2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）命题“，”的否定是　　A．， B．， C．， D．，2．（5分）已知数列是等差数列，若，，则等于　　A．10 B．12 C．15 D．183．（5分）若，都是正整数，则成立的充要条件是　　A． B． C．且 D．，至少有一个为14．（5分）有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为　　A． B． C． D．5．（5分）在三棱锥中，已知是的中点，且，则　　A． B． C． D．6．（5分）若抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则此双曲线的渐近线方程为　　A． B． C． D．7．（5分）已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列．令，数列的前项和为，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围是　　A． B． C． D．8．（5分）若椭圆上的点到右准线的距离为，过点的直线与交于两点，，且，则的斜率为　　A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．（5分）下列命题正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则10．（5分）如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则　　A． B． C．向量与向量的夹角是 D．异面直线与所成的角为11．（5分）某集团公司有一下属企业从事一种高科技产品的生产．企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．集团公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业上缴资金后的剩余资金为万元．则　　A． B． C． D．当时，12．（5分）我们把离心率为的椭圆称为黄金椭圆，类似地，也把离心率为的双曲线称为黄金双曲线，则　　A．曲线是黄金双曲线 B．如果双曲线是黄金双曲线，那么为半焦距） C．如果双曲线是黄金双曲线，那么右焦点到一条渐近线的距离等于焦距的四分之一 D．过双曲线的右焦点且垂直于实轴的直线交于、两点，为坐标原点，若，则双曲线是黄金双曲线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）已知空间向量，，，，，，若，则　　．14．（5分）某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面是一个矩形，面积为，房屋正面每平方米的造价为1500元，房屋侧面每平方米的造价为1000元，屋顶的造价为6000元．如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，那么把地面矩形较长的一边设计为　　时，能使房屋的总造价最低（结果用根式表示）．15．（5分）已知点在抛物线上，过其焦点且倾斜角为的直线与交于，两点，则的面积为　　．16．（5分）将正奇数按如图所示的规律排列：则2021在第　　行，从左向右第　　个数．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）设，命题，命题．（1）若为真命题，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．18．（12分）已知函数．（1）解关于的不等式；（2）若对，，都有成立，求的最大值．19．（12分）已知是各项均为正数的等比数列，若，的等比中项是81，且，数列的前项和满足，且．（1）求的通项公式；（2）求证：是等差数列，并求数列的前项和．20．（12分）已知双曲线的焦距为，坐标原点到直线的距离是，其中，的坐标分别为，．（1）求双曲线的方程；（2）是否存在过点的直线与双曲线交于，两点，使得构成以为顶点的等腰三角形？若存在，求出所有直线的方程；若不存在，请说明理由．21．（12分）如图，已知为正方形，平面，，且，且，．（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；（2）设为的中点，为正方形内一点（包含边界），当平面时，求线段的最小值．22．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为且过定点．（1）求椭圆的方程；（2）设平行于的直线与椭圆交于，两点（如图所示）．①线段的长度是否有最大值？并说明理由；②若直线，与轴分别交于，两点，记，的横坐标为，，求证：为定值．
2020-2021学年江苏省无锡市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．【解答】解：命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．故选：．2．【解答】解：，则，则，，，解得，，故选：．3．【解答】解：因为，所以．而，，所以，所以．所以或．故选：．4．【解答】解：如图所示建立直角坐标系，设抛物线的方程为：，点的纵坐标坐标为，横坐标为，所以点的坐标为，代入抛物线方程可得：，所以抛物线方程为：，在点时，，则，则限制高度为，解得，故选：．5．【解答】解：在三棱锥中，是的中点，，，，，，．故选：．6．【解答】解：抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，可得焦点坐标，所以，解得，所以双曲线的渐近线方程为：．故选：．7．【解答】解：由题意，可知，，，，，成等比数列，，即，解得，故，，，则，对于，不等式恒成立，．故选：．8．【解答】解：由已知可知椭圆的右准线方程为：，所以，即，又由已知可得：，且，联立方程解得：，，所以椭圆的方程为：，①当的斜率不存在时，与轴垂直，方程为，不符题意，②当直线的斜率存在时，设的方程为：，联立方程，消去可得：，设，，，，则，，由可得：，，则，所以，，联立解得，故选：．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．【解答】解：．由，取，，则不成立，故错误；．当时，由，可得，故错误；．当时，，又，，故正确；．，由不等式的基本性质，可知，故正确．故选：．10．【解答】解：在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则，0，，，0，，，0，，，0，，，2，，，2，，，2，，所以，故，故选项正确；又，又，所以，，则，故选项正确；，所以，因此与的夹角为，故选项错误；因为，分别是，的中点，所以，1，，，1，，则，所以，又异面直线的夹角大于小于等于，所以异面直线与所成的角为，故选项正确；故选：．11．【解答】解：第一年年底剩余资金，第二年年底剩余资金，故选项错误；第三年年底剩余资金，所以第年年底剩余资金为，故选项正确；因为，所以，因为，所以，所以，即，故选项正确；当时，，故选项错误．故选：．12．【解答】解：对于，曲线为双曲线的方程，且，，，则，可得，故错误；对于，如果双曲线是黄金双曲线，则，可得，即为，即，即，故正确；对于，如果双曲线是黄金双曲线，可得，那么右焦点到一条渐近线的距离等于，若，可得，这与矛盾，故错误；对于，设，令，可得，，若，可得，可得，由选项可得正确，故选：．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．【解答】解：空间向量，，，，，，，，解得，，．故答案为：13．14．【解答】解：设底面的长为，宽为，则，设房屋总造价为，则（元．当且仅当，即时，上式等号成立，此时．故把地面矩形较长的一边设计为时，能使房屋的总造价最低．故答案为：．15．【解答】解：把点代入抛物线方程可得：，所以，则抛物线方程为：，所以抛物线的焦点坐标为，直线的斜率为，所以直线的方程为：即，代入抛物线方程可得：，设，，，，则，，所以，而点到直线的距离为，所以三角形的面积为，故答案为：．16．【解答】解：由题意知，第一行有1个奇数，第二行有3个奇数，第行有个奇数，则前行共有正奇数个，所以第行的最后一个正奇数为，当时，第31行的最后一个正奇数为1921当时，第32行的最后一个正奇数为2047，所以2021在第32行，前31行共有个正奇数，2021是第1011个正奇数，，所以2021在第32行，从左向右第50个数．四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．【解答】解：（1）由题意可得为真命题时，，解得，即，所以实数的取值范围为；（2）由（1）得，由命题得，因为是的充分不必要条件，所以，且等号不同时成立，解得：，故实数的取值范围为，．18．【解答】解：（1）即为，可得，当时，，可得；当时，解得；当时，解得．所以时，解集为；时，解集为；时，解集为；（2），，都有成立，可得，即对，恒成立，可令，当即时，原不等式显然成立；当时，，即对恒成立，由，当且仅当，时，取得等号，所以的最小值为，则，即的最大值为．19．【解答】解：（1）设各项均为正数的等比数列的公比为，，由，的等比中项是81，且，可得，解得，又，由，，可得，即，即有，则，解得（负的舍去），，所以，；（2）证明：数列的前项和满足，且，可得时，，解得舍去），当时，，又，两式相减可得，即为，由于，可得，则是首项为3，公差为2的等差数列，所以数列的前项和为．20．【解答】解：（1）由题知，，，因为，的坐标分别为，．直线的方程为，即，原点到直线的距离，解得，，所以双曲线的方程为．（2）由（1）知点坐标为，设直线为，，，，，当时，直线与双曲线交点，分别为双曲线的左右顶点，此时成以为顶点的等腰三角形，所以此时直线的方程为，当时，由，得，因直线与双曲线有两个交点，所以且△，所以且，所以，，，要使得成以为顶点的等腰三角形，则，取中点，点坐标为，，即，，，即，解得或，又因为且，所以，所以直线的方程为或．21．【解答】解：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，2，，，2，，，0，，，0，，，2，，，0，，则，，设平面的法向量为，则有，令，则，，所以，而平面的法向量为，设平面与平面所成二面角为，显然二面角的平面角为锐角，则有；（2）设，，，，，，根据题意可得，所以，因为平面，所以，即，所以，又因为函数，其对称轴为，图象开口向上，所以函数在，上单调递减，故当时，有最小值为，此时，所以线段的最小值为．22．【解答】解：（1）由题意可得，解得：，，所以椭圆的方程为：；（2）①由，可得直线的斜率为，由题意设直线的方程为：，设，，，，联立直线与椭圆的方程，整理可得：，△，可得：，即，且，，所以弦长，当时，弦长的值最大，且为，所以线段的长度有最大值4；②证明：直线的方程为：，令，则，所以可得，，同理可得，，所以由题意可得，而，，所以，，，所以，可证得：为定值．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/4/10 17:51:01；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394