2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．（5分）已知，则在复平面内对应的点的坐标为　　

A． B． C． D．

2．（5分）如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为　　

A．9 B．10 C．11 D．12

3．（5分）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

4．（5分）在中，，，，则此三角形　　

A．无解 B．一解 

C．两解 D．解的个数不确定

5．（5分）已知复数满足，且，则的值为　　

A．1 B． C． D．

6．（5分）高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该篮球的表面积为　　

A． B． C． D．

7．（5分）在中，角、、所对应的边分别为、、，，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）在中，，，，为的外心，若，，，则　　

A． B． C． D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列叙述错误的是　　

A．已知直线和平面，若点，点且，，则 

B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 

C．若直线和不平行，且，，，则至少与，中的一条相交 

D．若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交

10．（5分）向量，，，则的值可以是　　

A．2 B． C．4 D．

11．（5分）已知复数，，，是的共轭复数，则下列结论正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C． D．若，则

12．（5分）在中，角、、所对应的边分别为、、，，则　　

A． B． 

C． D．不可能为锐角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若，为实数，为虚数单位），则　　．

14．（5分）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为 　　．

15．（5分）在中，角、、所对应的边分别为、、，若，．是锐角三角形，则面积的取值范围是 　　．

16．（5分）如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且．若，则　　；若，，，则　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数，．

（1）若是实数，求实数的值；

（2）若是纯虚数，求实数的值；

（3）若在复平面上对应的点位于直线上，求实数的值．

18．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

19．（12分）已知向量，设．

（1），求当取最小值时实数的值；

（2）若，问：是否存在实数，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

20．（12分）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．

（1）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？

（2）设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求．

21．（12分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．

（1）求氢能源环保电动步道的长；

（2）若_____；求花卉种植区域总面积．

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

22．（12分）在中，为的中点，在边上，且，，设，．

（1）试用，表示；

（2）若在上，且，设，，，，若，，求的取值范围．

2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．

1．（5分）已知，则在复平面内对应的点的坐标为　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

则对应的点．

故选：．

2．（5分）如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，则的周长为　　

A．9 B．10 C．11 D．12

【解答】解：如图，△为水平放置的斜二测画法的直观图，且，，

在中，，，，

，

的周长为：．

故选：．

3．（5分）若向量，满足，，且，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得，即，．

解得．

再由，，可得，

故选：．

4．（5分）在中，，，，则此三角形　　

A．无解 B．一解 

C．两解 D．解的个数不确定

【解答】解：在中，，，，

则，

可得，

可得此三角形有两解．

故选：．

5．（5分）已知复数满足，且，则的值为　　

A．1 B． C． D．

【解答】解：设，

则，

，

，

，

，解得，，

则，

，

，

．

故选：．

6．（5分）高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口（半径较大的圆）卡住，球心到垃圾篓底部的距离为，垃圾篓上底面直径为，下底面直径为，母线长为，则该篮球的表面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：球与垃圾篓组合体的轴截面图如图所示，

根据题意，得垃圾篓的高为．所以球心到上底面的距离为，

设篮球的半径为，则，

故篮球的表面积为，

故选：．

7．（5分）在中，角、、所对应的边分别为、、，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，整理可得，

所以由余弦定理可得，

又，

所以，

所以．

故选：．

8．（5分）在中，，，，为的外心，若，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，取线段的中点，连接，则，且，

，

同理可得，，

又，

由，可得，即，

解得，

．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）下列叙述错误的是　　

A．已知直线和平面，若点，点且，，则 

B．若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 

C．若直线和不平行，且，，，则至少与，中的一条相交 

D．若直线不平行于平面，且，则内的所有直线与都不相交

【解答】解：已知直线和平面，若点，点且，，由公理1可得，，故正确；

若三条直线两两相交有三个交点，则三条直线确定一个平面，若有一个交点，则不一定，故错误；

若直线和不平行，且，，，则至少与，中的一条相交正确，

事实上，假设与，都不相交，则平行，由平行公理可得直线和平行，与已知矛盾，故正确；

若直线不平行于平面，且，则与相交，内过交点的直线与直线相交，不过交点的直线与异面，故错误．

故选：．

10．（5分）向量，，，则的值可以是　　

A．2 B． C．4 D．

【解答】解：由，，，

可得，，

则，

因为，所以，

所以，所以，

则、、符合题意，

故选：．

11．（5分）已知复数，，，是的共轭复数，则下列结论正确的是　　

A．若，则 B．若，则 

C． D．若，则

【解答】解：选项：若，则，所以，故正确，

选项：设，，则，但是，故错误，

选项：设，则，则，故正确，

选项：设，，，，，则，

则，，所以，故正确．

故选：．

12．（5分）在中，角、、所对应的边分别为、、，，则　　

A． B． 

C． D．不可能为锐角三角形

【解答】解：在中，角、、的对边分别为、、，，

对于选项，由正弦定理可得，

即，故正确，

对于选项，由余弦定理得，又由，

得，，故错误，

对于选项，由余弦定理得，

，由正弦定理可得

化简得，即，

可得，或，所以，或（舍，故正确，

对于选项，不妨设，满足，

此时角最大，且，即为锐角，

故可能为锐角三角形，故错误，

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）若，为实数，为虚数单位），则　3　．

【解答】解：

，

，

，

，

解得，，

．

故答案为：3．

14．（5分）如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为 　　．

【解答】解：作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：

该小虫爬行的最短路程为，由余弦定理可得，．

设底面圆的半径为，则有，解得．

这个圆锥的高为，

这个圆锥的体积为．

故答案为：．

15．（5分）在中，角、、所对应的边分别为、、，若，．是锐角三角形，则面积的取值范围是 　，　．

【解答】解：由余弦定理及，得，

因为，所以，

整理得，，

所以，

因为，所以，

因为是锐角三角形，所以，解得，

设边上的高为，

如图所示，当点位于时，△是边长为2的等边三角形，此时；

由于，当点位于时，，此时△为直角三角形，，

所以，，

故的面积，，

所以的面积取值范围为，．

故答案为：，．

16．（5分）如图，在中，，，，分别为，的中点，为与的交点，且．若，则　　；若，，，则　　．

【解答】解：由题意可知点为三角形的重心，

因为，

所以，

所以，则；

因为，，，

所以，

又，所以，

所以，

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数，．

（1）若是实数，求实数的值；

（2）若是纯虚数，求实数的值；

（3）若在复平面上对应的点位于直线上，求实数的值．

【解答】解：（1）若是实数，则，解得：或3；

（2）若是纯虚数，则，解得：；

（3）复数所对应的点为，，

结合题意，解得：．

18．（12分）如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：平面．

【解答】证明：（1）因为平面，平面，平面平面，所以，

又平面，平面，则平面；

（2）取中点，连接，，易得，且，

由（1）知且，

则且，则四边形为平行四边形，则，

又平面，平面，则平面．

19．（12分）已知向量，设．

（1），求当取最小值时实数的值；

（2）若，问：是否存在实数，使得向量与向量的夹角为？若存在，求出实数；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）根据题意，，则，，

则，，，

则，当时，取得最小值0；

（2）根据题意，假设存在实数，使得向量与向量的夹角为，

若，则，则有，

，则，

，则，

又由向量与向量的夹角为，则有，

解可得：或，

故存在或符合题意．

20．（12分）如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点．

（1）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？

（2）设三棱锥的体积为，四棱柱的体积为，求．

【解答】解：（1）为中点时，平面平面，

理由如下：连接，取的中点，连接，，

因为，分别是，的中点，则，

平面，平面，则平面，

同理可得，平面，平面，则平面，

又，，平面，

则平面平面；

（2）由是的中点得，

又，平面，平面，则平面，

又点是线段上的一个动点，

则，

则，则．

21．（12分）北京2022年冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口开幕，运动员休息区本着环保、舒适、温馨这一出发点，进行精心设计，如图，在四边形休闲区域，四周是步道，中间是花卉种植区域，为减少拥堵，中间穿插了氢能源环保电动步道，，且，，．

（1）求氢能源环保电动步道的长；

（2）若_____；求花卉种植区域总面积．

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

【解答】解：（1）．，，

，，由余弦定理得，

，．

（2）选①：，在中，由正弦定理得，．

，由（1）知．代入上式可得，解得，

，

，

，，故，

花卉种植区域总面积为．

选②：，在中，由余弦定理得，解得或（舍去），

．，，

，，故，

花卉种植区域总面积为．

22．（12分）在中，为的中点，在边上，且，，设，．

（1）试用，表示；

（2）若在上，且，设，，，，若，，求的取值范围．

【解答】解：（1），，三点共线；

存在，使；

；

根据条件，；

同理由，，三点共线可得，；

根据平面向量基本定理：；

解得；

；

（2）由上面；

；

，共线，设，；

；

；

；

；

；

；

；

；

解得；

的范围为．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:12:52；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367