2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．（5分）命题“，”的否定为　　

A．， B．， 

C．， D．，

2．（5分）已知复数为虚数单位），则复数的实部为　　

A． B． C．1 D．2

3．（5分）不等式的解集是　　

A．或 B． C．或 D．

4．（5分）若，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

5．（5分）在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即，其中是距离（单位，是质量（单位，是弹簧系数（单位．弹簧系数分别为，的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数满足，并联时得到的弹簧系数满足．已知物体质量为，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为　　

A． B． C． D．

6．（5分）在平面直角坐标系中，设抛物线上的点与焦点的距离为10，点到轴的距离为，则的值为　　

A．1 B．2 C．4 D．8

7．（5分）若正整数，满足，则所有满足条件的的和为　　

A．6 B．4 C．3 D．1

8．（5分）单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和，例如，，，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为　　

A．505 B．404 C．303 D．202

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．（5分）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程．16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是　　

A． B． C． D．1

10．（5分）已知，则　　

A． B． C． D．

11．（5分）在平面直角坐标系中，若双曲线与直线有唯一的公共点，则动点与定点的距离可能为　　

A．2 B． C． D．3

12．（5分）已知等比数列满足，其前项和，．　　

A．数列的公比为 

B．数列为递增数列 

C． 

D．当取最小值时，

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．（5分）已知复数满足为虚数单位），则复数的模为　　．

14．（5分）已知，，且，则的最小值为　　．

15．（5分）在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人每人再传染个人为第二轮传染，．假设某种传染病的基本传染数，那么初始一名感染者，经过三轮传染后，感染总人数将达到　　人；若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第　　轮传染开始前采取紧急防控措施．（参考数据：，

16．（5分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的焦距为，直线与椭圆交于，两点，且，过作交于点，点的坐标为，则椭圆的方程为　　．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（10分）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，，其中．

（1）求的值；

（2）若双曲线渐近线的斜率小于，求和的取值范围．

18．（12分）已知不等式，的解集为．

（1）求实数，的值；

（2）设，当为何值时取得最大值，并求出其最大值．

19．（12分）在①，②且，③且这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

问题：设数列为等差数列，其前项和为，___．数列为等比数列，，，求数列的前项和．

20．（12分）著名数学家庞加莱说“我感受到了数学的美、数字和形状的协调，以及几何的优雅”．为了让学生体会数学之美，某校数学组开设了特色校本课程，老师利用两类圆锥曲线构造了一个近似“”形状的曲线，它由抛物线的部分和椭圆的一部分构成（如图，已知在平面直角坐标系中，和交于，两点，是公共焦点，，（如图．

（1）求和的方程；

（2）过点作直线与“”形状曲线依次交于，，，四点，若，求实数的取值范围．

21．（12分）已知数列满足，．

（1）求证：数列是等比数列，并求数列的通项公式；

（2）记数列的前项中最大值为，最小值为，令，称数列是数列的“中程数数列”．

①求“中程数数列” 的前项和；

②若，且，求所有满足条件的实数对．

22．（12分）如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，过原点的直线交该椭圆于，两点（点在轴上方），点．当直线垂直于轴时，．

（1）求，的值；

（2）设直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为．

①若，求的面积；

②是否存在轴上的一定点，使得直线恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由．

2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

1．【解答】解：命题“， “的否定是，，

故选：．

2．【解答】解：，

则的实部为2．

故选：．

3．【解答】解：因为不等式可化为，

分解因式得，

可化为或，解得，

所以不等式的解集是．

故选：．

4．【解答】解：若，在时，即，故可得，

若，可取，，此时，

所以若，则“”是“”的充分不必要条件．

故选：．

5．【解答】解：根据题意可得，当两个弹簧串联时，弹簧的系数，

由，得，则串联时，有；

并联时，弹簧系数满足，，要使最大，则最小，

即最小，由，得，

得，解得（舍去），或，

当且仅当时上式等号成立，此时．

故选：．

6．【解答】解：设点，由题意可知，，

所以，，又因为点在抛物线上，

所以，，

．

故选：．

7．【解答】解：因为，均为正整数，

所以，，

所以，所以或3，

若时，则，

所以，

解得，

则，

若时，则，

所以，

解得，

则，

所以．

故选：．

8．【解答】解：

所以，，满足题目，，是以101为首项的等差数列，

所以．

故选：．

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）

9．【解答】解：选项：当时，，故错误，

选项：当时，，故正确，

选项：当时，，故正确，

选项：显然当时满足，故正确，

故选：．

10．【解答】解：由，取，，，，则不成立；

若，只需，即，

显然，故正确；

若，只需，又，，

显然成立，故正确．

故选：．

11．【解答】解：联立，得，

因为直线与双曲线有唯一公共点，

所以△，

所以，

，

所以，

所以选项均符合题意，

故选：．

12．【解答】解：因为，

所以，

所以，则，

所以，

当时，，所以，

因为为等比数列，

又，所以数列为递增数列，

故选项错误，选项正确；

所以，解得，

故选项错误；

，

当且仅当，即时取等号，

此时数列的公比为，

所以，

故选项正确．

故选：．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）

13．【解答】解：因为，

所以，

故．

故答案为：．

14．【解答】解：，，且，

，当且仅当，即，时等号成立，

的最小值为：4．

故答案为：4．

15．【解答】解：初始一名感染者，经过一轮传染后，感染人数为人，

经过二轮传染后，感染人数为人，

经过三轮传染后，感染人数为人；

则每一轮传染后的感染人数构成以4为首项，以4为公比的等比数列，

到第轮传染后，感染人数为，

由，得．

若感染总人数达到1000人，则应采取紧急防控措施，那么应在第6轮传染开始前采取紧急防控措施．

故答案为：64；6．

16．【解答】解：由已知可得，所以，

则直线的方程为：，即，

代入椭圆方程消去整理可得：，

设，，，，，，则，

又由已知可得：，所以，则，

所以，

所以，

又由可得，

所以，即，

解得或4（舍去），所以，，

所以椭圆的方程为，

故答案为：．

四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．【解答】解：（1）由题意知，，，

．

（2）双曲线的渐近线方程为，

双曲线渐近线的斜率小于，

，

，，

，

故的取值范围为，，的取值范围为．

18．【解答】解：（1）不等式的解集为，

所以和1是对应方程的两根，

所以，解得，；

（2）由，，

设，则，且，

令，则，

当且仅当，即时取等号，此时；

所以当时取得最大值，且最大值为1．

19．【解答】解：方案一：选条件①

依题意，当时，，解得，

当时，由数列为等差数列，可知，

则，

化简整理，可得，

当时，也满足上式，

，，

，

，

又，，

设等比数列的公比为，则，

故，，

，

．

方案二：选条件②

依题意，设等差数列的公差为，则

，

化简整理，得

，

解得，

，，

，

，

又，，

设等比数列的公比为，则，

故，，

，

．

方案三：选条件③

依题意，设等差数列的公差为，则

，，

，

化简整理，得

，

解得，

，，

，

，

又，，

设等比数列的公比为，则，

故，，

，

．

20．【解答】解：（1）因为，所以，则，可得：，

所以抛物线的方程；

设的焦距为，则，

设由抛物线的方程可得，得，

，

，解得：，，

所以可得的方程为：；

（2）设，

当，时，，则，，

整理可得：，

可得，

所以，

整理可得：，

可得，

，

，因为，，

所以，，

可得，．

21．【解答】解：（1）证明：因为，

所以，

又，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，

则，即；

（2）①，

时，，时，，

所以，

所以，，

所以，

所以；

②，，，，

显然，由①可知，故，2，3；

时，，即，即，则，2，又，故；

时，，即，即，则，2，又，故无解；

时，，即，即，则．

综上可得，所有满足条件的实数对有，．

22．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为，则，解得；

（2）①设，，，则，，

为的中点，，

是的中点，则，，可得，解得，

；

②由，解得或，

则，同理，，，

当，即时，，与轴的交点为，，

若存在符合题意，则，；

当时，，，

，故过点，．

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日期：2021/4/10 17:51:34；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394