2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知终边经过点，则　　A． B． C． D．3．（5分）已知向量，若，则实数　　A．2 B． C．或4 D．44．（5分）国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是　　A．众数为7和9 B．方差为 C．平均数为7 D．第70百分位数为85．（5分）如图，在等腰直角，，，点，是边上两个三等分点，则　　A． B． C． D．6．（5分）已知，则下列正确的是　　A． B． C． D．7．（5分）如图，在中，，点在线段上，，则的最小值为　　A． B． C． D．28．（5分）若的内角，，的对边分别为，，，的面积，，角平分线交边于点，则的长为　　A．2 B．4 C． D．二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．若复数满足，则的最大值为210．（5分）第24届北京冬奥会于2022年2月4日2月20日举，世界充分展示了中国的自信，其成功的背后也少不了无数志愿者的辛勤付出，当时对志愿者进行在语言、医疗、驾驶等服务进行综合测试，（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在，内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法中正确的是　　A．频率直方图中第三组的频数为10 B．根据频率直方图估计样本的众数为75分 C．根据频率直方图估计样本的中位数为78分 D．根据频率直方图估计样本的平均数为73.5分11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　A．的最小正周期为 B．关于点中心对称 C．的最大值为2 D．在，有三个零点12．（5分）在中，内角，，所对应边分别为，，，则下列说法正确的是　　A．若，则 B．若点为的重心，则 C．若，的三角形有两解，则的取值范围为， D．若点为内一点，且，则三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）疫情期间某学校教学处为调查学生“线上教学”的满意率，从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，则高三年级抽取人数为 　　．14．（5分）在中，，，，则　　．15．（5分）图1是1992年第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图，其中，则　　，　　． 16．（5分）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 　　．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知复数，且为纯虚数是的共轭复数）．（1）设复数，求；（2）若实数，满足，求实数，的值．18．（12分）已知．（1）求的值；（2）求的值．19．（12分）问题：在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且______．在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并作答：（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．20．（12分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．（1）若，求的值；（2）求的取值范围．21．（12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边，上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的一周安装防护网．（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？22．（12分）已知函数．（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）用表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．
2021-2022学年江苏省南京市六校联考高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1．（5分）若，其中为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于　　A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：，则复数在复平面内对应的点，位于第一象限．故选：．2．（5分）已知终边经过点，则　　A． B． C． D．【解答】解：终边经过点，，则，故选：．3．（5分）已知向量，若，则实数　　A．2 B． C．或4 D．4【解答】解：向量，，，则或，故选：．4．（5分）国家射击运动员甲在某次训练中10次射击成绩（单位：环）如下：7，5，9，7，4，8，9，9，7，5，则下列关于这组数据说法不正确的是　　A．众数为7和9 B．方差为 C．平均数为7 D．第70百分位数为8【解答】解：结合数据得众数为7和9，故正确，平均数是，故正确，，故正确，10次射击成绩从小到大排列分别是：4，5，5，7，7，7，8，9，9，9，，第70百分位数为，故错误，故选：．5．（5分）如图，在等腰直角，，，点，是边上两个三等分点，则　　A． B． C． D．【解答】解：设，则，，，．故选：．6．（5分）已知，则下列正确的是　　A． B． C． D．【解答】解：，，，，，．故选：．7．（5分）如图，在中，，点在线段上，，则的最小值为　　A． B． C． D．2【解答】解：，，则，，，点在线段上，，，且，则，当且仅当，时，等号成立，故选：．8．（5分）若的内角，，的对边分别为，，，的面积，，角平分线交边于点，则的长为　　A．2 B．4 C． D．【解答】解：因为的面积，因为，则，所以，在中，因为，所以，则，因为，所以，所以，即，所以，则，所以，，故选：．二.多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．（5分）已知复数，则下列结论正确的是　　A．复数的虚部为 B． C．复数的共轭复数为 D．若复数满足，则的最大值为2【解答】解：对于，，复数的虚部为，故错误，对于，，故正确，对于，复数的共轭复数为，故正确，对于，设，，，则，，即所在点以，为圆心，1为半径的圆，的最大值为，故正确．故选：．10．（5分）第24届北京冬奥会于2022年2月4日2月20日举，世界充分展示了中国的自信，其成功的背后也少不了无数志愿者的辛勤付出，当时对志愿者进行在语言、医疗、驾驶等服务进行综合测试，（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为100的样本，发现数据均在，内．现将这些分数分成6组并画出样本的频率直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示，观察图形，则下列说法中正确的是　　A．频率直方图中第三组的频数为10 B．根据频率直方图估计样本的众数为75分 C．根据频率直方图估计样本的中位数为78分 D．根据频率直方图估计样本的平均数为73.5分【解答】解：由题意得，频率直方图中第三组的频数为，故选项错误；根据频率直方图估计样本的众数为75分，故选项正确；，，估计样本的中位数为分，故选项错误；根据频率直方图估计样本的平均数为分，故选项正确；故选：．11．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　A．的最小正周期为 B．关于点中心对称 C．的最大值为2 D．在，有三个零点【解答】解：，对于，的最小正周期为，故正确；对于，，故正确；对于，由题意可得，故错误；对于，令，可得，，解得，，当时，可得，当时，可得，所以在，有两个零点，故错误．故选：．12．（5分）在中，内角，，所对应边分别为，，，则下列说法正确的是　　A．若，则 B．若点为的重心，则 C．若，的三角形有两解，则的取值范围为， D．若点为内一点，且，则【解答】解：选项，函数在上单调递减，因为，所以，即选项正确；若点为的重心，则，故正确；在中，，，由正弦定理得：，，，要使三角形有两解，得到，且，即，，解得：，故错误；如图，取中点，连接，则：；；，，三点共线；；；．故错误．故选：．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．（5分）疫情期间某学校教学处为调查学生“线上教学”的满意率，从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，则高三年级抽取人数为 　32　．【解答】解：从全校3个三个年级抽取120学生进行问卷调查，其中高一年级1200人，高二年级1000人，高三年级800人，按照年级人数进行分层抽样，则高三年级抽取人数为：人．故答案为：32．14．（5分）在中，，，，则　　．【解答】解：因为在中，，，，所以由余弦定理可得，可得，整理可得，解得或（舍去），则．故答案为：．15．（5分）图1是1992年第七届国际数学教育大会的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图，其中，则　　，　　． 【解答】解：根据题意，，且，则，所以，同理，所以．故答案为：；．16．（5分）若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是 　，，　．【解答】解：①当时，，则在上无零点；当时，令，解得：，；最多有1个零点，不合题意；②当时，当时，由得：；由得：或；当时，，，则需，解得：；当时，，，满足题意；当时，，，则需，解得：；综上所述：实数的取值范围为：，，．故答案为：，，．四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知复数，且为纯虚数是的共轭复数）．（1）设复数，求；（2）若实数，满足，求实数，的值．【解答】解：（1），，为纯虚数，，解得．（2），，即，解得，．18．（12分）已知．（1）求的值；（2）求的值．【解答】解：（1）因为，所以，，可得，所以，解得；（2）．19．（12分）问题：在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且______．在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并作答：（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．【解答】解：（1）选择①，由正弦定理得：，则．即，．又，．，．选择②，由三角形面积公式可得，得．又因为，故．选择③因为，由正弦定理可得：，因为，所以，所以，所以，．因为，，所以可得：，所以．（2）由正弦定理知：，所以，．所以．因为，故，所以，所以，故的取值范围为．20．（12分）在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．（1）若，求的值；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）由图知：，所以，所以，又，，，所以．（2）由（1）知：，令且，则，所以．则．21．（12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，．当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边，上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在的一周安装防护网．（1）当时，求防护网的总长度；（2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小；（3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？【解答】解：（1）在中，因为，，，所以，在中，，，，由余弦定理，得，（2分）所以，即，所以，所以为正三角形，所以的周长为9，即防护网的总长度为．（4分）（2）设，因为的面积是堆假山用地的面积的倍，所以，即，（6分）在中，由，得，（8分）从而，即，由，得，所以，即．（10分）（3）设，由（2）知，又在中，由，得，（12分）所以，（14分）所以当且仅当，即时，的面积取最小值为．（16分）22．（12分）已知函数．（1）若函数在上有两个不同的零点，求实数的取值范围；（2）用表示，中的最小值，设函数，，讨论零点的个数．【解答】解：（1）因为开口向上，对称轴为，且，所以在上有两个不同的零点，则，可得，所以的取值范围为：，；（2）由对数函数性质知：定义域上递减且值域为，（1），而开口向上，对称轴为，且，当时，对称轴为，则在上递增且（1），所以存在，有时，，时，则，而在上，在，上（1），此时，只有1个零点；当时，且△，（1），所以存在，，有时，，时，则，而在上，在，上（1），此时，只有1个零点；当时，且，（1），所以存在，，有时，，时， 则，而在上，在，上（1），此时，有两个零点；当时，且△，（1），所以存在，，有时，，时，则，由（1）知：在上有2个零点，在，上（1），此时，有3个零点；当时，，在上有两个零点，1，则，在上，在，上（1），此时，有2个零点；当时，且△，（1），所以存在，有时，，时， 则，在上有1个零点，在，上，此时，有1个零点；综上，或时有1个零点；或时有2个零点；时有3个零点．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:08:42；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367