2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）的值是　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为　　

A． B． C． D．

4．（5分）若一个正四棱锥的高和底面边长都为，则它的侧面与底面所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，若，，则一定是　　

A．等边三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．无法确定

6．（5分）设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为　　

A． B． C． D．

7．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑中，平面，，，，点在棱上运动，则面积最小值为　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.

9．（5分）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有　　

A．若，，，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，，则

10．（5分）已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，高为，则　　

A．侧棱长为4 

B．异面直线与所成角为 

C．二面角的余弦值为 

D．与底面所成角为

11．（5分）设为的外心，且，下列命题正确是　　

A．若时，则 

B．若，则为等边三角形 

C．若时，则 

D．若，，则为钝角三角形

12．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则　　

A．，，，四点共面 

B．异面直线与所成角的余弦值为 

C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 

D．三棱锥的体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）求值：　　．

14．（5分）在中，角，，，所对边分别为，，，，，，则　　．

15．（5分）在三棱锥中，已知平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 　　．

16．（5分）已知定义在上的函数在处取得最小值，则最小值为 　　，此时　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

18．（12分）如图，在正方体中，，分别为，中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

19．（12分）已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

20．（12分）已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：

（1）的最小正周期；

（2）在区间的取值范围．

21．（12分）如图，在平行六面体中，底面为菱形，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，分别为棱与上的点，且平面平面，求的值．

22．（12分）如图，在中，为边上的中线，，，．

（1）求；

（2）设，过点的直线与边，分别交于，，且，求的值．

2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：由二倍角的余弦公式可得，

故选：．

2．（5分）已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，

圆锥的母线长为2，其侧面积为，

，解得，

，

该圆锥的体积为：

．

故选：．

3．（5分）已知向量，满足，，且，则向量与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，，

，，，

向量与的夹角余弦值为，

向量与的夹角为．

故选：．

4．（5分）若一个正四棱锥的高和底面边长都为，则它的侧面与底面所成角的余弦值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：作出正四棱锥，取的中点，连接，，，，

由正四棱锥的定义知平面，，，

是侧面与底面所成的角，

由，可得，可得，

所以．

所以侧面与底面所成角的余弦值为．

故选：．

5．（5分）在中，若，，则一定是　　

A．等边三角形 B．直角三角形 

C．等腰直角三角形 D．无法确定

【解答】解：由于在中，若，

利用正弦定理整理得：，

化简得：，

所以，

整理得，

由于，

所以：．

由于，

所以，

化简得：，

由于，

所以，

故，

所以为等边三角形．

故选：．

6．（5分）设平面向量，满足，，，则在方向上的投影向量为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，故，

将代入上式得，

故在方向上的投影向量为：．

故选：．

7．（5分）设，，，则，，的大小关系是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

由于函数在上单调递增，，

即，故，

故选：．

8．（5分）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图，在鳖臑中，平面，，，，点在棱上运动，则面积最小值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，作于点，作，交于点，

连接得到，，

平面，，

又，，，面，

所以面，所以，

设，

由，得到，

在中，，得到，

，当且仅当时，等号成立．

，

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有项选错得0分.

9．（5分）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的有　　

A．若，，，，则 B．若，，则 

C．若，，则 D．若，，，则

【解答】解：对于，若，，，，只有当，相交时，才有，故错误；

对于，若，，则，故正确；

对于，若，，则或，故错误；

对于，若，，，则，故正确．

故选：．

10．（5分）已知正四棱台的上底面的边长为，下底面的边长为，高为，则　　

A．侧棱长为4 

B．异面直线与所成角为 

C．二面角的余弦值为 

D．与底面所成角为

【解答】解：易得，，选项，设上下底面的中心分别为，，则四边形为直角梯形，

其中，所以，正确；

选项：因为，所以与所成角即为与所成角，

在等腰梯形中，，，

过作于，所以与所成角的余弦值为错误；

选项：点在底面的射影为的中点，设为，

过作，垂足为则，，，面，

，所以平面，所以，则为二面角的平面角，

因为，所以，错误；

选项：正四棱台中，与底面所成角与与底面所成角相等，

由选项知为与底面所成角，，得，故正确．

故选：．

11．（5分）设为的外心，且，下列命题正确是　　

A．若时，则 

B．若，则为等边三角形 

C．若时，则 

D．若，，则为钝角三角形

【解答】解：对，当时，的外心为斜边的中点，

根据向量中点公式，，则，错误；

对，当时，，即为重心向量式，

点即为外心也为重心，为等边三角形，正确；

对，当时，又为外心，

点在边的高线上，也在边的垂直平分线上，

，，正确；

对，由选项分析得，当时，，

根据共线定理推论，点恰好在上，

当，时，，

点在的边外，

为钝角三角形．正确，

故选：．

12．（5分）如图，在棱长为2的正方体中，，，分别是，，的中点，则　　

A．，，，四点共面 

B．异面直线与所成角的余弦值为 

C．平面截正方体所得截面为等腰梯形 

D．三棱锥的体积为

【解答】解：对于，由图可知，是异面直线，，，，四点不共面，故错误，

对于，，为与所成的角，

，，，

，故正确，

对于，，平面截正方体截面为，

而，截面为等腰三角形，故正确，

对于，取的中点，连接与交于点，则为的中点，

点到平面的距离等于点到平面的距离，

，

故正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.

13．（5分）求值：　　．

【解答】解：因为，，

代入原式得：原式，

，

故原式．

故答案为：．

14．（5分）在中，角，，，所对边分别为，，，，，，则　2　．

【解答】解：由余弦定理得到，

即，故，

由正弦定理可得：，

故答案为：2．

15．（5分）在三棱锥中，已知平面，，，，，则该三棱锥外接球的表面积为 　　．

【解答】解：在中，，，，

所以：，

解得：，

利用正弦定理：设的外接圆的半径为，

所以，解得，

设三棱锥的外接球的半径为，

所以，

解得，

所以．

故答案为：．

16．（5分）已知定义在上的函数在处取得最小值，则最小值为 　　，此时　　．

【解答】解：

，

设，，

，

可得，于是，

则当时，；

此时，

，

．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）在中，角，，所对的边分别为，，，向量，，且．

（1）求；

（2）若，的面积为，求的周长．

【解答】解：（1）由，得，

由正弦定理得，

在中，，，，

，．

（2）由余弦定理得，，

，

，，

，，

的周长为．

18．（12分）如图，在正方体中，，分别为，中点．

（1）求证：平面；

（2）求异面直线与所成角的余弦值．

【解答】证明：（1）取的中点，连接，，如图所示，

，分别为，的中点，，且，

又，且，

，且，

四边形为平行四边形，，

又平面，平面，

平面；

解：（2），即为异面直线与所成的角，

设正方体的棱长为2，则，，，

，

即异面直线与所成角的余弦值为．

19．（12分）已知，为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1）因为，所以；

（2）由得，

由，故，

，故，

即，解得，

所以．

20．（12分）已知函数，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．求：

（1）的最小正周期；

（2）在区间的取值范围．

【解答】解：若选①：

．

（1）的最小正周期为；

（2）当时，，，，，

故在区间的取值范围是，；

若选②：

．

（1）的最小正周期为；

（2）当时，，，，，

故在区间的取值范围是，；

若选③：

．

（1）的最小正周期为；

（2）当时，，，，，

故在区间的取值范围是，．

21．（12分）如图，在平行六面体中，底面为菱形，平面平面．

（1）证明：；

（2）若，分别为棱与上的点，且平面平面，求的值．

【解答】（1）证明：在平行六面体中，底面为菱形，，

又平面平面，

平面平面，

，

平面，

又平面，

．

（2）解：

设，

底面为菱形，为的中点，

平面平面，平面平面，

平面平面，

，

为的中点，为的中点，

平面平面，平面平面，

平面平面，

，

为的中点，

为的中点，

即．

22．（12分）如图，在中，为边上的中线，，，．

（1）求；

（2）设，过点的直线与边，分别交于，，且，求的值．

【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，，

所以，

又，

在中，由余弦定理得；

（2）设，

因为，所以，

因为，，三点共线，所以，①

又，所以，

所以，②

①②联立方程组得或（舍去），

所以．

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