2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数满足，则　　A．1 B． C． D．52．（5分）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是　　A．和 B．和 C．和 D．和3．（5分）　　A． B． C． D．4．（5分）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数满足，则的虚部是　　A．1 B． C． D．5．（5分）函数的零点个数为　　A．1 B．2 C．3 D．46．（5分）已知，则的值是　　A． B． C． D．7．（5分）已知中，，，，，，则　　A． B． C． D．8．（5分）在平面四边形中，，，，，则的最小值为　　A． B． C． D．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．（5分）设为复数，则下列命题中正确的是　　A． B． C．若满足，则是纯虚数 D．若复数，，则10．（5分）已知向量的夹角为，且，则下列结论正确的是　　A． B． C．在中，若，则 D．若，则实数11．（5分）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是　　A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为锐角三角形12．（5分）已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，，则下列说法正确的有　　A． B． C． D．可以取到3三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知复数满足，则的最大值为 　　．14．（5分）已知点，，将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点的坐标为 　　．15．（5分）已知，，，，，，则　　．16．（5分）已知圆是四边形的外接圆，，，，则圆的半径为 　　；四边形的面积为 　　．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量，其中．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．18．（12分）设复数，，其中，．（1）若复数为实数，求的值；（2）求的取值范围．19．（12分）已知函数．．（1）若，求函数的零点个数；（2）已知，，若方程在区间，内有且只有一个解，求实数的取值范围．20．（12分）已知正六边形的边长为1，（1）当点满足_____时，；（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；（3）若点是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围．21．（12分）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．问题：设内角，，所对的边分别为，，，且______．（1）求；（2）若，边的中线，求的面积．22．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．（1）若函数，求函数的伴随向量；（2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值；（3）若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．
2021-2022学年江苏省扬州市邗江区高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数满足，则　　A．1 B． C． D．5【解答】解：已知，则，即，故选：．2．（5分）设，是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是　　A．和 B．和 C．和 D．和【解答】解：，是平面内所有向量的一组基底，，不共线，与不共线，与不共线，与不共线，，故与共线，故选：．3．（5分）　　A． B． C． D．【解答】解：，故选：．4．（5分）欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种特殊情况．根据欧拉公式，若复数满足，则的虚部是　　A．1 B． C． D．【解答】解：由题意得，所以，则的虚部是1．故选：5．（5分）函数的零点个数为　　A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：函数的零点个数，就是方程根的个数，也就是与图象交点的个数，如图：由图象可知两个函数的交点个数为3，故选：．6．（5分）已知，则的值是　　A． B． C． D．【解答】解：，，则．故选：．7．（5分）已知中，，，，，，则　　A． B． C． D．【解答】解：由题可得，所以，故选：．8．（5分）在平面四边形中，，，，，则的最小值为　　A． B． C． D．【解答】解：设，在中，由正弦定理得即，由余弦定理得，且，中，由余弦定理得，，当时，取得最小值．故选：．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．（5分）设为复数，则下列命题中正确的是　　A． B． C．若满足，则是纯虚数 D．若复数，，则【解答】解：对于，令，，，故错误，对于，设，，，故，故正确，对于，设，，，，，，为纯虚数，故正确，对于，设复数，，，，，，，，，故，故，故正确．故选：．10．（5分）已知向量的夹角为，且，则下列结论正确的是　　A． B． C．在中，若，则 D．若，则实数【解答】解：由向量的夹角为，且，可得，对于选项，，即选项正确；对于选项，，即选项正确；对于选项，，即选项错误；对于选项，，则，所以，即，即选项错误，故选：．11．（5分）已知的内角，，所对的边分别为，，，则下列说法正确的是　　A．若，则一定是等腰三角形 B．若，则 C．若为锐角三角形，则 D．若，则为锐角三角形【解答】解：选项，由正弦定理及，得，即，所以或，所以或，故为等腰三角形或直角三角形，即选项错误；选项，由正弦定理知，，因为，所以，所以，即选项正确；选项，因为锐角，所以，即，且，，因为函数在上单调递增，所以，即选项正确；选项，因为，所以，所以为锐角，但无法确定和是否为锐角，即选项错误．故选：．12．（5分）已知函数，方程有四个不同的实数根，从小到大依次是，，，，则下列说法正确的有　　A． B． C． D．可以取到3【解答】解：画出的图象如右图，令，则有，，其△，关于的方程有2不等根，，且，，不妨设，，要使已知中关于的复杂方程有4个不等实根，则关于的2简单方程与总共有4个不等实根，如图即与，共有4个交点，交点的横坐标即为根，，，，，且，当时，，当时，代入得，选项正确，此时，，，．选项错误，又，，，选项正确，又，，，，，选项错，故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知复数满足，则的最大值为 　　．【解答】解：设，，，复数满足，，在复平面内表示圆上的点，圆的圆心为，半径为，表示点与点的距离，的最大值为．故答案为：．14．（5分）已知点，，将向量按顺时针方向旋转后得到向量，则点的坐标为 　　．【解答】解：在平面直角坐标系中，点，，设的倾斜角为，则，，，，将向量绕点按顺时针方向旋转后得向量，则与轴正方向所成的角为，则点的横坐标为，点的纵坐标为，即点．故答案为：．15．（5分）已知，，，，，，则　　．【解答】解：，，，，，，，，，，，．，，，，则．再结合，，，故答案为：．16．（5分）已知圆是四边形的外接圆，，，，则圆的半径为 　　；四边形的面积为 　　．【解答】解：连接，在中，由余弦定理知，，所以，由正弦定理知，，所以圆的半径．因为圆是四边形的外接圆，所以，在中，由余弦定理知，，即，解得，所以四边形的面积．故答案为：；．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知向量，其中．（1）求，；（2）求与的夹角的余弦值．【解答】解：（1），，，，．（4分）（2）（6分）与的夹角的余弦值为：．（10分）18．（12分）设复数，，其中，．（1）若复数为实数，求的值；（2）求的取值范围．【解答】解：（1）由题意，若复数为实数，则，即，，，解得：；（2）由题意，．由于，，故，，，则取值范围是．19．（12分）已知函数．．（1）若，求函数的零点个数；（2）已知，，若方程在区间，内有且只有一个解，求实数的取值范围．【解答】解：（1），当时，△，函数有一个零点；（2分）当时，△，函数有两个零点．（4分）（2）等价于，设，，则原命题等价于两个函数与的图象在区间，内有唯一交点，当时，在区间，内为减函数，为增函数，且（1）（1），（2）（2），所以函数与的图象在区间，内有唯一交点．（6分）当时，图象开口向下，对称轴为，所以在区间，内为减函数，为增函数．则由，所以．（8分）当时，图象开口向上，对称轴为，所以在区间，内为减函数，为增函数．则由，所以．（10分）综上所述，实数的取值范围为，．（12分）20．（12分）已知正六边形的边长为1，（1）当点满足_____时，；（注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）（2）若点为线段（含端点）上的动点，且满足，求的取值范围；（3）若点是正六边形内或其边界上的一点，求的取值范围．【解答】解：（1）建系如图，则因为，设，所以，，又因为，所以，，可得，又因为，所以，直线，所以，为直线上的任意一点即可（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一），（2）建系如图，则，设，由，可得：，所以，解得，所以．（3）设，因为点是正六边形内或其边界上的一点，则，则．21．（12分）从①，②，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．问题：设内角，，所对的边分别为，，，且______．（1）求；（2）若，边的中线，求的面积．【解答】解：（1）选择条件①：由正弦定理及，可得，因为，所以，所以，又，所以，即．选择条件②：由正弦定理及，可得，因为，所以，所以，即，又，所以．（2）由正弦定理，得，所以，因为边的中线，所以，所以，解得，所以的面积为．22．（12分）已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数．（1）若函数，求函数的伴随向量；（2）若函数的伴随向量为，且函数在上有且只有一个零点，求的最大值；（3）若函数的伴随向量为，，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．【解答】（1）解：，函数的伴随向量为；（2）解：，即，函数在上有且只有一个零点，当时，，当时，，函数在上有且只有一个零点，则的最大值为；（3）解：由题意可知：因此：，所以，由已知条件，上式对任意恒成立，必有，若，由①知：，不满足③式，故，由②知：，故或，当时，则①③矛盾，故，则，由①③知：，综上，原式．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:09:03；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367