2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）　　

A． B． C． D．

2．（5分）已知，为不共线的向量，且，，，则　　

A．，，共线 B．，，共线 C．，，共线 D．，，共线

3．（5分）若函数正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：（1），，，，．．则方程的一个近似值（精确到为　　

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

4．（5分）已知点是所在平面上一点，且满足，则　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，若其面积为，且，则角的大小为　　

A． B． C． D．

6．（5分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先在处看到山顶的俯角为，经过后，又在处看到山顶的俯角为，则山顶的海拔约为　　（结果精确到0.1，参考数据：．

A． B． C． D．

7．（5分）已知函数．下列结论不正确的是　　

A．最小正周期为 

B．单调递增区间是 

C．最大值为2 

D．

8．（5分）已知锐角中，角、、对应的边分别为、、，，若，则的最小值是　　

A．1 B． C．2 D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．在中，满足的三角形有两个 

B．在中，若，则 

C．在中，是的充要条件 

D．在中，

10．（5分）设向量，满足，且，则以下结论正确的是　　

A． B． C． D．，

11．（5分）下列说法正确的是　　

A．已知方程的解在，内，则 

B．函数的零点是， 

C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于2，则实数的取值范围是 

D．若函数在区间上有零点，则一定有（a）（b）

12．（5分）已知函数，则　　

A．是偶函数 

B．的最小正周期为 

C．在区间上单调递增 

D．对任意，

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知，且，则　　．

14．（5分）若的三条边长分别为5，7，8，则的面积为 　　．

15．（5分）若函数至少有3个零点，则实数的范围为 　　．

16．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上．则的最小值为 　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量．

（1）若与向量垂直，求实数的值；

（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．

18．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

19．（12分）问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，．

（1）求；

（2）若的面积为，_____，求．

请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

20．（12分）如图，在中，，，，、分别是线段、上一点，且，．

（1）设，，设，求；

（2）若为线段与线段的交点，求．

21．（12分）高邮某景区拟开辟一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，，，，．

（1）求电瓶车专用道的长；

（2）由于受资金的限制，折线步行道（即不能超过12 ，问景区是否可以铺设该步行道？（参考公式：

22．（12分）若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”

（1）写出和在，上的一个“区间”，并说明理由；

（2）若，且在区间，上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．

2021-2022学年江苏省扬州市高邮市高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

2．（5分）已知，为不共线的向量，且，，，则　　

A．，，共线 B．，，共线 C．，，共线 D．，，共线

【解答】解：因为，

所以，

因为为不共线，所以为非零向量，

若存在，使得，

则，

即，

因为，不共线，所以，即，此方程组无解，

故与不共线，所以，，不共线，故不正确；

因为，即与共线，又与有公共点，所以，，共线，故正确；

若存在，使得，则，即，

因为不共线，所以，即，此方程组无解，

故与不共线，所以，，不共线，故不正确；

若存在，使得，则，即，

因为不共线，所以，即，此方程组无解，

故与不共线，所以，，不共线，故不正确．

故选：．

3．（5分）若函数正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：（1），，，，．．则方程的一个近似值（精确到为　　

A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．1.5

【解答】解：由表中数据（1），，，

，．．

中结合二分法的定义得，

零点应该存在于区间中，

观察四个选项，方程的一个近似值（精确到为1.4，

与其最接近的是，

故选：．

4．（5分）已知点是所在平面上一点，且满足，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为，

所以，

化简可得：，

故选：．

5．（5分）在中，若其面积为，且，则角的大小为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，

得，

则，又，

所以，

故选：．

6．（5分）如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔，速度为，飞行员先在处看到山顶的俯角为，经过后，又在处看到山顶的俯角为，则山顶的海拔约为　　（结果精确到0.1，参考数据：．

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，．

根据正弦定理，，

．

．

所以，山顶的海拔高度为．

故选：．

7．（5分）已知函数．下列结论不正确的是　　

A．最小正周期为 

B．单调递增区间是 

C．最大值为2 

D．

【解答】解：，

最小正周期，即选项正确；

令，，，则，，，

所以的单调递增区间为，，，即选项错误；

最大值为2，即选项正确；

，即选项正确．

故选：．

8．（5分）已知锐角中，角、、对应的边分别为、、，，若，则的最小值是　　

A．1 B． C．2 D．

【解答】解：，，

，

，，

，即，，

；

又，，，

，

是锐角，，

，当且仅当时取等号，

的最小值是．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.

9．（5分）下列说法正确的是　　

A．在中，满足的三角形有两个 

B．在中，若，则 

C．在中，是的充要条件 

D．在中，

【解答】解：由正弦定理得，

所以，

由得，

故，错误；

由得或，错误；

由，正确；

由正弦定理得，，，

所以，正确．

故选：．

10．（5分）设向量，满足，且，则以下结论正确的是　　

A． B． C． D．，

【解答】解：因为，且，

所以，

所以，故，选项正确；

因为，

所以，错误；

因为，

所以，正确；

因为，

所以，错误；

故选：．

11．（5分）下列说法正确的是　　

A．已知方程的解在，内，则 

B．函数的零点是， 

C．方程的一个实根在区间内，另一个实根大于2，则实数的取值范围是 

D．若函数在区间上有零点，则一定有（a）（b）

【解答】解：对于，令，显然为增函数，

因为（1），（2），

所以在内有唯一零点，

所以方程在内有唯一解，

因为方程的解在，内，所以，故正确；

对于，令，得或，

所以函数的零点是和3，故不正确；

对于，令，依题意可得，即，解得，故正确；

对于，因为在上有两个零点，但是（3），故不正确；

故选：．

12．（5分）已知函数，则　　

A．是偶函数 

B．的最小正周期为 

C．在区间上单调递增 

D．对任意，

【解答】解：，所以是偶函数，故正确；

当，，时，，

当，，时，，

画出的图象，如图所示，由图可知，正确，错误．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．（5分）已知，且，则　　．

【解答】解：，

，

又，，

．

故答案为：．

14．（5分）若的三条边长分别为5，7，8，则的面积为 　　．

【解答】解：的三边长分别为，，，

则，，

，

的面积为．

故答案为：．

15．（5分）若函数至少有3个零点，则实数的范围为 　，　．

【解答】解：因为函数至少有3个零点，

所以函数的图象与直线至少有3个交点，

如图所示：

当直线与抛物线相切时，

联立，

消去并整理得，

根据题意有△，解得，

当经过点时，，得，

由图可知，当函数的图象与直线至少有3个交点时，．

故答案为：，．

16．（5分）折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其平面图如图2的扇形，其中，，点在弧上．则的最小值为 　　．

【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，

设，

则，，，，

则，，，

则，

又，

则，即时，取最小值，

故答案为：．

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量．

（1）若与向量垂直，求实数的值；

（2）若向量，且与向量平行，求实数的值．

【解答】解：（1），．

与向量垂直，，解得．

（2），与向量平行，

，解得．

18．（12分）已知．

（1）求的值；

（2）求的值．

【解答】解：（1），，所以，，

，

．

（2）．

19．（12分）问题：在中，内角，，所对的边分别为，，，．

（1）求；

（2）若的面积为，_____，求．

请在①；②；③这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．

【解答】解：（1），

由正弦定理，可得，

，，

，；

（2），，

若选①：，，即，

由余弦定理，可得，解得；

若选②：，，即，

由余弦定理，可得，解得；

若选③：，，

所以，即，，所以三角形为直角三角形，此时，

，解得，，

，则．

20．（12分）如图，在中，，，，、分别是线段、上一点，且，．

（1）设，，设，求；

（2）若为线段与线段的交点，求．

【解答】解：（1）由，．

则，

则，即；

（2）设，，

又，

即，

即，

又不共线，

则，即，

即，

则，

则．

21．（12分）高邮某景区拟开辟一个平面示意图如图的五边形观光步行道，为景点电瓶车专用道，，，，．

（1）求电瓶车专用道的长；

（2）由于受资金的限制，折线步行道（即不能超过12 ，问景区是否可以铺设该步行道？（参考公式：

【解答】解：（1）在中，．，

由余弦定理可得

，，．

在中，，，

电瓶车专用道的长为15；

（2）设，则，，，

在中，由正弦定理得，即，

，，

，

设，．，

在，上单调递增，．

，景区不可以铺设该步行道．

22．（12分）若函数和的图象均连续不断，和均在任意的区间上不恒为0，的定义域为，的定义域为，存在非空区间，满足：，均有，则称区间为和的“区间”

（1）写出和在，上的一个“区间”，并说明理由；

（2）若，且在区间，上单调递增，是和的“区间”，证明：在区间上存在零点．

【解答】解：（1），，

令，则，

，，，，即，

，，所以，

令，解得，，

和在，上的一个“区间”为．

（答案为的非空子集都可）

（2）是和的“区间”，

均有，

在区间，上单调递增，

而（1），则（1），

又，则，

在内有零点，

在区间上存在零点．

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