2021-2022学年江苏省镇江实验高级中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省镇江实验高级中学高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）函数的最小正周期是　　

A． B． C． D．

2．（5分）的值为　　

A． B． C． D．1

3．（5分）下列各组的两个向量，共线的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

4．（5分）的值是　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

7．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

8．（5分）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择．为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照．已知慈寿塔的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点与湖对岸，点，设宝塔底部点和这三个点在同一直线上，无人机从点沿直线飞行200米到达宝塔顶部点后，然后再飞到点的正上方，对山脚的江天禅寺区域进行拍照．现测得从处看宝塔顶部的仰角为，，米．若无人机在点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的高度为　　

A．米 B．米 C．米 D．200米

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）关于基本立体图形，下列说法正确的是　　

A．由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱 

B．棱锥的底面是多边形，侧面可以是四边形 

C．将棱台的侧棱延长后必定交于一点 

D．将直角三角形绕着其一边旋转一周形成的图形叫做圆锥

10．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点　　

A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变） 

B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变） 

C．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度 

D．横坐标缩短为原来的音（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度

11．（5分）下列说法错误的是　　

A．若，，则 

B．若，则存在唯一实数使得 

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 

D．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是，

12．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是　　

A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 

C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）人们经过长期观察与实践，总结出平面有三个基本事实．其中基本事实2：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（如图），请用符号语言表述基本事实2是 　　．

14．（5分）在中，，，，则　　．

15．（5分）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．已知0.618是黄金分割比的近似值，而黄金分割比还可以表示为，则　　．（结果用表示）

16．（5分）已知直角梯形，，，，是边上的一动点，则的取值范围为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（1）已知，求的值；

（2）证明：．

18．（12分）已知不共线的平面向量，满足，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

19．（12分）已知函数的部分图象如图所示：

（1）求函数的解析式；

（2）求出函数的单调递增区间．

20．（12分）已知向量．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

21．（12分）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）若边上的中线长为，且，求的面积．

22．（12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设．

（1）求灯柱的高（用表示）；

（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？

2021-2022学年江苏省镇江实验高级中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（5分）函数的最小正周期是　　

A． B． C． D．

【解答】解：函数中，

函数的最小正周期是

故选：．

2．（5分）的值为　　

A． B． C． D．1

【解答】解：．

故选：．

3．（5分）下列各组的两个向量，共线的是　　

A．， B．， 

C．， D．，

【解答】解：，，不共线；

，不共线；

，，共线；

，不共线．

故选：．

4．（5分）的值是　　

A． B． C． D．

【解答】解：．

故选：．

5．（5分）在中，若，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由正弦定理及，知，即，

所以．

故选：．

6．（5分）已知，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由知，，，

则，

即，

即，

则，

故选：．

7．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：，

，

故选：．

8．（5分）如图，镇江金山的江天禅寺是历史悠久的佛教圣地，其周围的金山湖公园也成为市民休闲旅游的最佳选择．为了扩大对家乡旅游的宣传，现对江天禅寺进行无人机拍照．已知慈寿塔的右侧是金山湖，我们选择了三个点，分别是宝塔左侧一点与湖对岸，点，设宝塔底部点和这三个点在同一直线上，无人机从点沿直线飞行200米到达宝塔顶部点后，然后再飞到点的正上方，对山脚的江天禅寺区域进行拍照．现测得从处看宝塔顶部的仰角为，，米．若无人机在点处获得最佳拍照角度时（即最大），该无人机离地面的高度为　　

A．米 B．米 C．米 D．200米

【解答】解：，，

在中，，

在中，由，可得，

设，则，，

则，

当时，即时，最大，最大．

故选：．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．（5分）关于基本立体图形，下列说法正确的是　　

A．由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱 

B．棱锥的底面是多边形，侧面可以是四边形 

C．将棱台的侧棱延长后必定交于一点 

D．将直角三角形绕着其一边旋转一周形成的图形叫做圆锥

【解答】对于，由棱柱的定义得：

由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫棱柱，故正确；

对于，由于棱锥的所有侧棱都交于一点，故棱锥的侧面都是三角形，故错误；

对于，由棱台的定义得：将棱台的侧棱延长后必定交于一点，故正确；

对于，将直角三角形绕斜边为轴旋转一周形成的图形不是圆锥，故错误．

故选：．

10．（5分）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点　　

A．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变） 

B．向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变） 

C．横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度 

D．横坐标缩短为原来的音（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度

【解答】解：要得到函数的图象，

只需将函数的图象上所有点，

向左平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变）故对且不对．

或横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再把图象向左平移个单位长度，故对且不对，

故选：．

11．（5分）下列说法错误的是　　

A．若，，则 

B．若，则存在唯一实数使得 

C．两个非零向量，，若，则与共线且反向 

D．已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是，

【解答】解：对于：若，，则，故错误；

对于：若，则存在唯一实数使得，故错误；

对于：两个非零向量，，若，则与共线且反向，故正确；

对于：已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是，，，故错误；

故选：．

12．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，若为非零实数），则下列结论正确的是　　

A．当时，是直角三角形 B．当时，是锐角三角形 

C．当时，是钝角三角形 D．当时，是钝角三角形

【解答】解：对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，显然是直角三角形；

对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，

显然是等腰三角形，，

说明为锐角，故是锐角三角形；

对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，

可得，说明为钝角，故是钝角三角形；

对于，当时，，根据正弦定理不妨设，，，

此时，不等构成三角形，故命题错误．

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

13．（5分）人们经过长期观察与实践，总结出平面有三个基本事实．其中基本事实2：如果一条直线上有两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内（如图），请用符号语言表述基本事实2是 　，，且，　．

【解答】解：由题意，如果一条直线上有两个点在一个平面内，

那么这条直线在这个平面内，

用符号语言表述为：

，，且，．

故答案为：，，且，．

14．（5分）在中，，，，则　　．

【解答】解：如图，，

，，

，

故答案为：．

15．（5分）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．已知0.618是黄金分割比的近似值，而黄金分割比还可以表示为，则　　．（结果用表示）

【解答】解：因为，

所以，

所以，

所以．

故答案为：．

16．（5分）已知直角梯形，，，，是边上的一动点，则的取值范围为 　，　．

【解答】解：在直角梯形，，，，

则，，，

设，，

则，

又，

则，，

则的取值范围为，，

故答案为：，．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）（1）已知，求的值；

（2）证明：．

【解答】解：（1）因为，

所以两边平方，可得，

所以；

（2）证明：

，得证．

18．（12分）已知不共线的平面向量，满足，．

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值．

【解答】解：（1），且，

存在实数，使得，

不共线的平面向量，满足，，

，解得；

（2），，

，

不共线的平面向量，满足，，

．

19．（12分）已知函数的部分图象如图所示：

（1）求函数的解析式；

（2）求出函数的单调递增区间．

【解答】解：（1）由函数图象可知的最大值为，周期，

，，

又过点，则，

，又，，

．

（2）令，解得：，

的递增区间为，．

20．（12分）已知向量．

（1）若，求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1），

，，

，

，

．

（2），，，

，

化为：，

，

，

，，

结合，

，

，

．

21．（12分）在中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足．

（1）求角；

（2）若边上的中线长为，且，求的面积．

【解答】解：（1）因为中，内角，，所对的边长分别为，，，且满足，

所以，

从而有，

得，

由，从而有，

由为三角形内角得；

（2）设中线交于，则，

得，

即，即，

由，从而有，

得．

22．（12分）某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设．

（1）求灯柱的高（用表示）；

（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？

【解答】解：（1）因为与地面垂直，，所以，

在中，，

由正弦定理得，

解得；

在中，，

由正弦定理得，

解得；

化简得．

（2）中，由正弦定理得，

解得，

所以

；

又，所以，

所以当时，取得最小值为；

所以该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/8/2 9:05:44；用户：高中数学6；邮箱：tdjyzx38@xyh.com；学号：42412367