2020-2021学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）一物体做直线运动，其位移与时间的关系是，则物体在时的瞬时速度为　　

A．4 B．6 C．8 D．10

2．（5分）命题：“”是命题：“曲线表示双曲线”的　　

A．充要条件 B．必要不充分条件 

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

3．（5分）抛物线的焦点是直线与坐标轴的交点，则该抛物线的准线方程是　　

A． B． C． D．

4．（5分）古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日五尺，问日织几何？”意思是：“女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这名女子每天分别织布多少？”某数学兴趣小组依托某制造厂用织布机完全模拟上述情景，则从第一天开始，要使织布机织布的总尺数为165尺，则所需的天数为　　

A．7 B．8 C．9 D．10

5．（5分）若函数在区间单调递增，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

6．（5分）已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是　　

A． B．， C．， D．

7．（5分）在公差不为0的等差数列中，，，，，成公比为4的等比数列，则　　

A．84 B．86 C．88 D．96

8．（5分）已知函数，若对任意的，，都有恒成立，则实数的最大值是　　

A． B．0 C．1 D．2

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（5分）如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是　　

A．在，上是增函数 

B．当时，取得最小值 

C．当时，取得极小值 

D．在，上是增函数，在，上是减函数

10．（5分）等差数列中，，，是数列的前项和，则　　

A． B．是中的最大项 

C．是中的最小项 D．

11．（5分）下列命题中是真命题的是　　

A．的最小值为2 

B．当，时， 

C．若，则的最大值为2 

D．若正数，满足，则的最小值为

12．（5分）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，则以下结论正确的是　　

A． B． 

C． D．的最小值为

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13．（5分）命题“不等式的解集为空集”是真命题，则实数的取值范围是　　．

14．（5分）数列满足，则　　．

15．（5分）已知，若对，，，，使得，则实数的取值范围为　　．

16．（5分）已知双曲线的上、下焦点分别为，，过且垂直于轴的直线与交于，两点，直线，分别交轴于点，，若，则过点，的直线的斜率的最大值为　　，此时双曲线的离心率为　　．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）在①数列为递增的等比数列，且，②数列满足，③数列满足这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，再完成解答．

问题：设数列的前项和为，，_____．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

18．（12分）已知椭圆和直线．

（1）当椭圆与直线有公共点时，求实数的取值范围；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，求的最大值．

19．（12分）已知等差数列的公差为正数．，其前项和为，数列为等比数列，，且，．

（Ⅰ）求数列与的通项公式；

（Ⅱ）求数列的前项和．

（Ⅲ）设，，求数列的前项和．

20．（12分）如图，有一个半圆形场馆，政府计划改建为一个方舱医院，改建后的场馆由病床区（矩形及左右两侧两个大小相同的休闲区（矩形和组成，其中半圆的圆心为，半径为50米，矩形的一边在上，矩形的一边在上，点，，，在圆周上，，在直径上，且，设．若每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，记病床区及休闲区的总造价为（单位：万元）．

（1）求的表达式；

（2）为进行改建预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值．

21．（12分）已知椭圆，右顶点，上顶点为，左、右焦点分别为，，且，过点作斜率为的直线交椭圆于点，交轴于点．

（1）求椭圆的方程；

（2）设为的中点，过点且与垂直的直线交于点，判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．

22．（12分）已知函数，其中．

（Ⅰ）若曲线在点，（2）处的切线的斜率为1，求的值；

（Ⅱ）讨论函数的单调性；

（Ⅲ）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时，．

2020-2021学年江苏省南通市如东县高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．【解答】解：根据题意，，其导数，

则有，

即物体在时的瞬时速度为6，

故选：．

2．【解答】解：曲线表示双曲线，

因为曲线表示双曲线，

所以，解得，

命题：“”是命题：“曲线表示双曲线”的充分不必要条件．

故选：．

3．【解答】解：根据题意，抛物线的标准方程为，其焦点在轴上，

又由直线，令可得：，即直线与轴的交点为，

即抛物线的焦点坐标为，则其准线方程为；

故选：．

4．【解答】解：设该女子所需的天数至少为天，第一天织布尺，

则由题意知：，解得，

则，

解得：，由，

要使织布的总尺数不少于165尺，该女子所需的天数至少为10天．

故选：．

5．【解答】解：由，得，

由函数在区间单调递增，

得在上恒成立，

即在上恒成立，

令，，则，

（1），．

即的取值范围是，．

故选：．

6．【解答】解：，且，，，

，

当且仅当即时，等号成立，

不等式恒成立，

，化简得，，

解得，即，

的取值范围是，．

故选：．

7．【解答】解：设等差数列的公差为．

因为，，，，成公比为4的等比数列，

所以，所以，得．

所以，所以．

即，解得．

故选：．

8．【解答】解：，，

恒成立，且，，

，，

得，

令，，且，

则，令，得．

当时，，单调递减，

当时，，单调递增，

（1）．

．

则实数的最大值是0．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．【解答】解：由函数的图象可知，当，时，，函数是减函数，当，时，，函数是增函数，所以错误，正确；当时，取得极小值，正确；点时，取得极小值，所以错误．

故选：．

10．【解答】解：等差数列中，，，

，正确；

，，

解得，，，

所以没有最小值，错误，

，，，正确，错误．

故选：．

11．【解答】解：对于，令，在，递增，可得，此时，故错误；

对于，，时，，当且仅当时取得等号，故正确；

对于，若，则，当且仅当时，取得等号，故正确；

对于，若正数，满足，即为，

则，当且仅当时，取得等号，故正确．

故选：．

12．【解答】解：由题意可得，所以错误；

可设是第一象限的点，，，

由椭圆的定义可得，，

解得，，

又，

因为，在△中，由余弦定理可得，

化为，则，故正确；

由，可得，即有，故错误；

由，当且仅当，取得等号，

即有的最小值为，故正确．

故选：．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上。

13．【解答】解：命题“不等式的解集为空集”是真命题，

当时，不等式为，解集为空集；

当时，应满足，

即，

解得；

综上知，实数的取值范围是，．

故答案为：，．

14．【解答】解：数列满足①，

当时，②，

①②得：，

故，（首项符合通项）．

故答案为：．

15．【解答】解：在，为增函数，且（1），（3），

，，，．

由，得，

，，，为增函数．

又（1），，

，时，，

对，，，，使得，

，解得．

的取值范围为．

故答案为：．

16．【解答】解：依题意，，，

因为，所以，

所以，

根据双曲线的定义，得，

所以，所以，即，

所以，

易知过点，的直线的斜率存在，且为，

，当且仅当，即时等号成立，

所以过点，的直线的斜率的最大值为4，此时，

所以，所以离心率．

故答案为：4，．

四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．【解答】解：（Ⅰ）选①数列为递增的等比数列，且，

设等比数列的公比为，，

则，解得舍去），

所以；

选②数列满足，

可得，数列是首项为，公比为2的等比数列，

则，即为，

当时，，

也满足上式，

所以，；

选③（1），

当时，（2），

由（2）（1）可得，即，

又因为，，也满足上式，

故数列为首项为2，公比为2的等比数列，所以，；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，

所以

．

18．【解答】解：（1）由消得，

由于直线与椭圆有公共点，

△，得，

故；

（2）设，，，，

由（1）可得：，

，

．此时直线经过坐标原点．

的最大值：．

19．【解答】解：（Ⅰ）等差数列的公差为正数，，

数列为等比数列，设公比为，

，且，，

可得，，

解得，，

则，；

（Ⅱ），

前项和，

，

两式相减可得

，

化简可得；

（Ⅲ）由，

可得，

则前项和

，

则数列的前项和为．

20．【解答】解：（1）由题意半径为50米，显然，如图示，由图形可知：，

在矩形中，，，

所以游泳池面积为．

在矩形中，，，

所以休息区面积为：，

由每平方米病床区的造价和休闲区造价分别为万元和万元，

则；

（2）由（1）得

，

，，，，

令，解得，，，，

，，的变化如下：

故时，总造价取极大值，

即当时，总造价的最大值是万．

21．【解答】解：（1）由题意椭圆，右顶点，得：，

因为在中，，

所以，，，

所以，所以，

所以，，

所以椭圆方程为．（4分）

（2）设直线，

令，则，所以，

将代入，整理得，

设，，则，

所以，，（6分）

设，，因为为的中点，

所以，，

所以，（8分）

设直线过定点，，则，则，，

所以，

即对任意的都成立，

所以，所以，

所以．

所以直线过定点．（12分）

22．【解答】（Ⅰ）解：根据条件，

则当时，（2），解得；

（Ⅱ）解：函数的定义域是，

，

①时，，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增，

②时，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在，递减，在递增，

③时，，在递增，

④时，令，解得：或，令，解得：，

故在递增，在递减，在，递增；

综上：时，在递减，在递增，

时，在递增，在，递减，在递增，

时，在递增，

时，在递增，在递减，在，递增；

（Ⅲ）证明：因为，

又因为导函数在上存在零点，

所以在上有解，则有，即，

且当时，，单调递减，当时，，单调递增，

所以，

设，，

则，

则，所以在上单调递减，

所以在上单调递减，

则（2），

所以，

则根据不等式的传递性可得，当时，．

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日期：2021/4/10 17:51:10；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394