2021-2022学年江苏省淮安市金湖中学、洪泽中学等六校高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省淮安市金湖中学、洪泽中学等六校高一（下）期中数学试卷

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）　　

A． B． C． D．1

2．（5分）已知，，若，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）在中，若，，，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

4．（5分）在正方体，，分别为与的中点，则异面直线与所成角的大小为　　

A． B． C． D．

5．（5分）已知菱形的边长为2，，点是的中点，则　　

A．0 B． C．3 D．

6．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵，横．油画挂在墙壁上的最低点处离地面（如图所示）．有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为，设该游客离墙距离为，视角为．为使观赏视角最大，应为　　

A．77 B．80 C．100 D．

8．（5分）如图，正方形内接于单位圆，，分别为边，的中点，已知，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．（5分）欧拉公式（其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是　　

A． B．为纯虚数 

C．复数的模长等于1 D．的共轭复数为

10．（5分）设向量，，则下列叙述错误的是　　

A．若与的夹角为钝角，则且 

B．的最小值为2 

C．与共线的单位向量只有一个为 

D．若，则或

11．（5分）在中，内角，，的对边分别是，，，下列结论正确的是　　

A．若，则为等腰或直角三角形 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，，，则符合条件的有两个

12．（5分）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则．若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则　　

A．为的垂心 

B． 

C． 

D．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）已知，，，则　　．

14．（5分）如图，△是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是 　　．

15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　　．

16．（5分）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，，则的值是 　　．

四、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知复数，且为纯虚数．

（1）求复数；

（2）若，求复数以及模．

18．（12分）已知平面向量，满足，．

（1）若，求的坐标；

（2）若，求的值；

（3）若在上的投影向量为，求与的夹角．

19．（12分）已知，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（12分）如图，在梯形中，已知，，，，．

（1）求；

（2）求的长；

（3）求的面积．

21．（12分）在中，，，分别为角，，所对的边．在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答．

（1）求角的值；

（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．

22．（12分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．

（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度的值．（精确到

（下列数据提供参考：，，

（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，直线与直角车道的外壁相交于、．

①若小汽车卡在直角车道内（即点、分别在、上，点在上），求水平截面的长（即的长，用表示）

②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？

备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．

结论1 ；

结论2 若函数和函数都在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增．

2021-2022学年江苏省淮安市金湖中学、洪泽中学等六校高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．（5分）　　

A． B． C． D．1

【解答】解：

故选：．

2．（5分）已知，，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，已知，，

若，则，解得，

故选：．

3．（5分）在中，若，，，则的长为　　

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：在中，若，，，

可得，

所以．

故选：．

4．（5分）在正方体，，分别为与的中点，则异面直线与所成角的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：连接、、，

易知，即为异面直线与所成角或其补角，

易知△等边三角形，故角为．

故选：．

5．（5分）已知菱形的边长为2，，点是的中点，则　　

A．0 B． C．3 D．

【解答】解：由题意可得：，

，

故，

故选：．

6．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，则

，

故选：．

7．（5分）《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆．该油画规格为：纵，横．油画挂在墙壁上的最低点处离地面（如图所示）．有一身高为的游客从正面观赏它（该游客头顶到眼睛的距离为，设该游客离墙距离为，视角为．为使观赏视角最大，应为　　

A．77 B．80 C．100 D．

【解答】解：如图所示，

设，则．

，

解得，当且仅当，即时取等号．

故选：．

8．（5分）如图，正方形内接于单位圆，，分别为边，的中点，已知，当正方形绕圆心旋转时，的取值范围是　　

A．， B． C．， D．

【解答】解：由题意可知，

，，

设的夹角为，则，，

，

故选：．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．）

9．（5分）欧拉公式（其中为虚数单位，是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为数学中的“天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是　　

A． B．为纯虚数 

C．复数的模长等于1 D．的共轭复数为

【解答】解：：由题意，，正确；

：由题意，为纯虚数，正确；

：由题意，，其模长为1，正确；

：由题意，，则其共轭复数为，错误．

故选：

10．（5分）设向量，，则下列叙述错误的是　　

A．若与的夹角为钝角，则且 

B．的最小值为2 

C．与共线的单位向量只有一个为 

D．若，则或

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，向量，，若与的夹角为钝角，则有，解可得且，正确；

对于，向量，，必有，即的最小值为2，正确；

对于，，，与共线的单位向量有，或，，错误；

对于，若，即，解可得，错误；

故选：．

11．（5分）在中，内角，，的对边分别是，，，下列结论正确的是　　

A．若，则为等腰或直角三角形 

B．若，则 

C．若，则 

D．若，，，则符合条件的有两个

【解答】解：选项，由正弦定理及，知，

所以，

所以或，即或，

所以为等腰或直角三角形，即选项正确；

选项，由余弦定理知，，

因为，所以，即选项错误；

选项，因为，所以，

由正弦定理知，，所以，即选项正确；

选项，由正弦定理知，，所以，解得，

又，所以，所以角只有一解，即符合条件的只有1个，故选项错误．

故选：．

12．（5分）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内的一点，、、的面积分别为、、，则．若是锐角内的一点，、、是的三个内角，且点满足，则　　

A．为的垂心 

B． 

C． 

D．

【解答】解：如图，

，由，得，即，

所以，同理可得，，所以是的垂心，正确，

，四边形中，，，，即，故正确，

，由，得，

所以，

由选项得，，，

所以，故错误，

，，

，

，

又，

得，

由奔驰定理：，

得，故正确．

故选：．

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．（5分）已知，，，则　　．

【解答】解：，，，，

则，

故答案为：．

14．（5分）如图，△是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是 　6　．

【解答】解：把直观图还原出原图形，如图所示：

则，

，

所以，，

所以的周长是．

故答案为：6．

15．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，若，则　9　．

【解答】解：可化为：

，

故原式化为，

由正余弦定理得：，化简得．

故答案为：9．

16．（5分）如图，在中，是的中点，，是上的两个三等分点，，，则的值是 　　．

【解答】解：是的中点，，是上的两个三等分点，

，，

，，

，

，

，，

又，，

，

故答案为：

四、解答题（本小题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．（10分）已知复数，且为纯虚数．

（1）求复数；

（2）若，求复数以及模．

【解答】解：（1），，

又为纯虚数，且，解得，；

（2），．

18．（12分）已知平面向量，满足，．

（1）若，求的坐标；

（2）若，求的值；

（3）若在上的投影向量为，求与的夹角．

【解答】解：（1）由题意设，

，解得，

即，或，，

（2），，

即，即，

故，

，

（3）设与的夹角为，

则，即，

即，．

19．（12分）已知，且，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1），

．

（2），，

，

，

，

，，

，

．

20．（12分）如图，在梯形中，已知，，，，．

（1）求；

（2）求的长；

（3）求的面积．

【解答】解：（1），

，，

．

（2）在中，由正弦定理得，，即，

解得．

（3），，

，，

在中，由余弦定理得，，

所以，即，解得或（舍，

故．

21．（12分）在中，，，分别为角，，所对的边．在①；②；③这三个条件中任选一个，作出解答．

（1）求角的值；

（2）若为锐角三角形，且，求的面积的取值范围．

【解答】解：（1）若选择条件①，

由正弦定理得：，即，

又，可得，

，．

若选择条件②，

，

，

，

，，可得．

若选择条件③，

，

，可得，

，

，

（2）由正弦定理得：，

，

，

锐角三角形，

，

，

．

22．（12分）随着私家车的逐渐增多，居民小区“停车难“问题日益突出．本市某居民小区为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，建筑设计师提供了该地下停车库的入口和进入后的直角转弯处的平面设计示意图．

（1）按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你根据该图1所示数据计：算限定高度的值．（精确到

（下列数据提供参考：，，

（2）在车库内有一条直角拐弯车道，车道的平面图如图2所示，车道宽为3米，现有一辆转动灵活的小汽车，其水平截面图为矩形，它的宽为1.8米，直线与直角车道的外壁相交于、．

①若小汽车卡在直角车道内（即点、分别在、上，点在上），求水平截面的长（即的长，用表示）

②若小汽车水平截面的长为4.4米，问此车是否能顺利通过此直角拐弯车道？

备注：以下结论可能用到，此题可以直接运用．

结论1 ；

结论2 若函数和函数都在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增．

【解答】解：（1）在中，，，

则，又，

，

，，

在中，，，

，

；

（2）①延长与直角走廊的边相交于，，

则，其中，

，，

又，

的长，其中；

②由①知，其中，

令，则，，

则．

故，，

，

当，时，恒成立，则在，上为减函数，

．

此车能顺利通过此直角拐弯车道．

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