2021-2022学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）等于　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知向量，，若与垂直，则实数的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

3．（5分）在中，已知，，，则的长为　　

A． B．2 C． D．

4．（5分）将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数．它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”．根据公式可知，表示的复数对应的点位于复平面中的　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5．（5分）已知的值为　　

A． B． C． D．

6．（5分）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

7．（5分）的值为　　

A．1 B． C． D．2

8．（5分）已知图中的圆，圆的半径均为2，，，均是边长为的等边三角形．设点为圆上的一点，则的最小值为　　

A．22 B．24 C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知平面向量，，则下列说法正确的有　　

A． 

B． 

C．向量在上的投影向量为 

D．向量与的夹角为

10．（5分）设，，为复数，．下列命题正确的有　　

A．若，则 B．若，则 

C． D．若，则且

11．（5分）下列说法正确的有　　

A．， 

B．不存在无穷多个和的值，使得 

C．存在这样的和的值，使得 

D．当取最大值时，

12．（5分）的内角，，对应的边分别是，，，则下列说法正确的有　　

A．若，则 

B．若，则可以是钝角三角形 

C．若，，，则有两解 

D．若且，则是等边三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知复数，则复数的模为 　　．

14．（5分）设向量，不平行，向量与平行，则实数的值为 　　．

15．（5分）在中，面积，，，则的长为 　　．

16．（5分）在中，若，则的值为 　　，的最大值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知为实数．

（1）若复数的实部为2，求；

（2）若复数的模为5，且在复平面内复数对应的点在虚轴的左侧，求．

18．（12分）已知，，为坐标原点．

（1）若，，求实数的值；

（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

19．（12分）在斜三角形中，，，分别是内角，，的对边，．

（1）求角；

（2）若点为的中点，，，求的长．

20．（12分）求值：

（1）若，，求的值；

（2）设，，且，求的值．

21．（12分）问题：在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且______．

在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并作答：

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

22．（12分）如图，风景区的形状是如图所示的扇形区域，其半径为4千米，圆心角为，点在弧上．现在风景区中规划三条商业街道，，，要求街道与平行，交于点，街道与垂直（垂足在上）．

（1）如果弧的长为弧长的三分之一，求三条商业街道围成的的面积；

（2）试求街道长度的最小值．

2021-2022学年江苏省宿迁市泗阳县高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

2．（5分）已知向量，，若与垂直，则实数的值为　　

A． B．0 C．1 D．2

【解答】解：因为，，

所以，

由题意得，

所以．

故选：．

3．（5分）在中，已知，，，则的长为　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：，，，

又，

，

故选：．

4．（5分）将指数函数的定义域扩大到复数以后，有一个公式：，是虚数单位，为自然对数的底数．它建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，此公式被誉为“数学中的天桥”．根据公式可知，表示的复数对应的点位于复平面中的　　

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【解答】解：，

即表示的复数对应的点的坐标为，，

位于复平面中的第二象限．

故选：．

5．（5分）已知的值为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

，

故选：．

6．（5分）如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】解：因为，得，

因为，

所以，

因为，，三点共线，

所以，解得，

故选：．

7．（5分）的值为　　

A．1 B． C． D．2

【解答】解：．

故选：．

8．（5分）已知图中的圆，圆的半径均为2，，，均是边长为的等边三角形．设点为圆上的一点，则的最小值为　　

A．22 B．24 C． D．

【解答】

解：由圆，圆的半径均为2，，，均是边长为的等边三角形．点为圆上的一点，

建立如图所示的平面直角坐标系，

则，，，，，，，，

则，，，，

则，，

则的最小值为24，

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）已知平面向量，，则下列说法正确的有　　

A． 

B． 

C．向量在上的投影向量为 

D．向量与的夹角为

【解答】解：由题意知，，，，，

对于，，即错误；

对于，，即正确；

对于，设向量与的夹角为，则，所以，即正确；

对于，所求的投影向量为，即正确．

故选：．

10．（5分）设，，为复数，．下列命题正确的有　　

A．若，则 B．若，则 

C． D．若，则且

【解答】解：对于，若，则等式的两边同时除以，得，故正确；

对于，若，，而复数不能比大小，

此时不成立，故错误；

对于，由复数模的三角含义有，

当，且时，等号成立，故正确；

对于，若，此时，

故此时且，不成立，故错误．

故选：．

11．（5分）下列说法正确的有　　

A．， 

B．不存在无穷多个和的值，使得 

C．存在这样的和的值，使得 

D．当取最大值时，

【解答】解：对于：由于，故不存在这样的，故错误；

对于：当时，成立的，故错误；

对于：当时，成立，故正确；

对于：当；

当时，函数取得最大值，即，故正确．

故选：．

12．（5分）的内角，，对应的边分别是，，，则下列说法正确的有　　

A．若，则 

B．若，则可以是钝角三角形 

C．若，，，则有两解 

D．若且，则是等边三角形

【解答】解：选项：由大角对大边以及正弦定理，可知，故正确；

选项

，所以角，，都为锐角，故错误，

选项：由正弦定理，可得，且，故三角形有两解，故正确，

选项：由，可得三角形边上的中线与垂直，所以三角形为等腰三角形，

再由，可得，，所以，则三角形为等边三角形，故正确，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知复数，则复数的模为 　　．

【解答】解：，

，

．

故答案为：．

14．（5分）设向量，不平行，向量与平行，则实数的值为 　　．

【解答】解：向量与平行，

存在实数，使得，

，

向量，不平行，

，

解得：．

故答案为：．

15．（5分）在中，面积，，，则的长为 　或　．

【解答】解：因为在中，面积，，，

所以，

解得，

所以，

所以，或．

故答案为：，或．

16．（5分）在中，若，则的值为 　　，的最大值为 　　．

【解答】解：因为，

所以，

，

由，得，

由余弦定理得：，

当且仅当，即时，取等号，

故，

又因，所以，

所以的最大值为．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知为实数．

（1）若复数的实部为2，求；

（2）若复数的模为5，且在复平面内复数对应的点在虚轴的左侧，求．

【解答】解：（1）因为复数的实部为2，设则，

从而，

为实数，

所以得，即．

（2）由题意设，且则，

从而，

因为为实数，所以即，

又因为复数的模为5，

所以，

从而得，

所以．

18．（12分）已知，，为坐标原点．

（1）若，，求实数的值；

（2）若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．

【解答】解：（1）根据题意，，，则．

因为，所以，解得．

（2）根据题意，，．

因为与的夹角为锐角，

所以，所以，解得．

当与同向时，有，解得．

所以的取值范围为，，．

19．（12分）在斜三角形中，，，分别是内角，，的对边，．

（1）求角；

（2）若点为的中点，，，求的长．

【解答】解：（1）在三角形中，由余弦定理，可知，

又因为斜三角形，所以，

从而，

又由正弦定理，可知，

由，可得，

得，

即，

又因为，

所以，从而，

又，所以，即；

（2）由正弦定理得，即，从而，

在中，从而，，

因为，，

所以，

因为为中点，所以，

从而，

即．

（要是由余弦定理算出后，再用余弦定理也一样可以）

20．（12分）求值：

（1）若，，求的值；

（2）设，，且，求的值．

【解答】解：（1）因为为锐角，，所以，，

所以，．

（2）因为，所以，

即，，，，

所以，从而．

21．（12分）问题：在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且______．

在①，②，③中任选一个，补充在横线上，并作答：

（1）求角的大小；

（2）若，求的取值范围．

【解答】解：（1）选择①，

由正弦定理得：，

则．即，

．

又，．

，．

选择②，由三角形面积公式可得，得．

又因为，故．

选择③因为，

由正弦定理可得：，

因为，所以，所以，

所以，．

因为，，

所以可得：，所以．

（2）由正弦定理知：，

所以，．

所以．

因为，故，所以，所以，

故的取值范围为．

22．（12分）如图，风景区的形状是如图所示的扇形区域，其半径为4千米，圆心角为，点在弧上．现在风景区中规划三条商业街道，，，要求街道与平行，交于点，街道与垂直（垂足在上）．

（1）如果弧的长为弧长的三分之一，求三条商业街道围成的的面积；

（2）试求街道长度的最小值．

【解答】解：连接，过作，垂足为．

（1）当弧的长为弧长的三分之一时，，

在中，，，故，．

在中，，，

所以，则，

所以，可得的面积平方千米．

（2）设，则，，，

又，则，所以．

在直角三角形中，，其中．

因为，所以，又，

所以当时，有最小值为，即．

综上，街道长度的最小值为千米．

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