2021-2022学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷，共20页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）正的边长为1，则　　A． B． C． D．2．（5分）下列区间中，函数单调递减的是　　A． B． C． D．3．（5分）已知，为异面直线，，，，则直线一定　　A．同时和直线，相交 B．至少与直线，中的一条相交 C．至多与直线，中的一条相交 D．与直线，中一条相交，一条平行4．（5分）已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法中，正确的个数是　　（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则；（4）若，，，则．A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）某人向东偏北方向走50步，记为向量；向北偏西方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为　　A． B． C． D．6．（5分）已知，两地的距离为，，两地的距离为，且测得点对点和点的张角为，则点到的距离为　　．A． B． C． D．7．（5分）计算：　　A．1 B．2 C．3 D．48．（5分）斜三棱柱中，侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为　　A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．（5分）高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线　　A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行10．（5分）在下列对的描述中，能判定是直角三角形的是　　A． B． C．，， D．为正方形的某个截面11．（5分）　　A． B． C． D．12．（5分）棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为，两相邻侧面所成的二面角大小为，不相邻两侧面所成的二面角大小为，则　　A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）　　．14．（5分）写出一个定义域为，周期为的偶函数　　．15．（5分）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为的球面上，则该四面体的体积为 　　．16．（5分）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点到的距离为 　　；异面直线与所成角的余弦值为 　　．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知平面直角坐标系中，向量，．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若与的夹角为 ____，求实数的取值范围．请在①锐角；②钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答．18．（12分）已知，．（1）求的值；（2）若，且，求角．19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，．（1）求证：；（2）若侧面为矩形，，．①求证：平面平面；②求直线与平面所成角的正切值．20．（12分）用“五点法”作函数，，的图像．（1）列出下表，根据表中信息．013790200①请求出，，的值；②请写出表格中，，对应的值；③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数一个周期内的图像；（2）当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为，，，，，其中，点分别是图像．上的最高点与最低点，当为直角三角形，求的值．21．（12分）某景区的平面示意图为如图的五边形，其中，为景区内的乘车观光游览路线，，，，，是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：，，，，，且．（1）求的长度；（2）景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．22．（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．（1）求证：平面；（2）二面角的平面角为，若．①求与底面所成角的大小；②求点到平面的距离．
2021-2022学年江苏省镇江市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．（5分）正的边长为1，则　　A． B． C． D．【解答】解：因为正的边长为1，故，则．故选：．2．（5分）下列区间中，函数单调递减的是　　A． B． C． D．【解答】解：在区间上，，，函数单调递增，故排除；在区间，上，，，函数不单调，故排除；在区间上，，，函数单调递减，故满足条件；在区间，上，，，函数不单调，故排除；故选：．3．（5分）已知，为异面直线，，，，则直线一定　　A．同时和直线，相交 B．至少与直线，中的一条相交 C．至多与直线，中的一条相交 D．与直线，中一条相交，一条平行【解答】解：因为，，，，为异面直线，所以不可以与，都平行，否则，平行，与，为异面直线矛盾，故至少与直线，中的一条相交．故选：．4．（5分）已知，是空间中两条不同的直线，，是空间中两个不同的平面，则下列说法中，正确的个数是　　（1）若，，则；（2）若，，则；（3）若，，则；（4）若，，，则．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：对于（1）：若，，由垂直于同一直线的两个平面平行知，故正确；对于（2）：若，，则与相交、平行或异面，故错误；对于（3）：若，，由垂直于同一平面的直线平行知，故（3）正确；对于（4）：若，，，则不正确，若可得，，由（1）知，与矛盾，故（4）错误；故选：．5．（5分）某人向东偏北方向走50步，记为向量；向北偏西方向走100步，记为向量；向正北方向走200步，记为向量．假设每步的步长都相等，则向量可表示为　　A． B． C． D．【解答】解：如图，以步为单位长度，建立平面直角坐标系，则，，，，，，，，，解得，，．故选：．6．（5分）已知，两地的距离为，，两地的距离为，且测得点对点和点的张角为，则点到的距离为　　．A． B． C． D．【解答】解：设交于，由题意可得，由余弦定理可得：，可得，由正弦定理可得，可得，在中，，故选：．7．（5分）计算：　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为，所以．故选：．8．（5分）斜三棱柱中，侧面的面积为，侧棱到侧面的距离为，则该斜三棱柱的体积为　　A． B． C． D．【解答】解：将斜三棱柱对称补全成平行六面体，则该斜三棱柱的体积为平行六面体体积的一半，该斜三棱柱的体积为，故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分．9．（5分）高空走钢丝是杂技的一种，渊源于古代百戏的走索，演员手拿一根平衡杆，在一根两头拴住的钢丝上来回走动，并表演各种动作．在表演时，假定演员手中的平衡杆是笔直的，水平地面内一定存在直线与演员手中的平衡杆所在直线　　A．垂直 B．相交 C．异面 D．平行【解答】解：根据题意可得：对直线与平面的任何位置关系，平面内均存在直线与直线垂直，正确；平衡杆所在直线与水平地面的位置关系：平行或相交，根据线面关系可知：若直线与平面平行，则该直线与平面内的直线的位置关系：平行或异面，若直线与平面相交，则该直线与平面内的直线的位置关系：相交或异面，正确，、错误；故选：．10．（5分）在下列对的描述中，能判定是直角三角形的是　　A． B． C．，， D．为正方形的某个截面【解答】解：对于，由，得或，即或，可得是等腰三角形或直角三角形，故错误；对于，由，得，即，可得是直角三角形，故正确；对于，，，，，，由，得是直角三角形，故正确；正方体的截面若为三角形，则三角形是锐角三角形，故错误．故选：．11．（5分）　　A． B． C． D．【解答】解：，故正确；由正切的半角公式知，故错误；，故正确；由，知错误．故选：．12．（5分）棱长都相等的正四棱锥的侧面与底面所成的二面角大小为，两相邻侧面所成的二面角大小为，不相邻两侧面所成的二面角大小为，则　　A． B． C． D．【解答】解：设正四棱锥的棱长为2，连接，相交于，取，，，的中点分别为，，，，连接，，，，，，如图，由棱长都相等正四棱锥可知，平面，，，，，所以，，又，故，所以，即，故正确；由对称性知，不相邻的侧面所成角为侧面与面所成角的2倍，故，所以，而，故，故错误；因为，所以，故正确；因为，所以，故正确．故选：．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）　　．【解答】解：故答案为：14．（5分）写出一个定义域为，周期为的偶函数　（答案不唯一）　．【解答】解：根据题意，要求函数的一个定义域为，周期为，可以考虑三角函数，又由要求函数为偶函数，则要求函数可以为，故答案为：（答案不唯一）．15．（5分）一个正四面体的四个顶点都在一个表面积为的球面上，则该四面体的体积为 　　．【解答】解：正四面体的外接球表面积为，球的半径，如图，将正四面体放置到正方体中，则正四面体的外接球直径即为正方体的体对角线长，设正方体的棱长为，则根据正方体的体对角线公式可得：，，，该四面体的体积为正方体的体积减去三棱锥体积的4倍，即该四面体的体积为，故答案为：．16．（5分）已知腰长为的等腰直角，现沿斜边上的高翻折，使得二面角的大小为，则点到的距离为 　　；异面直线与所成角的余弦值为 　　．【解答】解：如图， 图①中，由题意，，，，，为二面角的平面角，即，图②中，，设点的距离为，由三角形面积可知与所成角为，，，，，．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知平面直角坐标系中，向量，．（1）若，且，求向量的坐标；（2）若与的夹角为 ____，求实数的取值范围．请在①锐角；②钝角两个序号中选择一个填写在空白处，将问题补充完成，并解答．【解答】解：（1）设，由题意得，，，解得，，，解得，向量的坐标为或．（2），当与共线时，，解得，若选①锐角，则，解得；与的夹角为锐角时，实数的取值范围为，，；若选②钝角，则，解得，与的夹角为钝角时，实数的取值范围是，．18．（12分）已知，．（1）求的值；（2）若，且，求角．【解答】解：（1）由，得，即，因为，且，所以，，所以．（2）因为，，所以，，又，所以，所以，因为，所以．19．（12分）如图，在三棱柱中，侧面是菱形，．（1）求证：；（2）若侧面为矩形，，．①求证：平面平面；②求直线与平面所成角的正切值．【解答】解：（1）证明：连接，在三棱柱中，侧面是菱形，，，又，平面，平面，；（2）①证明：侧面为矩形，，，，，，平面，平面，平面平面；②平面，在平面上的射影为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角的正切值为：．20．（12分）用“五点法”作函数，，的图像．（1）列出下表，根据表中信息．013790200①请求出，，的值；②请写出表格中，，对应的值；③用表格数据作为“五点”坐标，作出函数一个周期内的图像；（2）当时，设“五点法”中的“五点”从左到右依次为，，，，，其中，点分别是图像．上的最高点与最低点，当为直角三角形，求的值．【解答】解：（1）①由表格可知，，，解得，．②，，当时，，．③作出一个周期的图象，如图， （2），，则，，，，，．当为直角三角形时，，，，解得，，，，解得，，，，综上，或．21．（12分）某景区的平面示意图为如图的五边形，其中，为景区内的乘车观光游览路线，，，，，是步行观光旅游路线（所有路线均不考虑宽度），经测量得：，，，，，且．（1）求的长度；（2）景区拟规划区域种植花卉，应该如何设计，才能使种植区域面积最大，并求此最大值．【解答】解：（1）在中，，，，由正弦定理可得，可得，在中，由余弦定理可得：，而，且，整理可得，解得或（舍，所以的长度为10；（2）在中，由余弦定理可得，当且仅当时取等号；而，所以，所以，解得，所以，所以面积最大值为．22．（12分）如图，在四棱锥中，，，，分别为，的中点底面四边形是边长为2的菱形，且，交于点．（1）求证：平面；（2）二面角的平面角为，若．①求与底面所成角的大小；②求点到平面的距离．【解答】证明：（1）取得中点，连接，，如图，为的中点，，为的中点且四边形为菱形，，，，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面；解：（2）①连接，过作于，连接，，由，是的中点，，由菱形知，又，平面，平面，平面平面，且交线为，直线在平面上的射影为，即与底面所成角为，平面，，且在平面上的射影为，，又，，是的中点，是的中点，，由知，，，为二面角的平面角，，即，解得，，，，，即与底面所成角的大小为；②连接，过作于，由，平面，平面，平面，点到平面的距离即点到平面的距离，，，，平面，平面平面，且是交线，，平面，在中，，由等积法可得，即，即点到平面的距离为．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/7/30 14:58:04；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367