2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、吴中区高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、吴中区高二（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、吴中区高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式的解集是　　A． B．或 C． D．或2．（5分）已知命题，，则命题的否定是　　A．， B．， C．， D．，3．（5分）已知，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．4．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，则等于　　A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）已知为实数，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围　　A． B．或 C． D．或7．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程　　A．440里 B．540里 C．630里 D．690里8．（5分）已知等比数列的前项和为，则下列命题一定正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若正实数，满足，则下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．10．（5分）已知数列是公比为的等比数列，，若数列有连续4项在集合，，22，40，中，则公比的值可以是　　A． B． C． D．11．（5分）无穷等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是　　A．数列单调递减 B．数列有最大值 C．数列单调递减 D．数列有最大值12．（5分）若关于的不等式的解集为，则的值可以是　　A． B． C． D．三、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.13．（5分）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是　　．14．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为　　．15．（5分）已知等比数列单调递增，若，，则　　．16．（5分）在数列中，，，则　　，　　．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合，．（1）若是充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若存在实数，使得和同为真命题，求实数的取值范围．18．（12分）已知数列的前项和为，已知，____．①；②；③，，成等比数列；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值并指明相应的值．19．（12分）已知数列满足，，设．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．20．（12分）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点．设，，的面积为．（1）请用表示，并指明的取值范围；（2）求出的最大值及相应的的值．21．（12分）已知函数．（1）若，解不等式；（2）若，且在，上的最大值为3，求正实数的值．22．（12分）数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，记数列的前项和为已知，．（1）若，是大于2的正整数），求证：；（2）若是某个确定的正整数），求证：数列中每个项都是数列的项．
2020-2021学年江苏省苏州市昆山市、吴中区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）不等式的解集是　　A． B．或 C． D．或【分析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式可化为，即，解得，所以不等式的解集是．故选：．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题．2．（5分）已知命题，，则命题的否定是　　A．， B．， C．， D．，【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到命题的否定．【解答】解：命题：，，”是全称命题，全称命题的否定是特称命题得：“，，”的否定是：“，”．故选：．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题．3．（5分）已知，则下列结论正确的是　　A． B． C． D．【分析】根据，取，，即可排除错误选项，由不等式的基本性质即可判断．【解答】解：根据，取，，则可排除；根据不等式的基本性质，由，可知成立，故正确．故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．4．（5分）已知等差数列的前项和为，若，，则等于　　A．1 B．2 C．3 D．4【分析】设等差数列的公差为，则由题意可得，解得即可．【解答】解：设等差数列的公差为，则由，可得，解得，故选：．【点评】本题考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．5．（5分）已知为实数，则“”是“”的　　A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据充分必要条件的定义以及基本不等式的性质结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：时，，当且仅当时“”成立，故是的必要不充分条件，故选：．【点评】本题考查了充分必要条件，考查基本不等式的性质以及集合的包含关系，是一道基础题．6．（5分）已知关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围　　A． B．或 C． D．或【分析】利用绝对值三角不等式，可得，再根据不等式对一切实数恒成立，得到关于的不等式，然后求出的范围．【解答】解：由绝对值三角不等式，可知．不等式对一切实数恒成立，，或，的取值范围为或．故选：．【点评】本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．7．（5分）在我国古代数学著作《九章算术》里有这样一段描述：今有良马和驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则二马相逢时，良马比驽马多走了多少路程　　A．440里 B．540里 C．630里 D．690里【分析】根据等差数列的前项和，设出天数，根据两前项和之和为2倍路程可得．【解答】解，设良马每天所行路程为，则是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前项和为，弩马每天所行路程为，则是以97为首项，以为公差的等差数列，其前项和为，设共用天二马相逢，则，所以，化简得，解得，，，．故选：．【点评】本题考查了等差数列的前项和，属于基础题．8．（5分）已知等比数列的前项和为，则下列命题一定正确的是　　A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】利用等比数列的前项和公式根据题设条件研究首项的正负与公比的取值范围，逐个选项判断正误即可．【解答】解：设等比数列的公比为，①当时，，若，则；②当时，，若，则，，故选项正确；又当时，，故选项错误；若，则或或，不一定有与，故选项、错误，故选：．【点评】本题主要考查等比数列前项和公式的应用及对其首项、公比的正负、取值范围的讨论，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（5分）若正实数，满足，则下列不等式一定成立的是　　A． B． C． D．【分析】根据基本不等式即可求出判断．【解答】解：正实数，满足，则，当且仅当取等号，故正确，不正确；由，则，当且仅当取等号，故正确；不正确；故选：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算能力，属于基础题．10．（5分）已知数列是公比为的等比数列，，若数列有连续4项在集合，，22，40，中，则公比的值可以是　　A． B． C． D．【分析】由，可得：，可得：数列有连续4项在集合，，18，36，中，可得公比的值．【解答】解：由，可得：，数列有连续4项在集合，，18，36，中，其中连续4项分别为，36，，81，．其中连续4项分别为81，，36，，，故选：．【点评】本题考查了等比数列的定义通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．（5分）无穷等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是　　A．数列单调递减 B．数列有最大值 C．数列单调递减 D．数列有最大值【分析】根据题意可得是递减数列，且先正值，后负值；从而判断出有最大值．【解答】解：无穷等差数列的首项，公差，是递减数列，且先正值，后负值，首项为数列的最大值；的前项和为先增加，后减小，有最大值；故选：．【点评】本题考查了单调性数列的应用及前项和的最值的判断．12．（5分）若关于的不等式的解集为，则的值可以是　　A． B． C． D．【分析】由题意知，不等式的解集为，且△；由根与系数的关系求出，，代入以△求出的取值范围，再计算的可能取值．【解答】解：关于的不等式的解集为，所以不等式的解集为，且△；由根与系数的关系知，解得，，所以△，解得；所以，．则的值可以是．故选：．【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．三、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.13．（5分）若命题“，使得”是真命题，则实数的取值范围是　，，　．【分析】因为不等式对应的是二次函数，其开口向上，若“，使得”，则相应二次方程有不等的实根．【解答】解： “，使得，有两个不等实根，△，或，故答案为：，，．【点评】本题主要考查一元二次不等式，二次函数，二次方程间的相互转化及相互应用，这是在函数中考查频率较高的题目，灵活多变，难度可大可小，是研究函数的重要方面．14．（5分）已知正实数，满足，则的最小值为　　．【分析】根据，利用基本不等式即可求出最小值．【解答】解：正实数，满足，，当且仅当时取等号，故的最小值为，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于基础题．15．（5分）已知等比数列单调递增，若，，则　4　．【分析】根据题意求出首项和公比，即可求出答案．【解答】解：等比数列单调递增，，，，可得，整理可得，解得或，当时，，该数列为单调递减数列，故舍去，当时，，该数列为单调递增数列，，故答案为：4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．16．（5分）在数列中，，，则　　，　　．【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．【解答】解：数列中，，，则两边同除以得：所以，记，所以，，，所以，即，所以．当时，．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知集合，．（1）若是充分不必要条件，求实数的取值范围；（2）若存在实数，使得和同为真命题，求实数的取值范围．【分析】（1）分别求出关于，的不等式，结合集合的包含关系得到关于的不等式组，解出即可；（2）求出，得到关于的不等式组，解出即可．【解答】解：（1），又，若是充分不必要条件，则，故 “ “不同时成立），解得：，故实数的取值范围是，；（2）若存在实数，使得和同为真命题，则，故，解得：，故实数的取值范围是．【点评】本题考查了集合的包含关系以及充分必要条件，是一道基础题．18．（12分）已知数列的前项和为，已知，____．①；②；③，，成等比数列；请在①②③这三个条件中选择一个，填入题中的横线上，并解答下面的问题：（1）求数列的通项公式；（2）求的最小值并指明相应的值．【分析】（1）由等差数列的定义和数列的递推式可判断是公差为2的等差数列，分别选①②③，运用等差数列的通项公式和求和公式、等比数列的中项性质，解方程可得首项，进而得到所求通项公式；（2）运用等差数列的求和公式和二次函数的最值求法，注意为正整数，可得所求最值和相应的的值．【解答】解：（1）由，可得，所以是公差为2的等差数列，选①，，即为，解得，所以；选②，，即为，解得，所以；选③，，，成等比数列，即为，即，解得，所以；（2），由于为正整数，可得或时，取得最小值，且为．【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，以及等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．19．（12分）已知数列满足，，设．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．【分析】（1）由题意可得，运用等比数列的定义和通项公式，可得所求；（2）求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）由，，可得，设，则，可得是首项为1，公比为2的等比数列，所以；（2）由，可得，，，上面两式相减可得，则．【点评】本题考查数列的通项公式和求和公式的运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．（12分）如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点．设，，的面积为．（1）请用表示，并指明的取值范围；（2）求出的最大值及相应的的值．【分析】（1）由折叠性质可知，进而可得，，再利用勾股定理得到，化简整理求出关于的解析式，根据求出的范围即可．（2）由（1）可知，利用基本不等式即可求出的最大值以及相应的的值．【解答】解：（1）矩形，且沿向折叠，，，，，，在直角三角形中，，，，又矩形的周长为，，由勾股定理，可得，化简得，，，解得，即，．（2），，由基本不等式，可得，当且仅当即时，等号成立，，当时，可取得最大值．【点评】本题主要考查了函数的实际应用，利用基本不等式求最值，是中档题．21．（12分）已知函数．（1）若，解不等式；（2）若，且在，上的最大值为3，求正实数的值．【分析】（1）代入的值，通过讨论的范围，求出不等式的解集即可；（2）结合函数的图象，得到函数在，上的最大值只可能在或处取得，求出的值判断即可．【解答】解：（1），，当时，原不等式可化为：，即，解得：，故符合题意，当时，原不等式可化为：，即，解得：或，故符合题意，综上，原不等式的解集是或；（2），的大致图象如图示：故函数在，上的最大值只可能在或处取得，①若，则，即，，，当时，，此时（2），符合题意，②若（2），则，解得：或，当时，，此时，符合题意，当时，，此时，不合题意，综上：正实数的值是或．【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数最值问题，考查数形结合思想，分类讨论思想，是一道综合题．22．（12分）数列是公差为的等差数列，数列是公比为的等比数列，记数列的前项和为已知，．（1）若，是大于2的正整数），求证：；（2）若是某个确定的正整数），求证：数列中每个项都是数列的项．【分析】（1）由题意可得，，代入，可得，再由等比数列的前项和公式整理得结论；（2）由，得，设数列中的任意一项为，设数列中的某一项，证明，转化为证明方程中有正整数解即可．【解答】证明：（1）由题意可得，，，，，，即，，，得，；（2），，由，得，即，解得（舍去），或，是正整数，是整数，即是整数，设数列中的任意一项为，设数列中的某一项，现要证明存在正整数，使得，即方程中有正整数解即可，也就是，即，，若，则，那么，；而，当时，，．只要考虑的情况，，，因此是正整数，则是正整数，数列中的任意一项与数列的第项相同，问题得证．【点评】本题考查等差数列与等比数列的通项公式的应用，考查等比数列的前项和，考查数列的函数特性，考查逻辑思维能力与推理论证能力，属难题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2021/2/24 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