2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）函数的定义域为　　

A． B．，， 

C． D．，，

2．（5分）椭圆的焦距等于　　

A．2 B．6 C． D．

3．（5分）已知数列的前项和，则的通项公式为　　

A． B． 

C． D．

4．（5分）已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为　　

A． B． 

C． D．

5．（5分）《庄子．天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过天，该木锤剩余的长度为（尺，则与的关系为　　

A． B． C． D．

6．（5分）已知“”是“”的充分条件，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

7．（5分）设，则的值为　　

A．11 B．8 C．10 D．20

8．（5分）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C．或 D．或

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）若椭圆的离心率为，则的值可能为　　

A． B．6 C．3 D．

10．（5分）下列各函数中，最小值为2的是　　

A． B．， 

C． D．

11．（5分）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是　　

A． 

B．椭圆的焦距为 

C．若椭圆的焦点在轴上，则 

D．若椭圆的焦点在轴上，则

12．（5分）下面命题正确的是　　

A．“”是“”的必要条件 

B．设，，则“”是“”的充要条件 

C．设，，则“”是“”的充要条件 

D．命题“，”的否定是“，”

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分）

13．（5分）已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　．

14．（5分）若，，，则的最小值为　　．

15．（5分）如图，正方形的边长为，取正方形各边中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和是　　．

16．（5分）已知椭圆的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且△的面积等于6，则实数的值为　　，实数的取值范围为　　．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知等差数列的前项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求的最大值及相应的的值．

18．（12分）已知椭圆的两焦点分别为，短轴长为2．

（1）椭圆的标准方程；

（2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，求线段的长度．

19．（12分）沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉．当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花木节．2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米．

（1）设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米．试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；

（2）当为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？

20．（12分）在①，；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，____．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求．

21．（12分）若关于的不等式的解集是或．

（1）解不等式；

（2）若对于任意，，不等式恒成立，求的取值范围．

22．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点，是否存在实数，使得的面积为1？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．

2020-2021学年江苏省宿迁市沭阳县高二（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）函数的定义域为　　

A． B．，， 

C． D．，，

【分析】根据对数函数的性质解不等式，求出函数的定义域即可．

【解答】解：由题意得：，

即，解得：或，

故函数的定义域是，，，

故选：．

【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．

2．（5分）椭圆的焦距等于　　

A．2 B．6 C． D．

【分析】根据题意，由椭圆的方程可得、的值，计算可得的值，由焦距的定义即可得答案．

【解答】解：根据题意，椭圆的标准方程为，

其中，，

则，

则该椭圆的焦距；

故选：．

【点评】本题考查椭圆的标准方程，注意椭圆标准方程的形式，属于基础题．

3．（5分）已知数列的前项和，则的通项公式为　　

A． B． 

C． D．

【分析】由，当时，．当时，，即可得出．

【解答】解：，

当时，．

当时，，

而当时也满足，

．

故选：．

【点评】本题考查数列的通项和前项和之间的关系，属于基础题．

4．（5分）已知椭圆，若长轴长为6，离心率为，则此椭圆的标准方程为　　

A． B． 

C． D．

【分析】利用已知条件推出，从，求解，即可判断选项的正误．

【解答】解：椭圆，若长轴长为6，离心率为，

可得，，所以，由选项可知满足题意，

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆方程的判断，是基本知识的考查．

5．（5分）《庄子．天下篇》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”．如果经过天，该木锤剩余的长度为（尺，则与的关系为　　

A． B． C． D．

【分析】根据木锤前几天的剩余量，得到数列满足的关系，由此即可解决问题．

【解答】解：由题意可得，第一次剩余尺，

第二次剩余尺，

第三次剩余尺，

则第天后“一尺之棰”剩余的长度为尺，

故选：．

【点评】本题考查有理数的乘方，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，本题属于基础题．

6．（5分）已知“”是“”的充分条件，则的取值范围是　　

A． B．， C． D．，

【分析】先化简，再将“”是“”的充分条件，转化为集合之间的关系，从而可得不等式组，即可求实数的取值范围．

【解答】解：化简，

得或；

“”是“”的充分条件，

，，，，

，

的取值范围是：，．

故选：．

【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，真正理解充要条件的定义，是解答的关键．属于基础题．

7．（5分）设，则的值为　　

A．11 B．8 C．10 D．20

【分析】推导出，由此能求出的值．

【解答】解：，

，

．

故选：．

【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

8．（5分）已知，，若恒成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C．或 D．或

【分析】根据题意，由基本不等式的性质，可得的最小值为8，结合题意，可得恒成立，解可得答案．

【解答】解：根据题意，，，则，，

则，当且仅当时等号成立，即 的最小值为8，

若恒成立，必有恒成立，

，

解可得，，

故选：．

【点评】本题考查不等式的恒成立问题与基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出的最小值．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9．（5分）若椭圆的离心率为，则的值可能为　　

A． B．6 C．3 D．

【分析】通过与4的大小讨论，由离心率的定义列出方程，解方程求出的值．

【解答】解：椭圆的离心率为，

当时，由离心率的定义知，，

当时，由离心率的定义知，，

故选：．

【点评】本题考查椭圆的标准方程和简单性质，体现了分类讨论的数学思想．

10．（5分）下列各函数中，最小值为2的是　　

A． B．， 

C． D．

【分析】根据函数的单调性或基本不等式，或进行配方，求每个选项函数的最小值即可．

【解答】解：．时，；

的最小值不是2；

．；

；

，当时取等号；

的最小值为2；

；

该函数的最小值为2．

；

时，该函数取最小值；

故选：．

【点评】考查函数最小值的定义及求法，根据单调性，基本不等式，以及配方的方法求函数最值的方法．

11．（5分）若方程表示椭圆，则下面结论正确的是　　

A． 

B．椭圆的焦距为 

C．若椭圆的焦点在轴上，则 

D．若椭圆的焦点在轴上，则

【分析】利用方程表示椭圆，求出的范围，焦距，判断焦点所在轴，判断选项的正误．

【解答】解：方程表示椭圆，

可得焦点坐标在轴时，，解得；

焦点坐标在轴时，可得，解得，所以，正确；不正确；

焦点坐标在轴时，焦距为：．焦点坐标在轴时，，所以不正确；

故选：．

【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，注意分类讨论思想的应用，是基础题．

12．（5分）下面命题正确的是　　

A．“”是“”的必要条件 

B．设，，则“”是“”的充要条件 

C．设，，则“”是“”的充要条件 

D．命题“，”的否定是“，”

【分析】直接利用充分条件和必要条件判定的结论，利用命题的否定判定的结论．

【解答】解：对于：当时，，所以“”是“”的充分条件，“”是“”的必要条件，故正确；

对于：当，，则，，由于与不等价，故“”是“”的充要条件错误，故错误；

对于：设，，当，时，则“”不是“”的充分条件，故错误；

对于：命题“，”的否定是“，”故正确．

故选：．

【点评】本题考查的知识要点：充分条件和必要条件，命题的否定，主要考查学生的转换能力及思维能力，属于基础题．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分（其中16题第一空2分，第二空3分）

13．（5分）已知的周长为20，且顶点，，则顶点的轨迹方程是　　．

【分析】由三角形的周长和椭圆的定义，即可得到所求轨迹方程．

【解答】解：的周长为20，且顶点，，

可得，，

由椭圆的定义可得的轨迹是以，为焦点的椭圆（去除，两点），

设椭圆方程为，可得，，，

则的轨迹方程为，

故答案为：．

【点评】本题考查轨迹方程的求法，注意定义法的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

14．（5分）若，，，则的最小值为　　．

【分析】利用柯西不等式求出即可．

【解答】解：若，，，则，当且仅当时，取等号，

则的最小值为，即为．

故答案为：．

【点评】本题考查了柯西不等式的应用，属于基础题．

15．（5分）如图，正方形的边长为，取正方形各边中点，，，，作第2个正方形，然后再取正方形各边的中点，，，，作第3个正方形，依此方法一直继续下去．则从正方形开始，连续10个正方形的面积之和是　　．

【分析】由题意可得从外到内正方形的面积成等比数列，其公比为，最外层的正方形的边长为，则，根据等比数列的求和公式即可求出．

【解答】解：由题意可得从外到内正方形的面积成等比数列，其公比为，

最外层的正方形的边长为，则，

故前10个方形的面积之和，

故答案为：．

【点评】考查学生掌握等比数列的通项公式及等比数列的前项和的公式，属于基础题．

16．（5分）已知椭圆的焦点为，，如果椭圆上存在一点，使得，且△的面积等于6，则实数的值为　　，实数的取值范围为　　．

【分析】根据椭圆的定义及题意列方程，转化求解；再由向量等式得，即，结合点在椭圆上可得，即，可得，然后求解的范围．

【解答】解：由椭圆的定义可知：，

又，△的面积等于6，

，即，

由，，可得，

．

由，得，①

而椭圆，②

由①②得，，从而，

故（舍去），或，

的取值范围为，．

故答案为：；，．

【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆中焦点三角形的解法，考查运算求解能力，是中档题．

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（10分）已知等差数列的前项和为，，．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）求的最大值及相应的的值．

【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出数列的通项公式．

（Ⅱ）由，，求出，由此能求出结果．

【解答】解：（Ⅰ）等差数列的前项和为，，．

，

解得，，

数列的通项公式为：

．

（Ⅱ），，

，

的最大值为12，相应的的值为3或4．

【点评】本题等差数列的通项公式、前项和公式的最大值及相应的的值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

18．（12分）已知椭圆的两焦点分别为，短轴长为2．

（1）椭圆的标准方程；

（2）已知过点且斜率为1的直线交椭圆于，两点，求线段的长度．

【分析】（1）设椭圆的方程为，半焦距为，由题意可得，，由，，的关系可得，进而得到椭圆方程；

（2）求得直线的方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，计算可得所求值．

【解答】解：（1）设椭圆的方程为，半焦距为，

由题意可得，，，

则椭圆的方程为；

（2）过点且斜率为1的直线的方程为，

与椭圆方程联立，可得，

设，的横坐标分别为，，可得，，

则．

【点评】本题考查椭圆的方程和运用，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．

19．（12分）沭阳县的花木生产已有200多年的历史，是全国最大的花木基地，享有“东方花都”之美誉．当前，花木产业不仅是沭阳的传统特色产业，更已成为沭阳的一项富民产业，为了打造花木的特色品牌，促进全县经济社会更快更好地发展，沭阳县已经举办了八届花木节．2020年第八届沭阳花木节期间，某花木展商计划用隔离带围成三个面积均为45平方米的长方形展室，如图所示，以墙为一边（墙不需要隔离带），并共用垂直于墙的两条边，为了保证花木摆放需要，垂直于墙的边的长度不小于3米，每个长方形平行于墙的边的长度也不小于3米．

（1）设所用隔离带的总长度为米，垂直于墙的边长为米．试将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；

（2）当为何值时所用隔离带的总长度最小？隔离带的总长度最小值是多少？

【分析】（1）由垂直于墙的边长为米，则每个长方形平行于墙的边长米，表示出，再由且可得函数的定义域；

（2）由（1）中求得的函数解析式结合基本不等式求最值．

【解答】解：（1）垂直于墙的边长为米，则每个长方形平行于墙的边长为米，

则，

且，，

由可得函数的定义域为，；

（2），当且仅当，即时取等号，

故当垂直于墙的边长为米时，所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是米．

【点评】本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用基本不等式求最值，是基础题．

20．（12分）在①，；②，；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，，____．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设数列的前项和为，求．

【分析】（1）由所选条件及题设求得：，，，，即可求得与；

（2）先由（1）求得，再利用裂项相消法求得其前项和．

【解答】解：当选条件①时：

（1）由题设可得：，又，解之得：，，

，；

（2）由（1）可得：，

．

当选条件②时：

（1）由题设可得：，解之得：，，

，；

（2）由（1）可得：，

．

当选条件③时：

由题设可得：，解之得：，，

，；

（2）由（1）可得：，

．

【点评】本题主要考查等差、等比数列基本量的计算及裂项相消法在数列求和中的应用，属于中档题．

21．（12分）若关于的不等式的解集是或．

（1）解不等式；

（2）若对于任意，，不等式恒成立，求的取值范围．

【分析】（1）根据不等式的解集求出的值，代入不等式求出解集；

（2）不等式化为恒成立，求出右边函数的最小值，即可得出的取值范围．

【解答】解：（1）不等式的解集是或，

所以和1是方程的解，

所以，解得；

所以不等式化为，

即，

解得或；

不等式的解集为或．

（2）对于任意，，不等式恒成立，

即，所以；

设，，，

则在，内是单调减函数，所以（2）；

所以的取值范围是．

【点评】本题考查了一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，是中档题．

22．（12分）已知椭圆的一个顶点坐标为，离心率为，直线交椭圆于不同的两点，．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点，是否存在实数，使得的面积为1？若存在，求出实数的值；若不存在，说明理由．

【分析】（Ⅰ）由题意可得，由离心率公式和，，的关系，解得，进而得到椭圆方程；

（Ⅱ）联立直线的方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式、点到直线的距离公式以及三角形的面积公式，解方程可判断存在性．

【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，解得，

则椭圆的方程为；

（Ⅱ）联立可得，

△，解得，

设，的横坐标分别为，，可得，，

到直线的距离，

则的面积为，

化为，

由可得，

故存在实数，使得的面积为1．

【点评】本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布

日期：2021/2/23 14:38:52；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394