2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一（下）期中数学试卷

一、单选题

1．计算的结果是　　

A． B． C． D．

2．已知，，则的值为　　

A． B． C． D．

3．已知，，则　　

A． B．5 C． D．3

4．在中，已知，，且，是方程的两个根，，则　　

A．3 B．7 C． D．49

5．已知：，均为锐角，，，则　　

A． B． C． D．

6．在中，，，下列说法错误的是　　

A． B． C． D．

7．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线以内的区域，如果进入则对其发出警告，其退出此区域．如图，设，是相距的两个观察站，一外轮在点，测得，，，满足什么关系时就该向外轮发出警告　　

A． B． 

C． D．

8．在中，若，，则外接圆面积为　　

A． B． C． D．

二、多选题

9．下列说法正确的是　　

A．复数的虚部为 B．已知复数，若，则 

C．已知复数，则 D．已知复数，若，则

10．已知向量，，它们的夹角为，则　　

A． 

B． 

C． 

D．向量与向量的夹角为

11．在中，下列说法正确的有　　

A．若，则一定是锐角三角形 

B．若，则一定是等边三角形 

C．若，则一定是等腰三角形 

D．若，，则一定是等边三角形

12．已知函数，则　　

A．时，在上的最小值为 

B．时，的最小正周期为 

C．时，在上的最大值为1 

D．对任意的正整数，的图像都关于直线对称

三、填空题

13．，，若，则　　．

14．若是关于的实系数方程的一个根，则　　．

15．如图，在中，已知，是边上的一点，，，，则　　．

16．如图，在矩形中，，，，，则　　；是矩形所在平面上一点，且，若，则的最小值为 　　．

四、解答题

17．已知复平面内复数，，所对应的点分别为，，．

（1）求，的值；

（2）求．

18．在中，，，分别为，，所对的边，．

（1）若，求，的值；

（2）求的取值范围．

19．已知向量，，函数．

（1）求的周期；

（2）设，，求的值．

20．在中，，，分别为，，所对的边，．

（1）若，边上的中线的长为，求的值；

（2）若，，求．

21．如图，在边长为1的正三角形中，为中心，过点的直线交边与点，交边于点．

（1）用，表示；

（2）若，求的值；

（3）求的最大值与最小值．

2021-2022学年江苏省南京外国语学校高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单选题

1．计算的结果是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

2．已知，，则的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，，

所以，

所以．

故选：．

3．已知，，则　　

A． B．5 C． D．3

【解答】解：根据题意，，，

则，则，

故选：．

4．在中，已知，，且，是方程的两个根，，则　　

A．3 B．7 C． D．49

【解答】解：方程的两个解是5，8，

由余弦定理可得，，解得，

故．

故选：．

5．已知：，均为锐角，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于，均为锐角，，，

所以．

所以．

所以．

故选：．

6．在中，，，下列说法错误的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，

所以，故正确，

若，则为钝角，由可知，则，所以，不符合条件，

所以，故错误，

由于，利用正弦定理可得，故正确，

，故正确．

故选：．

7．外轮除特许外，不得进入离我国海岸线以内的区域，如果进入则对其发出警告，其退出此区域．如图，设，是相距的两个观察站，一外轮在点，测得，，，满足什么关系时就该向外轮发出警告　　

A． B． 

C． D．

【解答】解：作垂直于与，如图；

在中，；

在中，；

；

故当时，就该向外轮发出警告，令其退出我国海域．

故选：．

8．在中，若，，则外接圆面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，所以，

因为，整理得，

则，所以，

所以外接圆面积为．

故选：．

二、多选题

9．下列说法正确的是　　

A．复数的虚部为 B．已知复数，若，则 

C．已知复数，则 D．已知复数，若，则

【解答】解：对于，复数的虚部为，故错误，

对于，设，

，

，解得，

，故正确，

对于，设，

则，

，故正确，

对于，令，满足，但，故错误．

故选：．

10．已知向量，，它们的夹角为，则　　

A． 

B． 

C． 

D．向量与向量的夹角为

【解答】解：对于，，选项正确；

对于，，所以，选项正确；

对于，，所以，选项错误；

对于，，所以，即向量与向量的夹角为，选项正确．

故选：．

11．在中，下列说法正确的有　　

A．若，则一定是锐角三角形 

B．若，则一定是等边三角形 

C．若，则一定是等腰三角形 

D．若，，则一定是等边三角形

【解答】解：对于：若，

故，所以为锐角，

但并不能说明一定是锐角三角形，故错误；

对于：由于，

利用正弦定理：，整理得，

因为，，，所以，

所以为等边三角形，故正确；

对于：因为，

所以，

又，，则，，

所以，即，

所以或，

所以或，

所以是等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于，因为，

所以，

又，

所以，

所以，

所以，所以，

所以一定是等边三角形，故正确．

故选：．

12．已知函数，则　　

A．时，在上的最小值为 

B．时，的最小正周期为 

C．时，在上的最大值为1 

D．对任意的正整数，的图像都关于直线对称

【解答】解：对于：当时，，由于，所以，所以函数的最小值为，最大值为，故正确；

对于：当时，，故函数的最小正周期为，故错误；

对于：当时，，当时，故函数的最大值为1，故正确；

对于：对于函数，故正确．

故选：．

三、填空题

13．，，若，则　　．

【解答】解：，，

，

，

解得，

故答案为：．

14．若是关于的实系数方程的一个根，则　3　．

【解答】解：由题意得，

即，

所以．

故答案为：3．

15．如图，在中，已知，是边上的一点，，，，则　　．

【解答】解：，，，

由余弦定理得，

，

由正弦定理得，

即，

故答案为：

16．如图，在矩形中，，，，，则　44　；是矩形所在平面上一点，且，若，则的最小值为 　　．

【解答】解：由在矩形中，，，，，

则；

由，

又，，，

则，

当时，的最小值为，

故答案为：44；．

四、解答题

17．已知复平面内复数，，所对应的点分别为，，．

（1）求，的值；

（2）求．

【解答】解：（1）复平面内复数，，所对应的点分别为，，，

可得，，．

，

．

（2），，，

，，

．

18．在中，，，分别为，，所对的边，．

（1）若，求，的值；

（2）求的取值范围．

【解答】解：（1）因为，所以，

所以，

因为，且，所以，

所以．

（2）因为，

所以，解得，

由正弦定理知，，

故的取值范围为．

19．已知向量，，函数．

（1）求的周期；

（2）设，，求的值．

【解答】解：因为向量，

所以函数

，

所以的周期是；

（2）因为，

所以，

因为，

所以，

所以

．

20．在中，，，分别为，，所对的边，．

（1）若，边上的中线的长为，求的值；

（2）若，，求．

【解答】解：（1）因为，所以，

因为，由正弦定理可得，

可得，

整理可得，

由余弦定理可得，

所以，可得，

所以为等腰三角形，在中，由余弦定理可得，，

即，解得；

（2）若

而，

所以，所以，

因为，即，

可得，

可得，即，

或，可得，

当时，，

而，所以，

所以；

当时，即，可得为等边三角形，所以，

所以或．

21．如图，在边长为1的正三角形中，为中心，过点的直线交边与点，交边于点．

（1）用，表示；

（2）若，求的值；

（3）求的最大值与最小值．

【解答】解：（1）延长交于，

因为为正三角形的中心，所以为的中点，

所以，

因为，

所以；

（2）设，因为，所以，

因为，

所以，

由（1）可知，

所以，

因为，，三点共线，

所以，解得，

即的值为；

（3）因为正三角形的边长为1，为正三角形的中心，

所以，

设，则，

在中，由正弦定理可得，

所以，

在中，同理可得，

所以

令，则

所以，

因为，

所以，

所以，

即，

令，则在上单调递增，

所以，即，

即，所以，

所以，

所以，

即，

所以，

即最大值，最小值．

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