2020-2021学年江苏省泰州中学、泰兴中学高二（上）期中数学试卷

这是一份2020-2021学年江苏省泰州中学、泰兴中学高二（上）期中数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江苏省泰州中学、泰兴中学高二（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知命题：对，有，则为　　
A．对，有 B．对，有
C．，使得 D．，使得
2．（5分）不等式的解集为，则函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
3．（5分）在等差数列中，有，则此数列的前13项和为　　
A．24 B．39 C．52 D．104
4．（5分）已知抛物线，过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线交于，两点，点的坐标为，且为直角三角形，则以直线为准线的抛物线的标准方程为　　
A． B． C． D．
5．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　

A． B．
C． D．
6．（5分）在平面直角坐标系中，若点，到双曲线的一条渐近线的距离为6，则双曲线的离心率为　　
A．2 B．4 C． D．
7．（5分）设，，且，则　　
A．有最小值为4 B．有最小值为
C．有最小值为 D．无最小值
8．（5分）已知定义域为的函数满足，当，时，，设在，上的最大值为则数列的前项和的值为　　
A． B． C． D．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（5分）已知曲线的方程为，则下列选项正确的是　　
A．当时，一定是椭圆
B．当时，是双曲线
C．当时，是圆
D．当且时，是直线
10．（5分）给出四个选项能推出的有　　
A． B． C． D．
11．（5分）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是　　
A． B．当或10时，取最大值
C． D．
12．（5分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则　　
A．的准线方程为 B．线段长度的最小值为4
C．的坐标可能为 D．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．（5分）已知数列中，，，则　　．
14．（5分）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　　．
15．（5分）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为　　．

16．（5分）点，为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为　　．
四、解答题（本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，集合方程表示圆锥曲线．
（1）若圆锥曲线表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；
（2）若圆锥曲线表示双曲线，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18．（12分）若正实数，满足．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值
19．（12分）已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，
（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件：任意，，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，，求数列的前项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20．（12分）已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与曲线交于点、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
21．（12分）已知数列的前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值．
22．（12分）已知点是抛物线和椭圆的公共焦点，是与的交点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与抛物线相切于点，，与椭圆交于，，点关于轴的对称点为．求的最大值及相应的．


2020-2021学年江苏省泰州中学、泰兴中学高二（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）已知命题：对，有，则为　　
A．对，有 B．对，有
C．，使得 D．，使得
【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【解答】解：命题命题：对，有为全称命题，
则命题的否定为：，使得，
故选：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
2．（5分）不等式的解集为，则函数的图象大致为　　
A． B．
C． D．
【分析】利用根与系数的关系，结合二次函数的图象得结果．
【解答】解：由题知和1是的两根，由根与系数的关系知，
，，
，
故选：．
【点评】本题涉及一元二次不等式的解法和二次函数的图象．
3．（5分）在等差数列中，有，则此数列的前13项和为　　
A．24 B．39 C．52 D．104
【分析】利用等差数列的性质可把，化简，从而可
而，从而可求
【解答】解：，
利用等差数列的性质可得，


故选：．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：若，则．
4．（5分）已知抛物线，过抛物线的焦点作轴的垂线，与抛物线交于，两点，点的坐标为，且为直角三角形，则以直线为准线的抛物线的标准方程为　　
A． B． C． D．
【分析】根据题意，设抛物线的焦点为，分析可得，将其代入抛物线的方程，分析可得，由抛物线的性质和直角三角形的性质可得，即，解可得的值，即可得直线的方程，又由抛物线的标准方程分析可得答案．
【解答】解：根据题意，如图，设抛物线的焦点为，则，，则，
则有，则有，
为直角三角形，又由为的中点，则，
即，解可得，
则直线的方程为，
要求抛物线以直线即为准线，则其开口向左，
其标准方程为；
故选：．

【点评】本题考查抛物线的几何性质的应用，涉及抛物线的标准方程，注意求出的值．
5．（5分）《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为　　

A． B．
C． D．
【分析】由图形可知，，在中，由勾股定理可求，结合即可得出．
【解答】解：由图形可知：，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，．
故选：．
【点评】本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
6．（5分）在平面直角坐标系中，若点，到双曲线的一条渐近线的距离为6，则双曲线的离心率为　　
A．2 B．4 C． D．
【分析】求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式，求解，然后求解双曲线的离心率即可．
【解答】解：双曲线的一条渐近线：．
点，到双曲线的一条渐近线的距离为6，
可得：，解得，，则，
所以双曲线的离心率为：．
故选：．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．
7．（5分）设，，且，则　　
A．有最小值为4 B．有最小值为
C．有最小值为 D．无最小值
【分析】，，且，可得．代入，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：，，且，
，解得．
，当且仅当，时取等号．
有最小值．
故选：．
【点评】本题考查了基本不等式的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
8．（5分）已知定义域为的函数满足，当，时，，设在，上的最大值为则数列的前项和的值为　　
A． B． C． D．
【分析】先求得当，时，的最大值，然后由题设求得，，，，从而得到：数列是首项为，公比为的等比数列，再利用等比数列的前项和公式求得结果．
【解答】解：由题设易知：当，时，，当，时，，
当，时，，
又函数满足，在，上的最大值为，
，，，，
故数列是首项为，公比为的等比数列，
，
故选：．
【点评】本题主要考查等比数列在函数问题中的应用及等比数列的前项和公式的应用，属于中档题．
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共计20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
9．（5分）已知曲线的方程为，则下列选项正确的是　　
A．当时，一定是椭圆
B．当时，是双曲线
C．当时，是圆
D．当且时，是直线
【分析】（1），可得曲线为圆，
（2）将，可得曲线为双曲线；
（3），可得曲线为圆
（4）当且时，分别得，或，都可得曲线为直线，
进而判断所给命题的真假．
【解答】解：：若，假设则方程为，不是椭圆，所以不正确；
当，则，，所以方程为：，即，则表示双曲线，所以正确；
：当，方程为：表示圆，所以正确；
：当且时，即，则，方程为：，则是直线；同理，，则方程为：，
所以表示直线，
故选：．
【点评】本题考查参数取不同的值可得的曲线类型，属于基础题．
10．（5分）给出四个选项能推出的有　　
A． B． C． D．
【分析】利用不等式的性质，代入验证即可．
【解答】解：，
，，，成立
，，，成立
．，，，不成立，
．，，成立
故选：．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
11．（5分）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是　　
A． B．当或10时，取最大值
C． D．
【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，得出结论．
【解答】解：等差数列的前项和为，，，
求得．
故，故正确；
该数列的前项和，它的最值，还跟的值有关，
不能推出当或10时，取最大值，故错误．
，，故有，故错误；
由于，，故，故正确，
故选：．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，属于基础题．
12．（5分）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点，则　　
A．的准线方程为 B．线段长度的最小值为4
C．的坐标可能为 D．
【分析】先由已知求出的值，则抛物线方程即可求出，然后准线方程即可求解，再由抛物线的焦点弦通径最短即可求出的最小值，而选项，需要设出过焦点的直线方程与抛物线方程联立，利用根与系数的关系即可求解．
【解答】解：由抛物线定义可得：，则抛物线方程为：，
所以抛物线的准线方程为：，错误，
抛物线的通径为，所以线段的长度的最小值为4，正确，
设过焦点的直线方程为：与抛物线方程联立可得：
，设，，，，
若的坐标为，则，，
而，解得满足题意，所以正确，
又
，所以正确，
故选：．
【点评】本题考查了抛物线定义以及简单性质，涉及到根与系数的关系，属于基础题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）
13．（5分）已知数列中，，，则　16　．
【分析】利用数列的递推关系式，逐步求解即可．
【解答】解：数列中，，，则，
，
，
，
．
故答案为：16．
【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力．
14．（5分）已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是　　．
【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．
【解答】解：命题“，使”是假命题，
命题“，使”是真命题，
即判别式△，
即△，
则，即，
故答案为：．
【点评】本题主要考查含有量词的命题的真假应用，利用一元二次不等式的性质是解决本题的关键．
15．（5分）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，如图，一平行轴的光线射向抛物线上的点，经过抛物线的焦点反射后射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为6，则此抛物线的方程为　　．

【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点，设出直线的方程，联立直线与抛物线方程，表示出弦长，得出的最小值，进而可求出的值，得出抛物线方程．
【解答】解：由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点，，
当直线斜率不存在时，易得；
当直线斜率存在时，设的方程为，，，，，
由得：，整理得，
所以，，
所以；
综上，当直线与轴垂直时，弦长最短，
又因为两平行光线间的最小距离为6，故，
抛物线方程为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型．
16．（5分）点，为椭圆长轴的端点，、为椭圆短轴的端点，动点满足，若面积的最大值为8，面积的最小值为1，则椭圆的离心率为　　．
【分析】由题意设的坐标，由两点间的距离公式即题意求出的轨迹方程，再由椭圆可得面积最大值时的纵坐标的绝对值最大，及的面积最小时的横坐标的绝对值最小可得，，的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：由题意可得，，，，设，
因为动点满足，所以，整理可得：，即，
则可得是以，为圆心，以为半径的圆，
所以当，时面积的最大值为8，即，解得，
当位于，时，面积的最小值为1，即，所以，
所以离心率，
故答案为：．

【点评】本题考查椭圆的简单几何性质，考查了圆的轨迹方程的求解，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题，共计70分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知集合，集合方程表示圆锥曲线．
（1）若圆锥曲线表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围；
（2）若圆锥曲线表示双曲线，且是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【分析】（1）由题意可得，解不等式可得所求范围；
（2）由二次不等式的解法可得，由双曲线的方程可得，得的范围，再由充分必要条件的定义可得，可得的不等式，求得所求的范围．
【解答】解：（1）若圆锥曲线表示焦点在轴上的椭圆，
可得，解得，
即的取值范围是，；
（2）若圆锥曲线表示双曲线，可得，
解得或，
，
由是的充分不必要条件，可得，，，，
可得或，
解得或，
则的取值范围是，，．
【点评】本题考查圆锥曲线的方程和二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
18．（12分）若正实数，满足．
（1）若，求的最小值；
（2）若，求的最小值
【分析】（1）把代入，然后结合基本不等式即可求解；
（2）把代入，然后结合基本不等式即可求解．
【解答】解：（1）当时，即，
，
当且仅当且即，时取等号，
故的最小值，
（2），
，当且仅当且即，时取等号，
解得，，即的最小值18．
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，解题的关键是应用条件的配凑．
19．（12分）已知数列是公比为2的等比数列，其前项和为，
（1）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充到上述题干中．求数列的通项公式，并判断此时数列是否满足条件：任意，，均为数列中的项，说明理由；
（2）设数列满足，，求数列的前项和．
注：在第（1）问中，如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【分析】（1）直接利用三种情况的应用和等比数列的性质求出结果．
（2）利用乘公比错位相减法的应用求出结果．
【解答】解：（1）：选①时，由于①，
所以，整理得，
由于数列是公比为2的等比数列，
所以，解得．
所以．
此时任意，，，
由于，所以是数列的第项，因此数列都满足条件．
选②时，
因为②，
数列是公比为2的等比数列，
所以，解得．
所以．
因此，即不为数列中的项．
因此数列不满足条件．
选③时，③，
数列是公比为2的等比数列，
所以（常数），
所以，
此时任意，，，
由于，所以是数列的第项，因此数列都满足条件．
（2）数列是公比为2的等比数列，
所以（常数），
所以，
则①，
②，
①②得：，
整理得．
【点评】本题考查的知识要点：数列的性质，等比数列的性质的应用，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
20．（12分）已知双曲线过点，且渐近线方程为，直线与曲线交于点、两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线过点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．
【分析】（1）由题意可得，解得，，进而写出双曲线的方程．
（2）假设存在定点，用点斜式射出直线的方程代入双曲线方程，利用根与系数的关系及为常数，求出的值，可得结论．
【解答】解：（1）因为双曲线过点，且渐近线方程为，
所以，解得，，
所以双曲线的方程为．
（2）设直线的方程为，设定点，
联立方程组，消可得，
所以，且△，
解得且．
设，，，，
所以，，
所以，
，
所以，，，
为常数，与无关，
所以，
解得，此时．
【点评】本题考查双曲线的求法，代数式为定值的证明，满足向量的数量积为定值的点是否存在的判断与求法，解题时认真审题，注意双曲线性质的合理运用，属于中档题．
21．（12分）已知数列的前项和满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式；
（2）利用裂项相消法在数列求和中的应用和数列的单调性的应用求出结果．
【解答】解：（1）数列的前项和满足①，
当时，解得．
当时，②，
①②得：，
故（常数），
所以：数列是以3为首项，3为公比的等比数列．
所以．
（2），
故．
由于对任意的，不等式都成立，
所以，
即，
令，
所以，故函数单调递减，
所以．
即．
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式，裂项相消法的应用，数列的单调性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
22．（12分）已知点是抛物线和椭圆的公共焦点，是与的交点，．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与抛物线相切于点，，与椭圆交于，，点关于轴的对称点为．求的最大值及相应的．

【分析】（1）根据题意可得，然后，，解得，，进而可以写出的方程．
（2）假设直线的方程为，根据与抛物线相切，可得，然后与椭圆联立，计算，然后计算点到的距离，计算，利用函数性质可得结果．
【解答】解：（1）由题意可知：，，
，抛物线的准线方程为，
过点作，轴，垂足分别为，，
所以，
，
，
所以，
，
得，，
所以的方程为．
（2）设直线的方程为，则
由，得，
△，
得，
所以直线的方程为，
由，得，
△，得，
，
又，，
所以点到直线的距离为，
，
令，则，
．
此时时，．

【点评】本题考查直线与椭圆相交问题，解题中需要一定的运算能力，属于中档题．
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日期：2021/2/23 14:35:04；用户：高中数学12；邮箱：sztdjy76@xyh.com；学号：26722394