2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知，，，则　　

A．，，共线 B．，，共线 C．，，共线 D．，，共线

3．（5分）设为虚数单位），则复数的虚部为　　

A． B．2 C． D．

4．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则　　

A． B． C． D．3

5．（5分）在平行四边形中，设，为的靠近的三等分点，与交于，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

7．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

8．（5分）某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人必须在20分钟内从处到达处，则此人的最小速度为　　

A． B． C． D．

二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选不得分，计20分）

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．在中，满足的三角形有两个 

B．在中，若，则 

C．在中，是的充要条件 

D．在中，

10．（5分）已知复数，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，则是纯虚数 

C．复数的模的最大值为2 

D．复数的模长为定值

11．（5分）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．

12．（5分）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是　　

A． 

B．的面积为 

C． 

D．在的外接圆上，则的最大值为

三、填空题（每题5分，计20分）

13．（5分）设复数满足为虚数单位），则　　．

14．（5分）　　．

15．（5分）在中，，，则角的大小为　 　．

16．（5分）点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中．若，则与的面积之比为 　　．

四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题每题12分，计70分）

17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量．

18．（12分）在复平面内，复数（其中为虚数单位，．

（1）若复数为纯虚数，求的值；

（2）若复数，求的值．

19．（12分）已知，，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

20．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）若且，求的值．

21．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，且．

（1）若，求；

（2）若，求．

22．（12分）如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），，，，

（1）若，，求；

（2）已知，记四边形的面积为，

①求的最大值；

②若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（直接写结果，不需要过程）

2021-2022学年江苏省盐城市响水中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）

1．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

故选：．

2．（5分）已知，，，则　　

A．，，共线 B．，，共线 C．，，共线 D．，，共线

【解答】解：，，，

，，，

则与不共线，与不共线，与不共线，

而，故，，三点共线，

故选：．

3．（5分）设为虚数单位），则复数的虚部为　　

A． B．2 C． D．

【解答】解：设，为实数），

因为，

所以，

即，

所以，．

故选：．

4．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，且，，，则　　

A． B． C． D．3

【解答】解：在中，角，，的对边分别为，，，且，，，

利用余弦定理：，

整理得：，

解得或（负值舍去），

所以．

故选：．

5．（5分）在平行四边形中，设，为的靠近的三等分点，与交于，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由已知，可得，

则，

故选：．

6．（5分）已知中，，，分别是角，，的对边，且满足，则该三角形的形状是　　

A．等腰三角形 B．直角三角形 

C．等边三角形 D．等腰或直角三角形

【解答】解：已知中，满足，

利用正弦定理整理得：，

转换为，

故，整理得，与三角形的内角相矛盾，

故，

整理得：，解得．

故为直角三角形，

故选：．

7．（5分）已知，则的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

，

故选：．

8．（5分）某观测站在目标的南偏西方向，从出发有一条南偏东走向的公路，在处测得与相距的公路处有一个人正沿着此公路向走去，走到达，此时测得距离为，若此人必须在20分钟内从处到达处，则此人的最小速度为　　

A． B． C． D．

【解答】解：如图，易知，，，，

由余弦定理可得，．

又在中，由正弦定理得：．

由余弦定理得，即，

，

解得：或（舍去），

．

此人必须在20分钟内从处到达处，则此人的最小速度为小时．

故选：．

二、多选题（每题5分，漏选得2分，错选不得分，计20分）

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．在中，满足的三角形有两个 

B．在中，若，则 

C．在中，是的充要条件 

D．在中，

【解答】解：选项，由，可得，所以三角形有一个，选项错误．

选项，，当时，等式成立，所以选项错误．

选项，由正弦定理，得，

其中是三角形外接圆的半径，所以选项正确．

选项，由正弦定理和比例的性质，可知选项正确．

故选：．

10．（5分）已知复数，则下列说法正确的是　　

A．若，则 

B．若，则是纯虚数 

C．复数的模的最大值为2 

D．复数的模长为定值

【解答】解：．因为，

两边平方得，

则，

所以，

所以，故正确；

．当时，，则，故正确；

．，故错误；

．由知正确；

故选：．

11．（5分）八卦是中国文化中的基本哲学概念，如图①是八卦模型图，其平面图形记为图②中的正八边形，其中，则下列结论中正确的是　　

A． B． C． D．

【解答】解：选项八卦图为正八边形，中心角为，，

则中为等腰直角三角形，，，即正确，

选项，，为直角三角形，，即错误，

选项，，为直角三角形，，即正确，

选项，正八边形的边长为，

，即错误．

故选：．

12．（5分）已知中，，，，在上，为的角平分线，为中点，下列结论正确的是　　

A． 

B．的面积为 

C． 

D．在的外接圆上，则的最大值为

【解答】解：在三角形中，由余弦定理，

，故，故正确；

在中，由余弦定理得：，

，故正确；

由余弦定理可知：，，

平分，，

，

在三角形中，由正弦定理可得：，故，故错误；

，，，，

，

为的外接圆的直径，故的外接圆的半径为1，

显然当取得最大值时，在优弧上．

故，设，则，，

，

，，

，其中，，

当时，取得最大值，故正确．

故选：．

三、填空题（每题5分，计20分）

13．（5分）设复数满足为虚数单位），则　2　．

【解答】解：由题意得．

故．

故答案为：2．

14．（5分）　　．

【解答】解：原式．

故答案为：．

15．（5分）在中，，，则角的大小为　　．

【解答】解：中，，，

，，．

又，，，．

，．

故答案为：．

16．（5分）点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中．若，则与的面积之比为 　　．

【解答】解：设的中点为，则，

又，即，

，，

又，，

，即，

．

故答案为：．

四、解答题（17题10分，18、19、20、21、22题每题12分，计70分）

17．（10分）已知，，是同一平面内的三个向量，其中．

（1）若，且，求的坐标；

（2）若，且与垂直，求在方向上的投影向量．

【解答】解：（1）设，

由，知①，

由，知②，

联立①②，解得，或，，

故．

（2）与垂直，

，即，

，

在方向上的投影向量为．

18．（12分）在复平面内，复数（其中为虚数单位，．

（1）若复数为纯虚数，求的值；

（2）若复数，求的值．

【解答】解：（1）复数为纯虚数，

，可得．

（2）复数，

，可得．

19．（12分）已知，，求下列各式的值：

（1）；

（2）．

【解答】解：（1）因为，，

所以，

所以，

，

所以；

（2）由（1）知，，

．

20．（12分）已知函数．

（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；

（2）若且，求的值．

【解答】解：（1），

，

令，，

解得，

在，上递增．

（2），

，

，

，

，

．

21．（12分）在中，角，，的对边分别为，，，，且．

（1）若，求；

（2）若，求．

【解答】解：（1），

，

由正弦定理得，

，

或．

（2），

，

，

由正弦定理得．

22．（12分）如图，在平面凸四边形中（凸四边形指没有角度数大于的四边形），，，，

（1）若，，求；

（2）已知，记四边形的面积为，

①求的最大值；

②若对于常数，不等式恒成立，求实数的取值范围．（直接写结果，不需要过程）

【解答】解：（1）在中，，，，

所以由余弦定理得，

在中，，，

所以由余弦定理得，即，

解得．

（2）在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，

所以，即，

而面积，

所以，即，

所以，

所以当时，即，时，四边形面积的最大值为，

②，

提示：，下面研究的范围．

当增大时，增大，从而随之增大，所以，当，，趋于共线时，趋于，

其中钝角满足；

当减小时，减小，从而随之减小，所以，当，，趋于共线时，趋于，

其中锐角满足，

所以，

令，则在上递增，在上递减，

并且，，，

所以，，即，

所以．

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