2021-2022学年江苏省镇江一中高一（下）期中数学试卷

2021-2022学年江苏省镇江一中高一（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）已知向量，，且，则为　　

A． B． C． D．

2．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影向量为　　

A． B． C． D．

3．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

4．（5分）如图，直角梯形的上下两底分别为1和2，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为　　

A． B． C． D．

5．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状为　　

A．等边三角形 B．直角三角形 

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

6．（5分）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于　　（忽略人的身高）（参考数据：

A．49米 B．51米 C．54米 D．57米

7．（5分）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　

A． B． C． D．

8．（5分）已知，分别为的边，上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，，则的最小值为　　

A． B．4 C． D．6

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

9．（5分）设有下列四个命题正确的是　　

A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 

B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 

C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 

D．若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行

10．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．直线是函数图象的一条对称轴 

B．函数在区间上单调递减 

C．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象 

D．若对任意的恒成立，则

11．（5分）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方形所得的截面记为，则下列命题正确的是　　

A．异面直线与所成角为 

B．当运动到某一点时，可能是五边形 

C．当时，为等腰梯形 

D．当时，为矩形

12．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的有　　

A．若，则为等腰三角形 

B．若，则为直角三角形 

C．若为锐角三角形，则 

D．若，则

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）已知向量，，若，则实数的值为　　．

14．（5分）若，则　　．

15．（5分）已知是的重心，若，，则的值为 　　．

16．（5分）设内角，，的对边分别为，，，，点在边上，是的平分线，，则的面积的最小值为 　　，的最小值为 　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.）

17．（10分）已知平面向量，．

（1）若，求；

（2）若，求与夹角的余弦值．

18．（12分）已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，求的最值，并写出取得最值时的值．

19．（12分）如图，，分别是空间四边形的边，的中点，，分别是，上的点，且，，，四点共圆．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

20．（12分）如图，在菱形中，，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求．

（3）若菱形的边长为6，求的取值范围．

21．（12分）在①；②；③．这三个条件中选择一个适合的，补充在下面问题中．

问题：在中，角，，的对边分别为，，，若，____，求的值和的取值范围．

22．（12分）“精准扶贫，修路先行”，为解决城市和山区的物流运输问题，方便地的农产品运输到城市交易，计划在铁路间的某一点处修建一条笔直的公路到达地．示意图如图所示，千米，千米，．

已知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从到的总运费为百元．为了求总运费的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设千米；方案2：设．

（1）试将分别表示为关于、的函数关系式和；

（2）请只选择一种方案，求出总运费的最小值以及此时的长度．

2021-2022学年江苏省镇江一中高一（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．（5分）已知向量，，且，则为　　

A． B． C． D．

【解答】解：向量，，且，

，即，

则．

故选：．

2．（5分）设，均为单位向量，当，的夹角为时，在方向上的投影向量为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由，均为单位向量，且，的夹角为，

则，

则在方向上的投影向量为，

故选：．

3．（5分）在中，，，，则　　

A． B． C． D．

【解答】解：由于中，，，，

利用正弦定理：，

解得，

由于，

所以．

故选：．

4．（5分）如图，直角梯形的上下两底分别为1和2，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：因为直角梯形的上下两底分别为1和2，高为，

所以梯形的面积为，

因为，

所以，

则利用斜二测画法所得其直观图的面积为．

故选：．

5．（5分）在中，角，，的对边分别为，，，且，则的形状为　　

A．等边三角形 B．直角三角形 

C．等腰三角形 D．等腰直角三角形

【解答】解：因为，

所以，可得，

所以，整理可得，

所以为直角，即的形状是直角三角形．

故选：．

6．（5分）滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世．如图，若某人在点测得滕王阁顶端仰角为，此人往滕王阁方向走了42米到达点，测得滕王阁顶端的仰角为，则滕王阁的高度最接近于　　（忽略人的身高）（参考数据：

A．49米 B．51米 C．54米 D．57米

【解答】解：设为，

在中，，

，

在中，，，

，

．

故选：．

7．（5分）在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为　　

A． B． C． D．

【解答】解法一：，是直线与所成的角（或所成角的补角），

设正方体的棱长为2，

则，，，

，

，

直线与所成的角为．

解法二：，直线与所成角为，

在正△中，是的平分线，

．

直线与所成的角为．

故选：．

8．（5分）已知，分别为的边，上的点，线段和线段相交于点，若，且，，其中，，则的最小值为　　

A． B．4 C． D．6

【解答】解：由，得，

由，得，

由，得，

，

因为，，三点共线，所以，所以，

所以，

当且仅当时取等号．

故选：．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.）

9．（5分）设有下列四个命题正确的是　　

A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 

B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 

C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 

D．若直线平行平面，则平面内有无数条直线与平行

【解答】解：对于，两两相交且不过同一点的三条直线，

共有3个不在一条直线上的3个交点，确定一个平面，故正确；

对于，空间中任意三点，若三点共线，则过空间中的这三点有无数个平面，故错误；

对于，空间两条直线不相交，可能异面，故错误；

对于，直线平行平面，则过直线的平面与平面的交线都与平行，而这样的交线有无数条，故正确．

故选：．

10．（5分）已知函数，则下列说法正确的是　　

A．直线是函数图象的一条对称轴 

B．函数在区间上单调递减 

C．将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象 

D．若对任意的恒成立，则

【解答】解：函数，

对于，故正确；

对于：由于，所以，故函数在该区间上有增有减，故错误；

对于：将函数的图象上的所有点向左平移个单位，得到函数的图象，故正确；

对于：函数，整理得，即求出函数的最小值即可，

由于，

所以，故当时取得最小值，故，故正确．

故选：．

11．（5分）如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方形所得的截面记为，则下列命题正确的是　　

A．异面直线与所成角为 

B．当运动到某一点时，可能是五边形 

C．当时，为等腰梯形 

D．当时，为矩形

【解答】解：如图，

正方体中由与平行且相等得平行四边形，得，

因此异面直线与所成角为或其补角，

是正三角形，，

所以异面直线与所成角是正确；

时，是中点，则，

同理选项证明有，因此，

则截面为四边形，

，它是等腰梯形，正确；

时，与重合，

与不可能垂直，因此截面不可能是矩形，错误；

设，如图，

是中点，可证四边形就是选项中的截面，，

记中点为，中点，在上，，

连接，利用，，平行且相等可证明，

在正方形内作交于点，可得在，之间，

因此可在正方形内作与交于点，

连接，就是所作截面，它是五边形，正确．

故选：．

12．（5分）在中，角，，所对的边分别为，，，以下结论中正确的有　　

A．若，则为等腰三角形 

B．若，则为直角三角形 

C．若为锐角三角形，则 

D．若，则

【解答】解：对于，若，利用正弦定理整理得，所以或，则为等腰三角形或直角三角形，故错误；

对于，若，可得若，整理可得：，可得．可得为直角三角形，故正确；

对于，若是锐角三角形，则，，，、、均是锐角，由正弦函数在单调递增，所以：，故正确．

对于，若，整理得：，，所以，，所以，

故，，则，故正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13．（5分）已知向量，，若，则实数的值为　4　．

【解答】解：向量，，

若，则，

解得．

故答案为：4．

14．（5分）若，则　　．

【解答】解：若，

则，

故答案为：．

15．（5分）已知是的重心，若，，则的值为 　2　．

【解答】解：延长交与点，因为是重心，所以为的中点，且，

如图所示：

所以，

又因为，，

所以．

故答案为：2．

16．（5分）设内角，，的对边分别为，，，，点在边上，是的平分线，，则的面积的最小值为 　　，的最小值为 　　．

【解答】解：由，得，

，

，，而，可得．

过点作，交于，，

得为正三角形，

，设，

则，，，

，

当且仅当，即时等号成立．

的面积的最小值为；

由，

当且仅当，即时等号成立．

的最小值为．

故答案为：；．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分.）

17．（10分）已知平面向量，．

（1）若，求；

（2）若，求与夹角的余弦值．

【解答】解：（1）平面向量，，若，则，．

．

（2）若， 1，，，设与夹角为，

则．

18．（12分）已知函数，，，在同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值．

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若，求的最值，并写出取得最值时的值．

【解答】解：（1）由同一周期内，当时，取得最大值3；当时，取得最小值，

则，即，即，

由题意有，，又，则，

即，

令，

则，，

即函数的单调递减区间为，；

（2）由，

则，

则当，即时，取最大值3，则当，即时，取最小值．

19．（12分）如图，，分别是空间四边形的边，的中点，，分别是，上的点，且，，，四点共圆．

（1）求证：平面；

（2）求证：．

【解答】证明：（1）因为，分别是，的中点，所以，

又平面，平面，

所以平面；

（2）因为，平面，平面，

所以平面，

又平面，平面平面，

所以．

20．（12分）如图，在菱形中，，．

（1）若，求的值；

（2）若，，求．

（3）若菱形的边长为6，求的取值范围．

【解答】解：（1）因为，，

所以，，

所以，，

故．

（2），

为菱形，

，即．

（3）

，，

的取值范围：．

21．（12分）在①；②；③．这三个条件中选择一个适合的，补充在下面问题中．

问题：在中，角，，的对边分别为，，，若，____，求的值和的取值范围．

【解答】解：若选①，由，

得，

，

，

，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

由余弦定理得，

因为，当且仅当时取等号，

所以，所以，当且仅当时取等号，

所以，

即的取值范围为；

若选②，由，得，

所以，

解得或（舍去），

因为，所以，

由余弦定理得，

因为，当且仅当时取等号，

所以，所以，当且仅当时取等号，

所以，

即的取值范围为；

若选③，因为，所以由正弦定理得：

，

，

所以，

因为，所以，

所以，

因为，所以，

由余弦定理得，

因为，当且仅当时取等号，

所以，所以，当且仅当时取等号，

所以，

即的取值范围为．

22．（12分）“精准扶贫，修路先行”，为解决城市和山区的物流运输问题，方便地的农产品运输到城市交易，计划在铁路间的某一点处修建一条笔直的公路到达地．示意图如图所示，千米，千米，．

已知农产品的铁路运费为每千米1百元，公路运费为每千米2百元，农产品从到的总运费为百元．为了求总运费的最小值，现提供两种方案建立函数关系，方案1：设千米；方案2：设．

（1）试将分别表示为关于、的函数关系式和；

（2）请只选择一种方案，求出总运费的最小值以及此时的长度．

【解答】解：（1）在中，由余弦定理得，，

得，或（舍去），

方案①：在中，由正弦定理得，

得，，，

在中，设，由余弦定理得，

，

方案②：在中，由正弦定理得，所以，

又，得，，

．

（2）若选择方案①，令，得，

整理得，，

由△得，，得或（舍，

，此时，

即千米时，总运费的最小值为百元，

若选择方案②，令，则，得，

，得，又，，

令，得，，时，，

此时，千米，

总运费的最小值为百元．

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