民的节水、用水情况，在月均用水量为，和，的两组中，用分层抽样的方法抽取6户居民，再从这6户居民中随机抽取2户进行问卷调查，求抽取的这2户居民来自不同组的概率．

【解答】解：（1）由图可知：解得：；

（2）不低于12吨的用户的频率为：，将此频率作为概率，则估计10万用户中不低于12吨的用户数；

（3），的频率为，有（人，，的频率为，有（人，共48人，

根据分层抽样的原则，在，组抽取（人，记为，，在，组抽取（人，记为，，，，

样本空间包含的样本点为，，，，，，，，，，，，，，，共15个，

设“抽取的这2户居民来自不同组”为事件，则事件包含的样本点为，，，，，，，，共8个，

所以（C），即抽取的这2户居民来自不同组的概率为．

21．（12分）如图，经过城市有两条夹角为的公路，，实行垃圾分类政策后，政府决定在两条公路之间的区域内建造一座垃圾处理站，并分别在两条公路边上建造两个垃圾中转站，（异于城市，为方便运输，要求（单位：．设．

（1）当时，求垃圾处理站与城市之间的距离；

（2）当为何值时，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远？

【解答】解：（1）因为，且，

故，故，

故；

（2）设，由题意，

由正弦定理，，所以，

由余弦定理可得：

，

又由（1）可得，所以，

当且仅当，即时，取得最大值，能使得垃圾处理站与城市之间的距离最远，

此时．

22．（12分）如图，在直三棱柱中，，且，点为线段上的动点．

（1）当为线段中点时，求点到平面的距离；

（2）当直线与平面所成角的正切值为时，求二面角的余弦值．

【解答】解：（1）因为为中点，故，

设中点为，连接，则，故平面，故，

所以，故，

又，，

故，故，

设点到平面的距离为，则，

即，解得，即点到平面的距离为；

（2）由题意，，，，，平面，故平面，

所以直线与平面所成角即为，

故，解得，

作，，连接如图，则平面，

又平面，故，

又，，平面，故平面，故为二面角的平面角，

又，，故，故，

即二面角的余弦值为．

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