2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知为虚数单位，复数，则复数的模为　　

A．2 B． C．1 D．

2．（5分）已知向量的夹角为，，，则　　

A． B．3 C． D．12

3．（5分）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为　　

A． B． C． D．

4．（5分）已知不重合的直线，，和平面，下列命题中真命题是　　

A．如果不平行于，则内的所有直线均与异面 

B．如果，，，是异面直线，那么与相交 

C．如果，，，共面，那么 

D．如果上有两个不同的点到的距离相等，则

5．（5分）在中，，边上的高等于，则等于　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为　　

A．1 B．2 C． D．

7．（5分）如图，在平行四边形中，，，与交于点，设，，若，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）在钝角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）设，则下列命题为真命题的是　　

A．若，则 

B．若与都是实数，则 

C．若，则的最大值为 

D．若为纯虚数，则

10．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中，能使的形状唯一确定的有　　

A．，， B． 

C．，， D．，，

11．（5分）六氟化疏，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为（不计氟原子的大小），则　　

A．直线与为异面直线 B．平面平面 

C．直线与为异面直线 D．八面体外接球体积为

12．（5分）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是　　

A．过点的直线交、于、，若，，则 

B．与共线 

C． 

D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是　　．

14．（5分）已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位）：甲：；乙：；丙：．在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数　　．

15．（5分）在中，，，，的平分线交于，为边上的高，则的面积为 　　．

16．（5分）如图，在边长为2的正方形中，，分别为边，上的动点，以为边作等边，使得点，位于直线的两侧，则的最小值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数满足的虚部为8．

（1）求复数；

（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，若在第一象限，求的值．

18．（12分）如图所示，已知是所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面．求证：

（1）．

（2）平面．

19．（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）若是的中线，且，求的最大值．

20．（12分）已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

21．（12分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块，，长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从的中点引出两条成的线段和，与和围成四边形区域，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．

22．（12分）已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且，点为坐标原点．如图所示，设点，，，，是线段的等分点，其中，．

（1）当时，求的值（用含，的式子表示）；

（2）当，时，求的最小值．

（说明：可能用到的计算公式：．

2021-2022学年江苏省无锡市锡山区天一中学强化班高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）已知为虚数单位，复数，则复数的模为　　

A．2 B． C．1 D．

【解答】解：因为复数，

所以．

故选：．

2．（5分）已知向量的夹角为，，，则　　

A． B．3 C． D．12

【解答】解：向量与的夹角为，，，

，

故选：．

3．（5分）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，原图形的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：根据题意，正方形的边长为1，则面积，

则原图形的面积，

故选：．

4．（5分）已知不重合的直线，，和平面，下列命题中真命题是　　

A．如果不平行于，则内的所有直线均与异面 

B．如果，，，是异面直线，那么与相交 

C．如果，，，共面，那么 

D．如果上有两个不同的点到的距离相等，则

【解答】解：对于，如果不平行于，则可能与内的直线相交，

故错，

对于，，，，是异面直线，可知与也可能平行，

故错，

对于，，，，共面，则，

故正确，

对于，上有两个不同的点到的距离相等，则也可能与相交，

故错误，

故选：．

5．（5分）在中，，边上的高等于，则等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：设中角、、、对应的边分别为、、，于，令，

在中，，边上的高，

，，

在中，，故，

．

故选：．

6．（5分）已知侧棱和底面垂直的三棱柱的所有棱长均为3，为侧棱的中点，为侧棱上一点，且，为上一点，且平面，则的长为　　

A．1 B．2 C． D．

【解答】解：如图，取上一点，，延长至点，

连接，连接，使，，，连接，

，，四边形是平行四边形，

，平面，平面，

，同理平面，且，

平面平面，平面，平面，

，△，

，，．

故选：．

7．（5分）如图，在平行四边形中，，，与交于点，设，，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为平行四边形中，，，

故，故，

，故，

所以，

故，所以．

故选：．

8．（5分）在钝角中，，，分别是的内角，，所对的边，点是的重心，若，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【解答】解：如图所示：

，

连接，并延长交于，

由是三角形的重心，得是的中点，

，，

由重心的性质得，即，

由余弦定理得：，

，

，，

，

则，

，，，为锐角，

是钝角三角形，或为钝角，

或，

将代入得：，，，

．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．（5分）设，则下列命题为真命题的是　　

A．若，则 

B．若与都是实数，则 

C．若，则的最大值为 

D．若为纯虚数，则

【解答】解：对于，，，，

，

若，则可能是复数，故错误；

对于，为实数，则，，

为实数，

，，，

，则，故正确；

对于，若，则，表示以原点为圆心，半径为1的圆，

表示圆上的动点与点之间的距离，

的最大值为：，故正确；

对于，，，

，

为纯虚数，且，解得或，故错误．

故选：．

10．（5分）已知中，角，，所对的边分别为，，，下列条件中，能使的形状唯一确定的有　　

A．，， B． 

C．，， D．，，

【解答】解：对于，，即，有唯一解，故符合题意；

对于，，即，得，故，或，故，或，故有两解，不符合题意；

对于，显然，且，则必有一解，故符合题意；

对于，因为，且，故该题必有一解，故符合题意．

故选：．

11．（5分）六氟化疏，化学式为，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体），如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点．若相邻两个氟原子间的距离为（不计氟原子的大小），则　　

A．直线与为异面直线 B．平面平面 

C．直线与为异面直线 D．八面体外接球体积为

【解答】解：连接与，设，则为正方形的中心，连接，

根据正棱锥的性质可知必过点，即，所以、、、四点共面，所以、共面，故错误；

显然、、、四点不共面，故直线与为异面直线，即正确；

因为，平面，平面，所以平面，

依题意，

所以，所以，即为等腰直角三角形，

所以，即四边形为平行四边形，所以，

平面，平面，所以平面，

又，，平面，所以平面平面，故正确；

显然，则即为外接球的球心，外接球的半径，

所以外接球的体积，故正确；

故选：．

12．（5分）对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是　　

A．过点的直线交、于、，若，，则 

B．与共线 

C． 

D．

【解答】解：对于，设的中点为，

则，

因为，，三点共线，

则，

所以，故正确；

对于

，

所以与垂直，

又，则与共线，故正确；

对于，等价于，等价于，即，

对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，

比如直角三角形中，若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直，故错误；

对于，因为，

，

两式相减得，

同理，

若，则该向量同时垂直于，显然不可能，

，故正确．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．（5分）已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是　且　．

【解答】解：，，

，

与的夹角为锐角，

，且与不共线，

，且

解得且

故答案为：且

14．（5分）已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位）：甲：；乙：；丙：．在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数　　．

【解答】解：设，则，

甲：由已知可得，则，

乙：由可得：，

丙：由可得：，所以，

若，则，则不成立，，则，解得或，

所以甲，丙正确，乙错误，

此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，

所以，

故答案为：．

15．（5分）在中，，，，的平分线交于，为边上的高，则的面积为 　　．

【解答】解：如图，作，则，

为等边三角形，设，，，即，，即，

在中，，

，，

，，

在，，，

．

故答案为：．

16．（5分）如图，在边长为2的正方形中，，分别为边，上的动点，以为边作等边，使得点，位于直线的两侧，则的最小值为 　　．

【解答】解：如图，连接，设，的中点分别为，，连接，，．

设，，

，

在中，由勾股定理得：，

则，

因为，的中点分别为，，则为的中位线，

所以且，

所以，

在中，由勾股定理得：，

所以，

在等边中，为的中点，则，

，

．

在中，由余弦定理可得：，

当与重合时，，，不存在，但可验证上述等式成立，

所以，

当且仅当时等号成立．

因为关于的函数在，上单调递增，

所以，当且仅当时等号成立．

所以，当且仅当，时等号成立．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知复数满足的虚部为8．

（1）求复数；

（2）设复数、、在复平面上对应点分别为、、，若在第一象限，求的值．

【解答】解：（1）设，

由已知条件得，，

的虚部为8，，

联立，解得或，

即或；

（2），，

，，，

，，，

则．

18．（12分）如图所示，已知是所在平面外一点，，分别是，的中点，平面平面．求证：

（1）．

（2）平面．

【解答】证明：（1），面，面，

面面，．（6分）

（2）取的中点，连结，，

则，，又，，

平面平面．又平面，

平面．（12分）

19．（12分）已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）若是的中线，且，求的最大值．

【解答】解：（1）因为，

所以，

由正弦定理得，，

由余弦定理得，，

因为，所以．

（2）因为是的中线，所以，

所以，

即，

所以，

当且仅当时，等号成立，

所以，即的最大值为8．

20．（12分）已知正方体中，、分别为对角线、上的点，且．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）若是上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．

【解答】（Ⅰ）证明：连结并延长与的延长线交于点，

因为四边形为正方形，所以，

故，所以，

又因为，所以，所以．

又平面，平面，故平面．（6分）

（Ⅱ）当的值为时，能使平面平面．

证明：因为，即有，故，所以．

又平面，平面，

所以平面，又，平面．

所以平面平面．（12分）

21．（12分）如图所示，有一块等腰直角三角形地块，，长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从的中点引出两条成的线段和，与和围成四边形区域，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设，试求花卉种植面积的取值范围．

【解答】解：在中，，

由正弦定理得，

，

在中，，

由顶线定理得，

，

，

，

为四边形区域，

，

，

，

，

花卉种植面积取值范围是．

22．（12分）已知平面直角坐标系中，点，点（其中，为常数，且，点为坐标原点．如图所示，设点，，，，是线段的等分点，其中，．

（1）当时，求的值（用含，的式子表示）；

（2）当，时，求的最小值．

（说明：可能用到的计算公式：．

【解答】解：（1）由题意得，

所以，

事实上，对任意正整数，，且，

有，

，

所以，

所以当时，；

（2）当，时，

，同理，

，

，

，

当，7，8，9时，，

当时，上式有最小值，

当时，，

当，2，3，4时，，

当时，上式有最小值，

综上，的最小值是．

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