2021-2022学年江苏省镇江市丹徒区大港中学高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省镇江市丹徒区大港中学高一（下）期中数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若向量，，，则　　

A． B．1 C． D．4

2．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

3．（5分）已知，，则的值为　　

A． B． C．2 D．

4．（5分）在长方体中，，，则异面直线与所成角为　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是　　

A．等边三角形 B．等腰三角形 

C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形

6．（5分）已知是平行四边形所在平面内任意一点，，，，则向量等于　　

A． B． C． D．

7．（5分）若的三条边长分别为5，7，8，则的最大角与最小角之和为　　

A． B． C． D．

8．（5分）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．若实数满足，则的值为　　

A． B． C．2 D．4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）下面四个条件中，能确定一个平面的是　　

A．空间中任意三点 B．一条直线和一个点 

C．两条相交的直线 D．两条平行的直线

10．（5分）已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有　　

A．若，，则 B． 

C．若，则 D．若，则

11．（5分）下列等式成立的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

12．（5分）在中，，边上的中线，则下列说法正确的有　　

A． B． 

C． D．的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

13．（5分）已知向量，，则　　．

14．（5分）若，为锐角，且，，则　　，　　．

15．（5分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的值为 　　．

16．（5分）已知的边，且，则的面积的最大值为 　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量，，与的夹角为．

（1）求的值．

（2）求的值．

18．（12分）已知，且．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

19．（12分）如图，为菱形所在平面外一点，且为正三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且______．

（1）求角；

（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围．

21．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且

（1）求角．

（2）若，，试求的最小值．

22．（12分）如图，等腰直角三角形地块，，为了美化环境，现对该地块进行改造，计划从的中点引出两条成角的射线，分别交，于点，，将四边形区域改造为人工湖，其余区域为草地，设．

（1）当时，求草地的面积；

（2）求人工湖的面积的取值范围．

2021-2022学年江苏省镇江市丹徒区大港中学高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的.

1．（5分）若向量，，，则　　

A． B．1 C． D．4

【解答】解：根据题意，向量，，

若，则，解可得；

故选：．

2．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：在中，，，，

则由正弦定理，可得．

故选：．

3．（5分）已知，，则的值为　　

A． B． C．2 D．

【解答】解：因为，，

则．

故选：．

4．（5分）在长方体中，，，则异面直线与所成角为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由长方体的性质可得，故即为异面直线与所成的角，

在直角三角形中，，

故，而为锐角，故．

故选：．

5．（5分）在中，角，，的对边分别是，，，且，则的形状一定是　　

A．等边三角形 B．等腰三角形 

C．等腰三角形或直角三角形 D．直角三角形

【解答】解：，由正弦定理可得

，

由两角和的正弦公式可得：，

，

可得，

又，，

，

故的形状为等腰三角形．

故选：．

6．（5分）已知是平行四边形所在平面内任意一点，，，，则向量等于　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意作图如下，

，

故选：．

7．（5分）若的三条边长分别为5，7，8，则的最大角与最小角之和为　　

A． B． C． D．

【解答】解：三角形的三边长分别为5，7，8，不妨设7所对的角为，

，

，

，

则该三角形最大角与最小角之和为．

故选：．

8．（5分）古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示．若实数满足，则的值为　　

A． B． C．2 D．4

【解答】解：根据题中的条件可得：，

则．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9．（5分）下面四个条件中，能确定一个平面的是　　

A．空间中任意三点 B．一条直线和一个点 

C．两条相交的直线 D．两条平行的直线

【解答】解：空间中任意三点，当三点共线时，不能确定一个平面，所以不正确；

一条直线和一个点，如果点在直线上，不能确定一个平面，所以不正确；

由平面的基本性质可知：两条相交的直线，两条平行的直线，能确定一个平面，所以正确；

故选：．

10．（5分）已知向量，，是三个非零向量，则下列结论正确的有　　

A．若，，则 B． 

C．若，则 D．若，则

【解答】，且是三个非零向量，则有，故正确；

，

因为，，所以，故正确；

，知，不一定有，故错误；

，即，可得，即，故正确．

故选：．

11．（5分）下列等式成立的是　　

A． 

B． 

C． 

D．

【解答】解：，故错误；

，故正确；

，故正确；

，故错误，

故选：．

12．（5分）在中，，边上的中线，则下列说法正确的有　　

A． B． 

C． D．的最大值为

【解答】解：在中，，边上的中线，

对于，，

由余弦定理知，，

化简得，，即，故正确；

对于，故错误；

对于：在中，由余弦定理知，，当且仅当时取等号；

由可知，由选项可知，，

则，解得：，故，故错误；

对于，

，

所以的最大值为，故正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案填写在答题卡相应的位置上．

13．（5分）已知向量，，则　5　．

【解答】解：根据题意，向量，，则，

则；

故答案为：5．

14．（5分）若，为锐角，且，，则　　，　　．

【解答】解：因为，为锐角，且，，

所以，，

所以，

所以或，

因为，为锐角，且，，

所以，，所以．

故答案为：；．

15．（5分）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的值为 　　．

【解答】解：设，则，因为为等边三角形，则，故，

在中，由余弦定理得，解得，

故，，因此，，

所以，

故答案为：．

16．（5分）已知的边，且，则的面积的最大值为 　　．

【解答】解：由题意，设中角，，所对应的边长度分别为，，，则有，

由，可得，

整理得，

，

，，

，

由正弦定理可得，

，则有．

故的面积

．

，，

当时，的面积取得最大值．

故答案为：．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知向量，，与的夹角为．

（1）求的值．

（2）求的值．

【解答】解：（1）；

（2），

则．

18．（12分）已知，且．

（1）求的值；

（2）若，求的值．

【解答】解：（1）已知，且，

所以：，

故．

  （2）由（1）得：，

故．

19．（12分）如图，为菱形所在平面外一点，且为正三角形，，为的中点．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

【解答】证明：（1）连结，交于点

四边形为菱形，

为中点，

又为中点，连结，

又面，面

平面

（2）取中点，连结、为正三角形，为中点

．

四边形为菱形，且

为正三角形

又为中点

又，、面

面

又面

．

20．（12分）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并进行解答．

问题：在中，内角，，的对边分别为，，，且______．

（1）求角；

（2）若是锐角三角形，且，求的取值范围．

【解答】解：（1）选①，

由正弦定理得，，

因为，

所以，即，

由为三角形内角得，；

若选②，

所以，

所以，

即，

由为三角形内角得，；

若选若选③，

因为，

即，

由为三角形内角得，；

（2）由（1）得，，

因为是锐角三角形，且，

所以，

所以，，

所以，

，

由正弦定理得，，

所以．

21．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，且

（1）求角．

（2）若，，试求的最小值．

【解答】解：（1）（3分）

（5分）

，

（5分）

（2）（6分）

，（8分）

，

从而

当，即时，（12分）

22．（12分）如图，等腰直角三角形地块，，为了美化环境，现对该地块进行改造，计划从的中点引出两条成角的射线，分别交，于点，，将四边形区域改造为人工湖，其余区域为草地，设．

（1）当时，求草地的面积；

（2）求人工湖的面积的取值范围．

【解答】解：（1）当时，在中，，

由正弦定理得：，

可得．

（2）由题意知：，

在中，，

由正弦定理得：，，

在中，，，

由正弦定理得：，，

连接，

，

，

，

，

即人工湖面积的取值范围为：，

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